Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

тельных корней характеристического уравнения разо­ мкнутой системы.

Если АФХ разомкнутой системы при со = 0 совпадает с отрицательным направлением вещественной полуоси (см. рис. 4-5,а и б) и конец ее вектора находится слева от точки (—1, /0), то при этом ЛАЧХ будет положитель­

Рис. 4-8. Логарифмические частотные характеристики разомкнутых систем.

а —устойчивых в замкнутом и разомкнутом состояниях; б — устойчивых в разомкнутом, но неустойчивых в замкнутом состоя­ ниях; в — неустойчивых в разомкнутом состоянии ( т —1) и устой­ чивых в замкнутом состоянии; г — неустойчивых в разомкнутом (/п=1) и замкнутом состояниях.

от входных, то такой отход ЛФЧХ от прямой —л; сле­ дует принимать за 1/2 перехода снизу вверх.

Так, на рпс. 4-8,в и а приведены ЛАЧХ неустойчивых систем в разомкнутом состоянии с одним положительным корнем характеристического уравнения (т — 1). Ло­ гарифмическая фазо-частотная характеристика систе­ мы па рис. 4—8,е имеет разность положительных и от­ рицательных переходов при L(co)>0, равную 1/2= т/2. Следовательно, эта система в замкнутом состоянии бу­ дет устойчивой.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика си­ стемы на рис. 4-8,г имеет разность таких переходов

Следовательно, эта система в замкнутом состоянии будет неустойчивой.

4-6. СПОСОБЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

а) Понятие о D-разбиении пространства коэффициентов характеристического уравнения

Коэффициенты дифференциального уравнения систе­ мы, которым описываются переходные процессы в ней, определяются конструктивными особенностями элемен­ тов системы, их динамическими свойствами и парамет­ рами настройки регулятора.

Устойчивость системы регулирования зависит от со­ отношения коэффициентов дифференциального и соот­ ветственно характеристического уравнений [см. форму­ лу (4-1)]. При изменении тех или иных параметров си­

При конструировании системы ряд параметров и звеньев является заданным, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструк­ тивными особенностями объекта регулирования. В то же время в распоряжении конструктора имеется несколько параметров, которые он может изменять в определенных пределах. Например, можно применить для целей регу­ лирования различные регуляторы, выбирать различные регулирующие органы и т. д.

212

При разработке системы регулирования необходимо выбрать параметры, па которые нет существенных огра­ ничений, таким образом, чтобы обеспечить требуемые динамические свойства системы в целом, сохраняя в то же время величины твердо заданных параметров. В свя­ зи с этим практически весьма важно знать, в каких пре­ делах и какие именно параметры системы можно изме­ нять, обеспечивая при этом ее устойчивость.

Так как все корни характеристического уравнения устойчивой системы расположены на комплексной плос­ кости слева от мнимой оси, а характеристическое урав­ нение неустойчивой системы имеет не менее одного ве­ щественного или двух сопряженных комплексных корней, расположенных справа от мнимой оси, то если при из­ менении п параметров устойчивой системы она при­ ближается к неустойчивому состоянию, корни характе­ ристического уравнения будут перемещаться по левой полуплоскости в сторону правой. При определенных со­ четаниях величин изменяемых параметров система вы­ ходит на границу устойчивости; в этот момент один ве­ щественный или два комплексных сопряженных корня будут расположены на мнимой оси.

При выходе на мнимую ось одного действительного корня характеристического уравнения он становится равным нулю, а при выходе на мнимую ось двух сопря­ женных комплексных корней характеристическое урав­ нение имеет два чисто мнимых корня ±/со.

Таким образом если мы в характеристическом урав­ нении (4-1) заменим р на /со, или, что то же самое, при­ равняем нулю годограф Михайлова [формула (4-4)], то получим уравнение геометрического места, разграничи­ вающего области, имеющие различные количества кор­ ней в левой полуплоскости; это геометрическое место располагается в «-мерном пространстве, координатами которого являются « переменных параметров системы, и может представлять собой как один непрерывный гео­ метрический элемент (линию, поверхность), так и их со­ вокупность.. Точки этого геометрического места можно

переменных параметров, при которых левая часть урав­ нений (4-4) обращается в нуль. Совокупность получен­ ных граничных геометрических элементов делит «-мер­ ное пространство переменных параметров на области;

213

все точки, лежащие внутри одной и той же области, ха­ рактеризуют системы с одинаковым числом корней характеристического уравнения, лежащих в левой ком­ плексной полуплоскости. Число таких корней для двух соседних областей может различаться на один, два или три корня.

Только та область в пространстве переменных пара­ метров, в которой все корни характеристического уравне­ ния располозісены слева от мнимой оси комплексной плоскости, является областью устойчивости (число кор­ ней, как уже указывалось, равно порядку характеристи­ ческого уравнения).

Области с одинаковым числом корней в левой полу­ плоскости называются областями D, а само разбиение пространства переменных параметров системы на эти области называется Д-разбиением.

Если, например, какая-нибудь область имеет m кор­ ней в правой полуплоскости и п— т корней в левой по­ луплоскости, то эта область обозначается D(n—т, т). Устойчивой областью при степени характеристического уравнения, равной п, будет только область D(n, 0).

При числе переменных параметров больше двух на­ хождение областей устойчивости является достаточно сложной задачей в связи с необходимостью графических построений для пространства трех и более измерений. Поэтому практически области устойчивости исследуют­ ся только при числе переменных параметров не более двух, так как в этом случае все построения производят­ ся в плоскости параметров системы или комплексной плоскости. Одним из основных достоинств П-разбиения является возможность суждения об устойчивости систе­ мы при изменении ее переменных параметров без повтор­ ных проверок условий устойчивости, что необходимо многократно выполнять при использовании других кри­ териев.

Допустим, что необходимо выделить области устой­ чивости при двух переменных параметрах системы ѵ й і ] , линейно входящих в коэффициенты характеристического уравнения.

214

Вынеся интересующие нас параметры из коэффициен­ тов характеристического уравнения, запишем его в об­ щем виде

где Р(р), Q(p) и R(p) — полиномы от р. Заменив р на ja, получим:

Разделяя в каждом полиноме действительную и мни­ мую части, находим:

v[Pi(co) + /P 2(CO)]-|-T][QI (CO) +/Q 2(CO)] +

Так как комплексное выражение равно нулю только в случае, если отдельно равны нулю действительная и мнимая части, имеем:

со от •—оо до оо, получим для каждого из них определен­ ные величины V и г], которые на плоскости этих пара­ метров определяют точку. Совокупность этих точек (рис. 4-9) дает графическое изображение границ обла­ стей Р-разбиения.

Так как при подстановке в характеристическое урав­ нение величины ja вместо р действительную часть урав­

215

ка границы .D-разбиения лежит область с большим числом корней, имеющих отрицательную вещественную часть, граница со стороны этой области заштриховывает­ ся. При обходе D-граніщы в направлении от —оо к оо штриховка накладывается слева от границы, если

5(со)>0, и справа от нее, если S(<a)<0.

Так как граница области D обходится при изменении со от —-оо д о оо дважды и при изменении направления движения S(cö) меняет свой знак, то граница области оказывается заштрихованной дважды с одной стороны (рис. 4-9).

216-

При переходе через D-границу из заштрихованной области в незаштрихованную число корней с отрица­ тельной вещественной частью уменьшается, а при обрат­ ном переходе — увеличивается. При переходе через дважды заштрихованную границу теряются или приоб­ ретаются два таких корня (сопряженные комплексные), а при переходе через границу, заштрихованную одно­ кратно,— один отрицательный корень (вещественный).

Так, например, на рис. 4-9,а для системы, имеющей п корней характеристического уравнения, при изменении со от •—оо до нуля будем иметь 5(со)<0, а при измене­ нии со от нуля до +О0 знак 5 (со) изменится на обратный. Поэтому слева от D-границы, заштрихованной дважды, лежит область, в которой число отрицательных корней (п—т) на две единицы больше, чем в области, лежащей справа от D-границы, где число таких корней равно

/ г — т — 2 .

Решив совместно уравнения (4-26), можно найти не­ посредственную зависимость между параметрами ѵ и т), линейно входящими в коэффициенты характеристическо­ го уравнения системы:

Граннца области D, построенная по выражениям (4-27) и (4-28) на плоскости переменных параметров, во многих случаях не дает возможности получить все обла­ сти с различными числами отрицательных корней, так как при некоторых значениях частоты со нарушается однозначная зависимость между v, г] и со; тогда уравне­ ния (4-26) становятся равносильными и каждое из них определяет одну и ту же прямую линию.

Например, при со = 0 полиномы Pz(со), '(2г(сй) и ЯгЫ) будут также равны нулям, так как они обязательно' со­ держат во всех слагаемых в качестве множителя вели--

247