Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Однако при т,ф2 = (ф2 + я)/со2 система вновь окажется на границе устойчивости, а при тКр2 < т < Т к Рз снова будет устойчивой (рис. 4-15,6J.

При Ткрз— (фі + 3л)/сйі вектор W (/c o i) вновь совпадает

сотрицательным направлением действительной полуоси

иего конец совместится с точкой (—1, /0). Система опять окажется на границе

устойчивой. Такое чередование полос устойчивости и не­ устойчивости показано на рис. 4-16.

Полосы устойчивости, начиная со второй, если за пер­

Число полос устойчивости будет конечным. Это объяс­ няется тем, что'приращение аргумента югг при монотон­ ном увеличении запаздывания нарастает быстрее, неже­ ли приращение аргумента согт, так как соі>о)2 .

Это приводит к тому, что точка т і бежит по окруж­ ности быстрее (см. рис. 4-14), чем гпг.

В связи с этим от полосы к полосе интервалы устой­ чивости будут уменьшаться.

При некотором значении времени запаздывания ткрэт точка піі догонит точку /п2 и при дальнейшем его увели­ чении точка (—1, /0) окажется все время охваченной АФХ; система будет неустойчивой (см. рис. 445,г).

Точка гпі догонит точку т 2 тогда, когда разность приращений аргументов опт—со2т будет равна углу 2я + + (фі—іфг) (см. рис. 4-14).

• Следовательно, из условия

шіт— <о2т = 2 я - Т (фі— фг)

230

можно найти критическое время запаздывания тКрп, при котором чередование полос устойчивости и неустойчи­ вости прекратится и система при дальнейшем увеличе­ нии запаздывания будет неустойчивой:

Число полос устойчивости можно найти из условия (4-57), полагая интервал устойчивости равным нулю

Решая это уравнение относительно п и учитывая, что число полос устойчивости т на одну больше я, находим:

Найденное по выражению (4-59) значение т необхо­ димо округлить до нижнего целого числа.

4-7. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ АСР НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Пример 4-1. П о к р и т е р и ю Р а у с а и с с л е д у е м на у с т о й ч и в о с т ь с и с т е м у р е г у л и р о в а н и я т е м п е р а т у ­

в ы р а ж е н и е м (2-89).

Характеристическое уравнение замкнутой системы получаем из

Согласно Критерию Рауса условие устойчивости (4-2) запишется

как

Т ш -f- Тн ^ ^ о б ^ р Т * П і7 н .

Так как элементом настройки системы регулирования является коэффициент усиления регулятора, то из условия устойчивости мож­ но найти пределы его настройки, при которых система не теряет устойчивости:

Максимально допустимое по условиям устойчивости (критиче­ ское) значение коэффициента усиления регулятора определяется равенством

231

Подставив числовые значения постоянных времени и коэффици­ ента передачи объекта (см. § 2-10), получим значение критического коэффициента усиления регулятора:

Приравняв нулю действительную и мнимую части, найдем:

^ о б & р — { Т т + 7 ’п ) с о 2 = 0 ;

6 о б А , + с й — Т ш 7 'н С О 3 = 0 .

ИЛИ

с различными числами отрицательных корней характеристического уравнения системы.

Коэффициенты усиления регулятора при этих предельных значе­

232

Корни этого уравнения имеют вид:

т. е. два корня — вещественные отрицательные и один — нулевой. Последний корень является переходящим из области II в область I. При переходе его с граничной кривой в область I он станет от-

Рис. 4-17. Выделение областей устойчивости в плоскости коэффициента усиления регулятора АСР по рис. 1-5.

рицательным, т. е. отрицательными будут все три корня характери­ стического уравнения. Следовательно, область / является областью устойчивости системы.

с т и у с т о й ч и в о с т и а в т о м а т и ч е с к о й с и с т е м ы р е г у ­

л и р о в а н и я н а г р е в а т е л ь н о й п е ч и (с м. р и с. 2-1) в п л о ­ с к о с т и к о э ф ф и ц и е н т а у с и л е н и я kv П - р е г у л я т о р а и п о с т о я н н о й в р е м е н и 7 3 р е г у л и р у ю щ е г о к л а п а н а

233