Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

ний выходной величины (воздействия, уравновешиваю­ щего систему), называются нейтрально устойчивыми.

Поведение АСР при наличии в ней возмущающих и управляющих воздействий описывается уравнением про­ цесса автоматического регулирования. Решение этого уравнения состоит из двух составляющих:

ХпЫ Х . = % 0 ПЫХ + Х’вЫn(t)i

где Ховых'—вынужденная составляющая изменения вы­ ходной величины; хш.іх(0— переходная составляющая изменения выходной величины, изменяющаяся по време­ ни в течение переходного процесса.

Первая из этих составляющих однозначно связана с изменением входной величины и является частным ре­ шением уравнения процесса регулирования. Для общего случая системы второго порядка она согласно формуле (2-27) в определенном' масштабе повторяет изменения входной величины x0Dx-

Для того чтобы система могла правильно отрабаты­ вать управляющий входной сигнал g(t), т. е. изменение заданного значения выходной величины, необходимо, чтобы переходный процесс, протекающий при переходе системы из одного заданного равновесного состояния

вдругое, был затухающим, т. е. составляющая хПых(0

стечением времени должна стремиться к нулю. Только

вэтом случае регулируемая величина по окончании пе­ реходного процесса примет новое заданное значение, изменившись на величину изменения управляющего воз­ действия g(t), или, иными словами, отклонение регули­ руемой величины от нового заданного значения станет равным нулю.

Необходимо также, чтобы переходная составляющая Хпых(і) с течением времени стремилась к нулю и при воздействии на систему кратковременных возмущающих воздействий f(t), так как только в этом случае вызван­ ное возмущающими воздействиями отклонение регули­ руемой величины Хвых от заданного значения с течением времени станет равным нулю и равновесное состояние системы восстановится.

Переходная составляющая изменения выходной ве­ личины является общим решением однородного диффе­ ренциального уравнения (2-28), которое характеризует динамические свойства системы.

186

В общем случае переходная составляющая' как функ­ ция времени определяется выражением (2-30) через корни характеристического уравнения (2-29) однородно­ го дифференциального уравнения (2-28).

Как это следует из уравнений (2-30), (2-34), (2-35) и (2-37), переходная составляющая определяется сум­ мой членов, каждый из которых содержит экспоненци­

альную составляющую е аі, где а представляет собой корень характеристического уравнения, если он веще­ ственный, или вещественную часть этого корня в случае, если корень комплексный. Число экспоненциальных сла­ гаемых, входящих в выражение переходной составляю­ щей, равно числу корней характеристического уравне­ ния.

Таким образом, чтобы каждый член выражения ЯвыхОО с течением времени стремился к нулю, необходи­ мо и достаточно, чтобы все вещественные корни харак­ теристического уравнения были отрицательными, а в комплексных корнях отрицательной должна быть вещественная часть корня. Тогда показатели степени всех экспонент будут отрицательными, а их абсолютная величина будет возрастать пропорционально времени, в результате чего с течением времени абсолютные зна­ чения всех экспоненциальных слагаемых будут стремить­ ся к нулю.

Из изложенного выше следует, что корни характери­ стического уравнения в полной мере определяют устой­ чивость АСР.

Линейная АСР устойчива, если все вещественные корни и вещественные части комплексных корней харак­ теристического уравнения отрицательны.

Если хотя бы один корень характеристического урав­ нения или вещественная часть одного из комплексных корней будут положительными, система будет неустой­ чивой. В этих случаях член переходной составляющей, соответствующей этому корню, будет содержать экспо­ ненту в положительной степени, величина которой с те­ чением времени будет беспредельно возрастать; следо­ вательно, теоретически будет стремиться к бесконечности и значение регулируемой величины. Практически не­ устойчивость системы автоматического регулирования приведет к аварийному режиму работы системы, в ре­ зультате чего она потеряет свою работоспосо.бность либо вследствие отключения ее специально предусмотренной

187

защитой или оператором, либо по причине выхода из строя того или иного элемента или устройства системы.

Особо следует рассмотреть случай, когда характери­ стическое уравнение системы имеет только один вещест­ венный нулевой или одну пару сопряженных мнимых корней, т. е. если уравнение имеет одни корень рі = 0 или два сопряженных, вещественная часть которых аі = 0. Согласно (2-30) и (2-36) в этом случае переходная со­

системы, имеющие только мнимые сопряженные и ну­ левые корни, являются нейтрально устойчивыми. В ли­ нейных нейтрально устойчивых системах выходная вели­ чина будет принимать произвольное значение; одному и тому же управляющему воздействию g(t) будет соот­ ветствовать бесконечное множество значений выходной величины Хвых и система регулирования не будет выпол­ нять свои функции. Примером нейтрально устойчивой системы может служить интегрирующее звено, для кото­ рого, исходя из уравнения (2-16), характеристическое уравнение запишется так:

Это уравнение имеет один корень /7 = 0.

Если на вход исполнительного двигателя (см. рис. 2-5,а), представляющего собой интегрирующее зве­ но, будет подано постоянное управляющее воздействие Дрвх=Рі—Рь то при Д/в.н=0 поршень исполнительного двигателя будет перемещаться с постоянной скоростью и его положение будет непрерывно изменяться. Поршень

электродвигатель (рис. 2-5,6), если за входную величину принять напряжение, подводимое к якорю двигателя, а за выходную — угол его поворота. Нейтрально устойчи­ выми являются все разомкнутые астатические системы, так как их характеристические уравнения имеют сомно­ жителем оператор р, а следовательно, и нулевые корни.

Выходная величина линейных систем, характеристи­ ческое уравнение которых имеет только одну или не­ сколько пар мнимых комплексных корней, при постоян­ ном значении управляющего воздействия g(t) будет со­ вершать относительно своего заданного значения неза-

188

тухающи.е свободные колебания с постоянной амплиту­ дой и частотой согласно уравнению (2-41). Такие систе­ мы также не отвечают требованиям, предъявляемым к АСР, и поэтому их практически относят к неустойчи­ вым системам.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос, устойчива или неустойчива система, достаточно найти корни ее характеристического уравнения. Однако этим методом пользоваться во многих случаях практически невозмож- •но, так как искать корни алгебраических уравнений вы­ соких степеней очень трудно, а уравнения степеней вы­ ше четвертой вообще аналитически не решаются. Кроме того, найдя корни характеристического уравнения, мы определяем, устойчива или неустойчива система, но не сможем установить, как нужно изменить параметры си­ стемы для обеспечения или повышения ее устойчивости, и представить себе, как тот или иной параметр или сово­ купность параметров АСР влияют на ее устойчивость. В связи с этим в современной теории регулирования и инженерной практике нашли широкое применение кос­ венные методы исследования систем регулирования на устойчивость. Каждый метод сводится к определенным правилам и предлагает критерии устойчивости, с по­ мощью которых можно исследовать системы на устой­ чивость без решения характеристического уравнения.

Сравнительно просто по виду характеристического уравнения

А(р) ~сіпРп + ап-ір”- 1+ . . . + a2p2+ alp + a0=Q (4-1)

установить необходимый признак устойчивости системы. Запишем уравнение (4-1) в виде

ап(р—рі) (р—рг). ■.(Р—Рп) =0,

где рі, рь ■• Vрп — корни характеристического уравнения. Так как в устойчивой системе все вещественные кор­ ни отрицательные, а комплексные корни имеют отрица­

тельную вещественную часть, то при этом все сомножи-

П

. тели JJ (р—рі) при перемножении образуют положи- і=і

тельные коэффициенты при переменной р.

Это очевидно для действительных корней, а в случае комплексных корней в этом легко убедиться. Действи­ тельно, так как комплексные корни 'всегда сопряженные,

189

то корню Рі= —a+ /ß, всегда соответствует корень рг—

——а—/[3. Произведение же сомножителей

(Р—Рі) (P—Pz) = (p ± a —jß) (p + a+jß) = (р + а)2+(32

всегда дает положительные коэффициенты при перемен­ ной р.

Таким образом, в случае отрицательных веществен­ ных корней и комплексных корней с отрицательной ве­ щественной частью характеристическое уравнение не может иметь отрицательных коэффициентов. Если харак­ теристическое уравнение имеет отрицательные коэффи­ циенты, то при этом оно обязательно будет иметь поло­ жительные вещественные корни или комплексные корпи с положительными вещественными частями.

Следовательно, необходимым условием устойчивости системы является требование, заключающееся в том, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравне­ ния были положительными.

Это условие является необходимым, но не достаточ­ ным. Как будет показано ниже, уже для системы выше второго порядка только положительность коэффициен­ тов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчивость системы. Необходимые и достаточные ус­ ловия устойчивости системы определяются с помощью критерия Рауса, критерия Михайлова и амплитуднофазового критерия Найквиста.

4-2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА

Первый критерий устойчивости был предложен Рау­ сом в виде неравенств, составленных по особым прави­

как уже указывалось, пишется в виде (4-1).

Наиболее просто пользоваться этим критерием устой­ чивости, прибегая к помощи табл. 4-1. В первой строке табл. 4-1 по столбцам последовательно выписываются через один все коэффициенты характеристического урав­ нения, начиная с коэффициента при старшем члене.

Во второй строке по столбцам последовательно вы­ писываются все остальные коэффициенты. Индексы при величинах с^ і, вычисляемых и вписываемых в третью и последующие строки таблицы, означают соответствен­ но номер столбца и номер строки Значения величин /у и

190

Т а б л и ц а 4-1

ст р о ­ Значение г

ны.

нятному из табл. 4-1.

Для того чтобы система была устойчивой, необхо­ димо и достаточно, чтобы все величины первого столбца табл. 4-1 были положительными при полозісительном ко­ эффициенте при старшем члене ап характеристического уравнения.

Вкачестве примера' определим, устойчива ли система

схарактеристическим уравнением

5р6+ 1 2р5+ 20/?4+ 25р3+ 15р2+ 6р +1 = 0.

Результаты расчетов по алгоритму Рауса представле­ ны в табл. 4-2. Так как все величины первого столбца табл. 4-2 положительны, то эта система будет устойчи­ вой. Рассмотрим в общем виде условия устойчивости различных линейных систем с помощью алгоритма Рауса.

191