Обозначив fep=v и 7'з=г|, согласно формуле (4-26) запишем:
Яі(ш)=Лр.0£о.Р; /32(со)=0;
Q i(ci))= — { Т 1 + Т 2 ) и 2; |
Ог(со) = |
( 1 — TiTaia2) со; |
|
|
^і(со) = 1— Г ,Г 2ш2; |
/?2(со) = |
(Г 1+ Г2)со. |
|
|
По выражениям |
(4-29)— (4-31) |
находим: |
|
|
|
5 Ѵ(со) = |
- ( 1 |
- |
7 |
’17’гсо2) 2 с о - ( 7 ’1 + Г2)=со2; |
|
|
Sy (<о) = |
— £р.(А>.р (7\ + |
т'г) со; |
|
|
|
|
S |
(со) = |
йр.о^о.р О — Т’іТ’гСо2) СО. |
|
|
|
Согласно |
уравнениям |
(4-27) и |
(4-28) имеем: |
|
|
|
|
|
( Л |
+ |
7-,)»<о« |
Т , Тгсо2 — |
1 . |
(4-63) |
|
^p.cAj.p (7'і7'гСОг — 1) |
^р.о^о.р |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
Л + у. |
|
|
|
(4-64) |
|
|
11“ |
Г .Г^2 — 1 * |
|
|
|
|
|
|
|
Задаваясь рядом значений со в пределах от |
— оо до |
оо, можно |
построить по |
формулам |
(4-63) и (4-64) |
кривую |
D -разбиения. |
При ш = 0 |
полином S ( 0 |
) равен нулю и при переходе |
значения ш |
через нуль меняет знак. Следовательно, |
при 0 = 0 |
имеем исключи |
тельную точку. При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q I(0)=P2(0)=Q2(0)=/?2(0)=0; Р,(0 ) = М » . р ! Л і(0)=К
По выражению (4-34) находим уравнение особой прямой:
При 0 — >-оо параметр ѵ стремится |
к |
бесконечности, а |
параметр |
т)— к нулю, т. е. граница областей |
D при 0 — >-оо |
асимптотически |
приближается к оси ѵ. |
|
|
|
|
|
Разделив уравнения (4-62) на 0 |
3 |
и |
полагая 0 |
— >-оо, |
находим, |
что все члены первого уравнения обращаются в нуль, а второе урав
нение примет вид: |
—Г17'27’з=0. |
|
(4-66) |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
•Pl(oo) =Q](oo) =#,(оо) = Р 2(оо) = |
|
= 7 M ° ° ) = 0 ; |
CM00) = — Т\Тг. |
|
Подставив |
эти значения |
полиномов |
в выражение (4-31), полу |
чим S (o o )= 0 . |
Так как яри этом S(a>), |
проходя |
через нулевое зн а |
чение, меняет |
знак, то |
при 0 |
= 0 0 |
граница области D имеет вторую |
исключительную точку. |
И з |
выражения |
(4-33) |
находим уравнение |
второй особой |
прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
т]=0. |
|
(4-67) |
т. е. вторая особая прямая совпадает с осью ѵ.
Полагая |
в равенствах (4-63) |
и |
(4-64) |
kp.0=k, |
= |
1, |
ТI = 90 |
сек, |
и Г2= 1 0 сек, |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
ОООсо2 |
+ 900с°2 ~~ 1: |
|
|
|
|
|
|
900ш2 — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 — 900со2 — 1' |
|
|
|
|
|
|
|
Задаваясь различными значениями со от |
0 |
до |
оо, |
получаем |
ряд точек, по которым проводим |
граничные |
кривые |
областей |
D |
(рис. 4-18). Для значений со от 0 |
до |
— оо |
эти |
ж е |
кривые |
обходятся |
вторично в обратном |
направлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4-18. Выделение областей устойчивости системы регулирования по ;рис. 2-1 в плоскости коэффициента усиления регулятора и постоянной времени регулирующего
клапана.
При со=0 кривая ß -разбиения имеет исключительную точку с ко ординатами
|
ѵ = — 1; |
т) = —(Ті + Т2) = —100, |
через которую вертикально проходит первая особая прямая. |
Вторая особая |
прямая, |
как было найдено выше, совпадает |
с осью V. При |
|
|
|
ю = |
,г-л гг, ' = 0,0333 |
|
|
Ѵтхтг |
получаем ѵ = т| = оо, |
т. е. граничная кривая уходит в бесконечность |
в третьем квадранте, а при дальнейшем увеличении ев возвращается из бесконечности в первый квадрант.
При |
ü)=oo кривая |
D -разбиения в первом квадранте уходит |
снова в |
бесконечность |
вдоль положительной полуоси параметра ѵ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первом |
квадранте |
при |
со > |
\ / Y T I1\ |
полином |
S (со) |
отрицате |
лен |
и, следовательно, |
при |
обходе |
кривой |
в |
сторону возрастания |
со от |
1/Ѵг 7'17'2 до |
оо |
кривая |
заштриховывается |
справа. Так |
как при |
со< — 1/Ѵг 7'17’2 |
полином |
|
S (со) |
положителен, |
то |
при |
изменении |
со от — со до — |
1 /ѴтхТг |
кривая |
D -разбиения |
в первом |
квадранте |
заштриховывается слева. Таким образом, в первом |
квадранте |
кривая |
заштриховывается |
дважды |
|
со |
стороны |
оси |
т). В |
третьем |
квадранте |
при |
0 < со < |
\ / Y 7 \ Т2 полином S (со) |
положителен |
и поэтому |
кривая |
D -разбиения при изменении |
со |
от 0 |
до |
1/]/'7',7'2 |
|
заштриховывается |
слева, |
а при |
0 > |
со > |
— |
I/ Y ТХТ2 полином S (со) отрицателен, |
в связи |
с чем при движении вдоль |
кривой |
при изменении |
со от — \/Ѵ ТгТ2 |
до |
0 |
она заштриховывается |
справа. |
В |
результате |
этого |
кривая |
D -разбнения заштриховывается в третьем квадранте дважды со |
стороны, противоположной оси V. На рис. 4-18 выполнена штриховка |
кривой D -разбиения и двух особых прямых. Областью устойчивости |
является область |
D (3, 0), |
переходящ ая |
из |
первого |
квадранта в тре |
тий через бесконечность. Убедиться в том, что эта область действи тельно является областью устойчивости, можно, подставив в урав
нение (4-46) координаты любой |
точки, |
лежащ ей |
в области D (3, |
0), |
например точки, для которой Г3> 0 н |
/гр = 0 . При |
этом |
получим, |
что |
все три корня |
уравнения |
(4-46) |
имеют отрицательные |
вещественные |
части. |
|
|
|
|
|
|
|
Определив |
границы |
области |
устойчивости системы |
в плоскости |
параметров kp и Т2, можно найти допустимые пределы их совмест ного изменения без нарушения устойчивости системы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4-4. |
П о к р и т е р и ю |
|
Н а й к в и с т а |
и с с л е д у е м |
н а |
у с т о й ч и в о с т ь |
с и с т е м у |
|
п р и м е р а |
4-3 п р и Ті = |
= 9 0 |
сек, Г2= 1 0 |
сек, ТЗ= 3 |
сек и ft=20 . |
|
|
|
|
|
|
|
Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой |
системы при выбранных параметрах представлена на рис. 3-42. |
|
Согласно критерию Найквиста система |
будет устойчивой, так как |
ее АФХ не охватывает точку |
(— 1, |
/ |
0 ). Вещественная ось пересе |
кается в |
точке |
(— 0,448, / |
0) |
при ш =0,195 |
и |
в точке |
(20, |
j 0) при |
м = 0 . По |
этим |
точкам можно |
определить |
критический |
коэффициент |
усиления |
é K.np = 20/0,448 = 44,7. При |
|
этом |
коэффициенте |
усиления |
регулятора АФХ разомкнутой |
системы |
пройдет через точку |
(— 1, / 0) |
и АСР будет находиться на границе устойчивости. |
|
|
|
|
Пример 4-5. |
П о к р и т е р и ю |
Р а у с а |
в ы д е л и м о б л а с т и |
у с т о й ч и в о с т и с и с т е м ы н а р и с . 2-1 в п л о с к о с т и к о
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э ф ф и ц и е н т а у с и л е н и я |
П - р е г у л я т о р а kp и п о с т о |
я н н о й в р е м е н и |
Та р е г у л и р у ю щ е г о |
к л а п а н а |
п р и |
Т ,= 9 0 сек, Г2= 1 0 |
сек, |
kv.0 = k0.-p=\. |
Н а й д е м |
к р и т и ч е с к и й |
к о э ф ф и ц и е н т |
у с и л е н и я |
р е г у л я т о р а |
п р и |
7 \)= 3 |
сек. |
Границы области |
устойчивости |
системы, исходя |
из критерия |
Рауса, определяются выражением (4-47). |
|
|
|
Подставляя значения величин, найдем: |
|
|
|
|
|
|
7 ’ з = 0 ; |
& р = — 1 } |
|
|
|
|
|
/1 |
И |
1 у |
|
|
|
* P = ( w + lÖ + D r J ( 100+r’)- 1 |
|
|
или
I з —0; kр —— 1; 1
100, 100 + Г з |
[ |
(4-68) |
/е®“ Т3 ■*" |
9 |
|
|
Границы области устойчивости, |
определяемые |
зависимостями |
(4-47) и (4-68), полностью совпадают с результатами, полученными методом 0-разбиения.
Так |
если решить совместно |
выражения (4-63) и (4-64), опре |
деляющие кривую D -разбиеиия, |
исключая |
из |
них со, |
то |
получим' |
зависимость |
kP=f (T3) в явной |
форме в виде |
условия |
(4-47). |
Прямая |
kp= — ll(kp.oko.p) выражения |
(4-47) совпадает |
с особой |
прямой |
(4-65), а прямая 7’3= 0 |
совпадает |
со |
второй особой |
прямой |
(4-67). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Область устойчивости в плоскости параметров kv и Т3 представ |
лена па рис. 4-18. Она совпадает с |
областью D(3, 0) в |
D -разбиении. |
И з |
выражения (4-68) находим |
критический коэффициент усиле |
ния П-регулятора при Г3= 3 сек: |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
100 + 3 |
:44,7 . |
|
|
|
|
Кр.кР -- |
|
|
|
|
Как и следовало ожидать, величина критического коэффициента усиления' совпадает с его значением, полученным исходя из крите рия устойчивости Найквиста.
ГЛАВА ПЯТАЯ
КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ систем
5-1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ
К АСР предъявляются требования не только в отно шении ее устойчивости. Для работоспособности систе мы не менее необходимо, чтобы процесс автоматическо го регулирования осуществлялся при обеспечении опре деленных качественных показателей.
Требования к качеству процесса регулирования в каждом случае могут быть самыми разнообразными, однако из всех качественных показателей можно выде лить несколько наиболее существенных, которые с до статочной полнотой определяют качество почти всех АСР.
Качество процесса регулирования системы, как пра вило, оценивают по ее переходной функции (рис. 5-1).
Основными показателями качества являются время регулирования, перерегулирование, колебательность и установившаяся ошибка. Кроме того, следует отметить,
что в конкретных условиях к качеству регулирования мо гут'предъявляться и другие требования, например мак симальная скорость изменения регулируемой величины, основная частота ее колебаний и т. д.
Рассмотрим основные показатели качества регулиро вания.
Рис. 5-1. П ереходная функция системы с перерегулированием.
В р е м я р е г у л и р о в а н и я . Временем регулирова ния tp называется время, в течение которого, начиная с момента приложения воздействия на систему, отклоне ния регулируемой величины Ah(t) от ее установившего ся значения йо=/г(оо) будут меньше наперед заданной величины е. Обычно принимают, что по истечении вре мени регулирования отклонение регулируемой величины от установившегося значения должно быть не более е=
= 5 % . |
|
определяет |
Таким образом, время регулирования |
длительность (быстродействие) |
переходного |
процесса. |
П е р е р е г у л и р о в а н и е . |
Перерегулированием а |
называется максимальное отклонение А/гмакс регулируе мой величины от установившегося значения, выраженное в процентах от ho— h{oo).
Абсолютная величина ДЛмаКс определяется из кривой переходного процесса:
А/імакс = Ймакс h ( о о ) .
Соответственно перерегулирование будет равно:
|
-О/ |
^ыакс |
Л(°°) |
1ППо / |
(5-1) |
|
0 /о------- Л(Б5) |
ши /«■ |
|
|
|
К о л е б а т е л ь н о с т ь . |
Колебательность системы ха |
рактеризуется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования tp.
Если за это время переходный процесс в системе со вершает число колебаний меньше заданного, то считает ся, что система имеет требуемое качество регулирования в части ее колебательности.
У с т а н о в и в ш а я с я о ш и б к а (см. § 3-1). Устано вившееся значение регулируемой величины по оконча нии переходного процесса зависит от астатизма ѵ си стемы.
В астатических системах (ѵ^О) согласно (3-13) и (3-14) установившаяся ошибка е(оо)=ео = 0 и, следова тельно, установившееся значение регулируемой величи ны Іг0 будет равно ее заданному значению х0.
В статических системах (ѵ= 0) установившаяся ошиб ка при постоянной величине входного воздействия не равна нулю и, следовательно, установившееся значение регулируемой величины будет отличаться от ее задан ного значения на величину установившейся ошибки.
По каналу задающего воздействия согласно |
(3-14) |
величина установившейся |
ошибки равна: |
|
ео =Мо - |
Л'о= ■ |
(5~2) |
где go — постоянное задающее воздействие; 'k— коэффи циент передачи системы.
По каналу возмущающего воздействия величина ошибки согласно (3-16) и (3-17) определяется выраже нием
|
_ г___fQ^oG |
|
(5-3) |
|
fo 1 kpkQ$ |
’ |
|
|
где /о — постоянное возмущающее воздействие; k0e — ко эффициент передачи объекта регулирования; kv — коэф фициент передачи регулятора.
Из выражений (5-2) и (5-3) следует, что величина установившейся ошибки в статической системе зависит от величины входного воздействие и от коэффициента передачи объекта и регулятора, причем чем больше ве-
