Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Если разомкнутая система устойчива, то т —О и за­ мкнутая система будет устойчива, если приращение фа­ зы функции F(jш) при изменении и от'О до оо будет равно нулю. Это возможно в случае, когда начало век­ тора F(jсо), т. е. точка (—1, /0), лежит вне годографа

W(jto).

Таким образом, если разомкнутая-система устойчива, то для обеспечения ее устойчивости в замкнутом состоя­ нии необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку (—1, /0).

Рис. 4-4. Амплитудно-фазовые '-частотные характеристики

Если АФХ устойчивой разомкнутой системы охваты­ вает точку (—1, /0), то система в замкнутом состоянии

F (/ю) обходит АФХ разомкнутой системы при изменении со от 0 до о о , суммарное, приращение его фазы равно нулю, что соответствует выражению (4-22) при пг—0. Амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точ­ ку (—1, /0).

Приращение фазы вектора - F(/co) для разомкнутой

= —2л<2/?г-^- =0 и АФХ охватывает точку (—1, /0).

205

Рис. 4-5, Амплитудно-фазовые частотные характеристики неустойчи­ вых разомкнутых систем.

а , в —устойчивые в замкнутом состоянии; б , г — неустойчивые в замкнутом состоянии.

На рис. 4-5 показаны АФХ неустойчивых разомкну­ тых систем: системы по рис. 4-5,а и б имеют по одному положительному корню (т = 1 ), а системы по рис. 4-5,в и г — по два положительных корня (т —2). ^

Согласно критерию Найквиста в замкнутом состоя­ нии система рис. 4-5;а становится устойчивой, так как для нее

(oo)=ic = 2m-£- = 2 -1

Система же по рис. 4-6,6 и в замкнутом состоянии будет неустойчивой, так как для нее

Вектор і7 (/со) разомкнутой системы по рис. 4-5,в де­ лает полный оборот против часовой стрелки вокруг точ­ ки (—1, /0) и, следовательно, ф^(°°)=2я.

Система в замкнутом состоянии будет устойчивой, так как

2т ~ = 2%= f F(оо).

206

Система рис. 4-5,г остается неустойчивой и в замкну­ том состоянии, так как для нее

<Рр (оо) = 0 < 2т = 2тс.

Если система автоматического регулирования содер­ жит последовательные интегрирующие звенья, то каж­ дое такое звено согласно формуле (3-44) уменьшает фазу системы на к/2.

Однако эти уменьшения фазы не должны учитывать­ ся при анализе устойчивости системы, так как на нее влияют только отрицательные фазы корней, лежащих на комплексной плоскости справа от мнимой оси.

Кроме того, при наличии в системе интегрирующих звеньев амплитуда функции W (ja) стремится к беско­ нечности при (о, стремящейся к нулю.

Чтобы при подсчете фазы с р ^ (о о ) для разомкнутой системы исключить влияние г последовательно включен­ ных в систему интегрирующих звеньев, дополняют годо­

против часовой стрелки. Это относится в равной степени к системам как устойчивым, так и неустойчивым в ра­ зомкнутом состоянии.

На рис. 4-6 представлены АФХ разомкнутых неустой­ чивых систем, имеющих по одному интегрирующему звену. Системы на рис. 4-6,а и б имеют по одному по­ ложительному корню; система па рис. 4-6,б имеет два положительных корня.

Так как системы имеют по одному интегрирующему звену, то прежде чем приступить к определению прира­ щения фазы cpjr(oo), необходимо при со, стремящейся к нулю, дополнить W (ja) в положительном направлении

Рис. 4-6. Амплитудно-фазовые частотные характеристики неустойчи­ вых разомкнутых систем, имеющих по одному интегрирующему звену.

а , о —устойчивые в замкнутом состоянии; б — неустойчивые в замкнутом со­ стоянии.

207

при дополнении ее дугой л/2 бесконечно большого ра­ диуса, направленной против часовой стрелки, начало дуги будет находиться на отрицательной вещественной полуоси. Соответственно, фаза системы на рис. 4-6,в при со = 0 равна ■—л/2, и, следовательно, начало дополняю­ щей дуги будет лежать иа положительной вещественной полуоси.

Рис. 4-7. Амплитудно-фазовые частотные ха­ рактеристики устойчивых разомкнутых систем, имеющих два (а, б) и три (в, г) последова­ тельных интегрирующих звена, устойчивых (б, а) и неустойчивых (а, г) в замкнутом со­ стоянии.

Обобщая, можно сформулировать, что при четном т и т = 0 начало дуги будет расположено всегда на поло­ жительной, а при нечетном т — на отрицательной ве­ щественной полуоси. Приращения фазы cpjr(oo) систем, изображенных на рис. 4-6,о, б и в, соответственно будут равны л, —л и 2л. Согласно формуле (4-22) в замкну­ том состоянии системы на рис. 4-6,а и в будут устойчи­ выми, а система на рис. 4-6,6 остается неустойчивой.

На рис. 4-7 приведены устойчивые в разомкнутом со­ стоянии системы, имеющие два и три последовательных

208

охвате точки (—1, /0) АФХ разомкнутой системы объяс­ няется следующими обстоятельствами.

Любой сигнал, воздействующий па систему, можно представить по закону Фурье как спектр гармонических составляющих с частотами от 0 до оо. В этом спектре будут и гармоники с частотами о>2 (см. рис. 4-4,6). Как следует из АФХ при прохождении этих гармоник через

мыкании системы и подаче ее выхода с обратным зна­ ком (отрицательная обратная связь) на вход мы тем самым подаем на вход выходную величину в противофа­ зе, т. е. повернутую еще на 180°.

Таким образом, усиленная гармоника с частотой сог будет додана на вход системы, повернутая в общей сложности на 360°, т. е. она будет в фазе с гармоникой юг, поступающей с сигналом. В итоге на вход системы будёт подаваться гармоника ш? с увеличенной амплиту­ дой, которая, проходя через систему, вновь будет уси­ ливаться и снова, еще более увеличенная, будет посту­ пать в фазе на вход системы. Такое нарастание состав­ ляющей с частотой сог на выходе системы будет теоретически беспредельным, и, следовательно, система будет неустойчивой.

Если АФХ разомкнутой системы не охватывает точ­ ку (—1, /0), то нетрудно убедиться в том, что система будет устойчивой (см. рис. 4-4,а). В этом случае в на­ чальный момент времени после замыкания системы хотя и будет иметь место увеличение гармонической состав­ ляющей с частотой сог, но только до вполне определен­ ной величины.

Допустим, например, что при поступлении на вход разомкнутой системы гармоники с частотой ыг и ампли­ тудой, равной 1, на выходе системы ее амплитуда будет равна 0,5 (т. е. коэффициент передачи системы равен 0,5); при замыкании системы амплитуда выходной со­ ставляющей с частотой о) 2 в этом случае возрастает до 1, т. е. только в 2 раза, и на выходе системы будут устой-

чивые гармонические колебания с частотой сог и ампли­ тудой, равной 1. Выходной сигнал гармонической состав­ ляющей с частотой сог и амплитудой, равной 1, при пода­ че на вход системы будет суммироваться с поступающим сигналом, также равным 1. Суммарный сигнал с ампли­ тудой, равной 2, проходя через систему, при коэффици­ енте передачи разомкнутой системы, равном 0,5, будет иметь на выходе установившуюся величину амплитуды 2-0,5 = 1.

4-5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости Найкви­ ста применим и в случае изображения АФХ в виде ло­ гарифмической амплитудной и фазовой частотных ха­ рактеристик разомкнутой системы.

Так если система устойчива в разомкнутом и за­ мкнутом состояниях, то АФХ разомкнутой системы (см. рис. 4-4,а) не охватывает точку (—1, /0), т. е. W (щ2) < 1 при ф(со2 ) = —л. Так как lg 1=0, то необходимым и доста­ точным условием устойчивости такой системы является пересечение ЛАЧХ оси абсцисс раньше, чем ЛФЧХ пе­ ресечет линию, соответствующую ее фазовому сдвигу —л. Если же ЛАЧХ пересекает ось абсцисс после пере­ сечения ЛФЧХ прямой —л, то значение ЛАЧХ при Ф(а>2 ) = —л будет больше единицы и, следовательно, это будет соответствовать охвату АФХ (см. рис. 4-4,6) точки

( - U 0 ) .

На рис. 4-8,а показаны логарифмические частотные характеристики, соответствующие АФХ на рис. 4-4,а для устойчивой системы в разомкнутом и замкнутом состоя­ ниях, а на рис. 4-8,6 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ, соот­ ветствующие АФХ на рис. 4-4,6 для устойчивой системы

ность чисел переходов ЛФЧХ разомкнутой системы ли­ ний —я, —Зя, —5л и т. д. снизу вверх (положительный переход) и сверху вниз (отрицательный переход) при положительных значениях ЛАЧХ в диапазоне изменения частот от 0 до оо будет равна половине числа положи-

210