Для обеспечения заданного запаса устойчивости по фазе у (см. рис. 5-8) необходимо, чтобы АФХ разомкну той системы W(ja) проходила через точку D2 пересече ния луча OD2, проведенного из начала координат под углом у к вещественной отрицательной полуоси, с ок ружностью единичного радиуса, имеющей центр в на чале координат. Этому условию удовлетворяет характе ристика Wi(jсо) на рис. 5-8.
Если при заданном запасе устойчивости по фазе у характеристика W(ja>) пересекает луч OD2 левее точки Dz, то при появлении в системе возмущения по фазе, равного у, и неизменном модуле |1^(/со)| характеристи ка будет охватывать точку В (—1, /0) и, следовательно, система будет неустойчивой.
Если W(jt0 ) пересечет луч OD2 правее точки D2, то при появлении в системе такого же возмущения харак теристика W(jсо) пройдет правее точки В( —1, /0) и в этом случае система сохранит некоторый запас устой чивости. Такова характеристика W2(ju>) на рис. 5-8.
Таким образом, точка D2 (—cosy, —/s in у) полно стью характеризует запас устойчивости системы по фазе.
Система будет иметь требуемый запас устойчивости
по фазе у при W (/со) =D20. Так как .
DzO = (—cos у—/ sin у),
то условие необходимого запаса устойчивости по фазе запишется как
cos y + j sin y+W(ja) =0. |
(5-1-2) |
С учетом формулы (3-24) получим: |
|
еВ -{- W (/ш) = 0. |
(5-13) |
Если требуется, чтобы система имела необходимые запасы устойчивости по модулю с и фазе у при условии, что возмущающие воздействия на систему по модулю и фазе не совпадают по времени, то система должна удовлетворять условиям (5-11) и (5-13).
Если система удовлетворяет условиям (5-11) и (5-13), но возмущающие воздействия по модулю и фазе появляются в ней одновременно, то эти условия недо статочны для обеспечения заданных запасов устойчи вости ее по модулю и фазе. В этом случае появление возмущения по фазе у можно представить
па рис. 5-8 как поворот луча OD2 вместе с точкой пере сечения его с характеристикой W(ja>) на угол у по часовой стрелке, т. е. до совмещения его с отрицательной полуосью. Чтобы при этом обеспечить также и заданный запас устойчивости по модулю с, необходимо, чтобы точ ка пересечения характеристики W (jсо) с лучом ODz сов местилась с точкой D1 .
Следовательно, для одновременного обеспечения за данных запасов устойчивости по модулю и фазе необхо димо, чтобы характеристика W(ja) прошла через точку пересечения луча OD2 с окружностью радиуса і?=1—с, центр которой совпадает с началом координат (точка D3[— (1—с)cosy, —/(1—с)sin у] на рис. 5-8).
Условие обеспечения необходимых запасов устойчи вости по модулю с и фазе у при одновременно возни кающих воздействиях по модулю и фазе запишется так:
W(ju>y=D30.
Так как
D30 = — (1—с) (cos у+ / sin у),
то окончательно получим:
(1 - с ) е п + W(ju>) = 0. |
(5-15) |
в) Выделение в плоскости параметров настройки регулятора области с заданными запасами устойчивости по модулю и фазе
При настройке АСР с целью обеспечения требуемых качественных показателей элементами настройки, как правило, являются параметры регуляторов. В связи с этим определим пределы возможных настроек регуля торов, обеспечивающих одновременно требуемые запасы устойчивости системы по модулю, и фазе.
Согласно (2-73) для разомкнутой системы
W (/со) = W0Q(ja) Wpd®). |
(5-15) |
Амплитудно-фазовые характеристики объекта и регу лятора через их вещественную и мнимую части запишут ся как
\Ѵов (/со) = |
и об(со) -}_ Д/об (со); |
\ |
|
Ц7р(/ш) = |
[/р(«)Н-;Ур(а,). |
I |
> |
Если параметры настройки регулятора ѵ и г) входят линейно соответственно в действительную и мнимую ча сти характеристики Wp(jio), а именно:
Нр(со) =ѵРр(ш) и Т/р(со) =iiQp(co),
то АФХ регулятора может быть представлена в виде
ИМ/ш)=ѵ/?Р(и)+/ті<Зр(со). (5-17)
Подставив выражения (5-16) и (5-17) в формулу (5-15), получим:
W(ja) =[ѵП00(со)/?р(м)—ііІ/об(ю)(?р(со)]+
+ /[pHo6(co)Qp((o) + v l / oa(co)7?p(co)]. |
(5-18) |
Подставив это значение W(ju>) в формулу (5-11) и приравняв нулю отдельно действительную и мнимую ча сти, получим:
1—с + V Поб(ев) Rp(ш) —г)Ѵоб (со) Qp(со) = 0;
Л П0б(со)Рр(со) +ѵУоб(со)7?р(со) =0.
Решая эту систему уравнений, находим границу об ласти с необходимым запасом устойчивости по модулю в плоскости параметров настройки регулятора:
|
V |
(с - 1 ) Роб И |
|
(5-19) |
|
- с |
[ ^ б (ой + іу2б Н ! / ? Р н |
|
' |
|
_ |
(1 — с) Ѵой (са) |
|
(5-20) |
|
|
|
|
|
|
Г^об (“ ) + 1;с2б (“ )] |
Н |
' |
Подставив значение W(joi) в формулу (5-12) и при равняв нулю действительную и мнимую части, получим:
cos Y+V t/об (со) Rp (со) —л Ѵоб (со) Qp (со) =0;
sinу+ѵУоб(со)^р(со) -H£7O6(W)QP (G)) =0.
Решая эту систему уравнений, находим границу об-, ласти с необходимым запасом устойчивости по фазе в плоскости параметров настройки регулятора:
|
и Об ( а ) C O S Y + У о б ( с о ) s i n Y . |
(5-21) |
|
[[/с3бН + у2б(ш)]Яр(о>) ’ |
|
|
|
У р б ( с о ) C O S Y — Ug6( t o ) s i n у |
(5-22) |
|
|
[^обН + ^об HlQp И
Подставив ряд значений со в формулы (5-19) — (5-24), можно выделить в плоскости параметров настройки ре гулятора области с необходимыми запасами устойчиво сти по модулю и фазе.
г) Выделение в плоскости параметров настройки регулятора области с необходимым запасом устойчивости по экспериментальной АФХ объекта
В связи с трудностью вывода дифференциальных уравнений промышленных объектов существенный инте рес представляют методы определения пределов на стройки регулятора, обеспе чивающих заданные запасы устойчивости по модулю и фазе, на основе эксперимен тальной АФХ объекта.
Рассмотрим графо-ана литические методы выделе ния в плоскости парамет ров настройки регулятора областей с необходимыми запасами устойчивости по модулю и фазе, использую щие экспериментальную
АФХ объекта. Рис. 5-10. Определение значе Система с П-регулятором. ния коэффициента усиления
Предположим, что АФХ объ П-регулятора, обеспечивающе
го необходимый запас устойчи
екта имеет вид, изображен вости системы, по АФХ ный на рис. 5-10; объекта.
253
Подставив значение W(jсо) в формулу (5-14) и при равняв нулю отдельно действительную и мнимую части, получим:
(1—с) cos у + ѵС/0б(со)-#р(сй)—■т]Ѵоб(а>) Qp(cö) =0;
(1—с) sin у+ л>Уос(со)-/?р(со) + С/об (со) Qp (со) =0.
Решая эту систему уравнений, находим границу об ласти с необходимым запасом устойчивости по модулю и фазе в плоскости параметров настройки регулятора:
|
__ (с — 1) \Ua6(со) cos у + Уоб (щ) sin у] . |
(5-23) |
|
[^об (“ ) + Ѵоб H I Яр И |
|
|
|
_ (1 — с) [Уоб (со) cos Y— и as (ц) Sin Y] |
(5-24) |
|
|
При заданных запасах устойчивости по модулю с и фазе у качество системы определяется расположением
АФХ разомкнутой системы относительно |
точек Di, D 2 |
и |
D.4. |
|
|
Согласно формулам (2-64) и (3-42) АФХ П-регулято- |
ра |
имеет вид: |
|
|
№Р(/со)=Ѵ |
(5-25) |
Подставляя ее значение в (5-15), имеем:
Щ /ю )= М 7 оВ(/ш).
Из этого выражения следует, что при применении для целен регулирования П-регулятора АФХ разомкнутой си стемы получается путем умножения каждого вектора АФХ объекта на коэффициент усиления регулятора без изменения его фазы. В связи с этим для обеспечения за паса устойчивости по модулю, равного с, найдем значе ние коэффициента усиления регулятора из уравнения
WUoa)=kp.cOAz = O D l.
Отсюда |
|
OZ),'_ 1— с |
|
и |
- |
(5-26) |
«р.с— |
0Аг |
— 0Аг ■ |
При этом коэффициенте усиления регулятора АФХ |
разомкнутой системы |
W(ja) |
пройдет через |
точку Dі и |
система будет иметь запас устойчивости по модулю, рав ный с.
При kp>kp.c кривая W (jсо) будет охватывать точку Di и пересечет вещественную ось на расстоянии отточки В (—1, /0), меньшем чем с; следовательно, в таком слу чае система будет иметь запас устойчивости по модулю меньше заданного.
Коэффициент усиления регулятора при необходимом
запасе устойчивости по фазе у |
будет равен: |
|
_ |
О Д , |
_ |
I |
(5-27) |
:р т |
С М , |
|
С М , • |
|
|
Коэффициент усйления, обеспечивающий одновремен но необходимые запасы устойчивости по модулю с и фазе у, определяется по формуле
k |
= ООз I — с |
(5 −2 8 ) |
p e r |
С М , |
Ш 7 ' |
|
|
|
