Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

числу его корней.

Например, для устойчивой системы, характеристиче­ ское уравнение которой имеет два вещественных и два сопряженных комплексных корня в левой полуплоскости (рис. 4-2,а), приращение фазы функции А (ja) при изме­ нении о от 0 до оо будет равно:

fA( ° ° ) = 4 - J - = 2 I E .

Если система неустойчива, часть корней ее характе­ ристического уравнения расположена справа от мнимой оси (например, р3 на рис. 4-2,6). Векторы (/со—/?,), со­ ответствующие этим корням, при изменении со от 0 до оо повернутся на угол тс/2 по часовой стрелке. Эти из­ менения фаз войдут в уравнение (4-13) с отрицательным знаком.

Если из п корней характеристического уравнения т корней находятся в правой полуплоскости, то при изме­ нении со от 0 до оо получим:

?А(оо) = (п — т ) ^ - — т-^- = (п — 2т) -А- . (4-15)

Для системы, корни характеристического уравнения которой изображены на рис. 4-2,6, получим:

п = 4; т = 1 и <?А (оо) = (4 — 2-1) -2 -= п .

Функция А (/со) на комплексной плоскости изобра­ жается вектором, начало которого расположено в точ­ ке 0, а конец определяется координатами UA (iо) и УА(а>) по выражениям (4-6) и (4-7). С увеличением со модуль (длина) и фаза вектора изменяются и конец его описы­ вает кривую, называемую годографом* Михайлова по имени А. В. Михайлова, предложившего в 1936 г. использовать эту кривую в качестве критерия устойчиво­ сти линейных систем.

Годограф Михайлова строят по точкам, задаваясь различными значениями со в уравнениях (4-6) и (4-7);

199

Si-ідНо из графика, приращение фазы каждого годогра­ фа при возрастании а от 0 до оо равно пя/2 и каждая кривая последовательно обходит п квадрантов.

На рис. 4-3,6 представлены годографы неустойчивых систем пятого и седьмого порядков, в которых последо­ вательность обхода квадрантов нарушена. Так, годо­ граф системы седьмого порядка из второго квадранта прошел обратно в первый, а затем в четвертый, после чего последовательность обхода выполняется. Определим

приращение фазы этого годографа при переходе его по квадрантам. Приращение фазы в первом квадранте при увеличении со от 0 до сох равно Дфі = я/2, так как вектор повернется на 90° против часовой стрелки.

Суммарное приращение фазы при увеличении соот • сох до © 2 равно нулю (Дф2=0), так как вначале вектор повернется на некоторый угол против часовой стрелки,

Далее очевидно, что Дф4= 0; Дф5= Д ф 6= Д ф 7 = я/2. Полное приращение фазы

?А (°°) = (Af.+Aft + А?, + Д<?4 + + А<РТ) = 4 - «•

Система неустойчива, так как

7 — .

2

20J

По годографу Михайлова и выражению (4-15) мож­ но определить, сколько корней характеристического уравнения расположено справа от мнимой оси:

семи корней ее характеристического уравнения два кор­ ня расположены справа от мнимой оси, вследствие чего система и является неустойчивой: ,

4-4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Согласно формуле (2-74) знаменатель передаточной функции Ф(р) замкнутой автоматической системы регу­ лирования представляет собой функцию

Так как в реальных системах порядок оператора пра­ вой части дифференциального уравнения всегда меньше порядка оператора левой части дифференциального уравнения, т. е. степень многочлена Р(р) всегда больше степени многочлена Q(p), степени числителя и знамена­ теля F(p) одинаковы и определяются степенью Р(р), равной п.

Подставив в выражение (2-74) числитель и знамена­ тель из равенств (2-11) и (4-18), получим передаточную функцию замкнутой системы:

Многочлен А(р) знаменателя передаточной функции есть характеристический многочлен дифференциального

2 0 2

уравнения замкнутой системы, составляющий левую часть характеристического уравнения (2-29), корни ко-, торого позволяют найти по формуле (2-30) общее реше­ ние однородного дифференциального уравнения системы.

Следовательно, числитель функции F(p) являетсяхарактеристическим многочленом А (р) передаточной функции замкнутой системы, а знаменатель Р(р) со­ гласно формуле (2-11)— характеристическим многочле­ ном разомкнутой системы.

Заменим в формуле (4-17) р на /со, получим функ­ цию F(iсо), на единицу отличающуюся от АФХ разомкну­ той системы W(jсо):

зы функции F(/co) будет равно:

'PF ( ° ° ) = ‘Рд С^°) — 'Р р (°°)-

Для работоспособности системы необходимо, чтобы она в рабочем (замкнутом) состоянии была устойчивой. Это требование согласно критерию устойчивости Михай­ лова выражается условием

<рл (оо) = гаД-.

В разомкнутом состоянии в общем случае система может быть и неустойчивой, однако если в замкнутом рабочем состоянии она устойчива, то этого достаточно для ее нормальной работы.

203

Принимая в общем случае, что в разомкнутом со­ стоянии система неустойчива и ее характеристическое уравнение Р( р)=0 имеет т корней справа от мнимой оси, согласно формуле (4-15) запишем:

9Р(°о) = (« - 2т) -J- .

Таким образом

Так как выражение (4-22) обеспечивает отсутствие корней характеристического уравнения замкнутой систе­ мы справа от мнимой оси, то оно является необходимым и достаточным условием устойчивости системы и назы­ вается критерием устойчивости Найквиста.

чива. .

Критерий устойчивости Найквиста можно сформули­ ровать следующим образом:

Замкнутая линейная система устойчива, если при­ ращение д:азы функции F (ja) = 1-(- W (ja) при измене­

нии от 0 до оо будет равно 2m-^- = mit, где т — число

корней характеристического уравнения разомкнутой си­ стемы, лежащих на комплексной плоскости справа от мнимой оси.

Так как функция F(ja) отличается от АФХ W(ja) на единицу, то для определения приращения фазы нет не­ обходимости строить годограф F (/со), так как кривую W(ja) можно рассматривать как кривую F(jсо), если перенести начало координат по вещественной оси влево на единицу.

Такого переноса начала координат можно и не де­ лать: тогда приращение фазы F (/со) равно приращению

Таким образом, критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы авторегулирования по АФХ W(ja) разомкнутой си­ стемы.

204