Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

чину 'to в нечетных степенях [именно поэтому они и обра­ зуют мнимую составляющую в уравнении (4-25)]. В этом случае согласно уравнениям (4-29), (4-30) и (4-31) имеем:

S,(0)=:0; S4(0) = 0 и S(0) = 0.

Выражения (4-32) и (4-33) примут вид:

Если при 0 = 0 окажется, что Рі(0)=0, а Qi(0)^=0, то коэффициент при ѵ в выражении (4-35) будет равен нулю и, следовательно, при любых значениях ѵ пара­ метр т| будет равен:

Следовательно, в этом случае на плоскости перемен­ ных параметров, помимо кривой D-разбиения, получаем прямую, параллельную оси ѵ и проходящую через точку

точками. Прямые, проходящие через эти точки, назы­ ваются особыми прямыми.

Переходу через особую прямую, получающуюся па плоскости переменных параметров ітри <и = 0, соответст­ вует на комплексной плоскости корней переход одного вещественного корня из левой полуплоскости в правую (или наоборот) по оси абсцисс через начало координат (например, на рис. 4-3,6 из р3 и ptk или обратно); следо­ вательно, особые прямые также являются границами областей D и должны штриховаться один раз со стороны

218

области с большим числом корней, лежащих в левой комплексной полуплоскости.

Так как при переходе через собую прямую, парал­ лельную оси V (рис. 4-9,6), мы из областей D(n—от, от) и D (n—от—2, т + 2) попадаем в одну и ту же область, лежащую под особой прямой, и так как все точки этой области должны иметь одинаковое число корней, нахо­ дящихся в левой комплексной полуплоскости, то очевид­ но, что это будет обеспечено только в том случае, если при переходе через особую прямую из области D (n—от, от) один корень переходит в правую комплексную полу­ плоскость, а при переходе из области D(n—от—2, т + 2 ), наоборот, один корень переходит в левую комплексную полуплоскость.

Из изложенного следует простое правило штриховки особой прямой, заключающееся в том, что стороны всех углов, образованных кривой D-разбиения и особой пря­ мой, пересекающимися или соприкасающимися в исклю­ чительной точке, должны быть обращены друг к другу заштрихованными .или незаштрихованными сторонами.

Особая прямая может пройти также через точку, соответствующую а> = оо.

и, следовательно, 5 (со) при со=оо обращается в нуль. Таким образом, вторая исключительная точка находится в бесконечности на оси т] и второй особой прямой будет прямая ѵ = 0. Правило штриховки особой прямой в этом случае остается тем же: однократная штриховая накла­ дывается справа.

В общем случае полином S(co) может обратиться в нуль и изменить знак при со = соо, отличном от нуля, и тоже дать особую прямую. В этом случае согласно пра­ вилу штриховка особой прямой имеет вид, изображен­ ный на рис. 4-9,6, и штрихуется дважды. Один раз она заштриховывается при проходе через особую точку в од­ ном направлении, а второй раз — при проходе в обрат­ ном направлении. При переходе через эту прямую теря­ ются или появляются два сопряженных комплексных кор­ ня с отрицательной вещественной частью.

Если в точке пересечения особой прямой и кривой Z+разбиения полином S(co) не обращается в нуль или обращается в нуль, но не меняет знака, то эта точка не

219

ЯЁЛяеі'ся исключительной, не оказывает влияния l-iä рас­ пределение корней и направление штриховки в ней не меняется. Если при обходе границы Ь-области для ка­ кого-либо со полином S(co) обращается в нуль, но не меняет своего знака на обратный, эта точка не будет исключительной и через нее не будет проходить особая прямая.

Таким образом, необходимыми и достаточными усло­ виями наличия исключительной точки на кривой грани­ цы областей D являются обращение в нуль полинома 5 (со) и изменение в этой точке его знака.

Выполнив £>-разбнение, мы получим в плоскости пе­ ременных параметров области с различными числами от­ рицательных корней, в том числе область, в которой число таких корней будет наибольшим. Однако эта об­ ласть может и не быть областью устойчивости. Для за­ ключения об устойчивости системы в этой области необ­ ходимо для какой-либо удобной точки, взятой внутри этой области, с помощью критериев устойчивости прове­ рить систему на устойчивость. Так, иа рис. 4-9,а обла­ стью с максимальным числом корней в левой, комплекс­ ной полуплоскости является область D(n—т, т).

Проверив систему на устойчивость в точке А с пара­ метрами, равными ѵ А и г )л . можно определить, является ли эта область устойчивой.

Если в точке А система устойчива, то и для всех то­ чек этой области все корни характеристического уравне­ ния находятся в левой комплексной полуплоскости; сле­ довательно, т = 0 и эта область является областью устой­ чивости D(n, 0), где п — степень характеристического уравнения.

в) Выделение областей устойчивости в плоскости одного параметра системы

Если необходимо выяснить влияние, которое оказыва­ ет на устойчивость системы регулирования один пере­ менный параметр у, линейно входящий в коэффициенты характеристического уравнения, то характеристическое уравнение надо представить в виде

M(p)+yN(p)=0. (4-37)

Параметр у можно рассматривать как комплексный параметр S = y+jX, действительная часть которого равна интересующему нас параметру.

2 2 0

ной полуплоскости, будут служить точки пересечения

быть только области, находящиеся внутри заштри­ хованных петель кривой разбиения, поскольку эти обла­ сти 'всегда соответствуют наибольшему числу корней характеристического уравнения, лежащих в левой ком­ плексной полуплоскости.

Так как система может быть неустойчивой в этой области, необходимо проверить систему на устойчивость с помощью критериев устойчивости для какого-нибудь значения параметра уі, лежащего па том участке ве­ щественной оси, который находится внутри предполагае­ мой области устойчивости (участок 1—2).

г) Выделение областей устойчивости для системы третьего порядка

Характеристическое уравнение системы третьего по­ рядка имеет вид:

В качестве переменных параметров примем отноше­ ния коэффициентов этого уравнения

аі/йз=ѵ; ао/а2='П- Заменив в уравнении (4-40) символ р на /со, получим:

— /со3а 3— со2й2 -Ь /соаі + ао = 0.

Приравняв нулю действительную и мнимую части, запишем:

Подставив эти значения в уравнения (4-33) или непо­ средственно решив систему уравнений (4-41), находим:

2 2 2