Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Если запас устойчивости по модулю рав’ен нулю, то характеристика W (jсо) пройдет через точку В (—1, у0). Система будет па границе устойчивости. Критический коэффициент усиления регулятора при этом будет равен:

Коэффициент усиления регулятора, обеспечивающий требуемый запас устойчивости с по модулю, связан с критическим коэффициентом усиления, при котором система находится на границе устойчивости, очевидной зависимостью, вытекающей из формул (5-26) и (5-29):

Из формул (5-27) и (5-28) вытекает, что

Іг[,с І = ([ ~ с) крг

Подставив в это выражение величину (1—с) из урав­ нения (5-30), получим:

Система с Н-регулятором. Согласно зависимостям (2-60) и (3-46) АФХ И-регулятора имеет вид:

. is

(5-32)

Подставив это значение Wv (jсо) в выражение (5-15), получим:

. Т5

Таким образом, при подключении к объекту И-регу­ лятора АФХ разомкнутой системы получается путем умножения каждого вектора АФХ объекта на отноше­ ние коэффициента усиления регулятора к соответствую­ щей частоте и поворота его на 90° по часовой стрелке.

Найдем отсюда значение коэффициента усиления И-регулятора (рис. 5-11), обеспечивающее требуемый за­ пас устойчивости по модулю:

255

откуда

При этом коэффициенте усиления и іювернутой на 90° по часовой стрелке характеристике Wo5(jco) харак­ теристика замкнутой системы \Ѵ(/со) пройдет через точку

D1 и система будет иметь запас устойчивости по модулю,

Если запас устойчивости по модулю равен нулю и си­ стема находится на границе устойчивости, то из (5-34) найдем критическое значение коэффициента усиления:

256

Сравнивая АФХ П-регулятора, И-регулятора и ПИ-регулятора [формулы (5-25), (5-30) и (5-38)], видим, что ПИ-регулятор в динамическом отношении эквива­ лентен П-регулятору с коэффициентом усиления kp и И-регулятору с коэффициентом усиления &р/Гц, соеди­ ненным параллельно.

Подставив И7р(/со) из выражения (5-38) в формулу (5-15), получим:

или, если учесть зависимость (5-32),

w (/со) = kpw 06 (/со) + т иѴ ^ о б (/со) е~‘ т .

Следовательно, каждый вектор АФХ разомкнутой системы, например вектор, построенный для частоты со*, может быть получен из АФХ объекта (рис. 5-12) как сумма двух взаимно перпендикулярных векторов:

ОВк= kpOAk и BhDh= 7 ншв OAfcе 2 . Модуль вектора OB при данной частоте определяется

коэффициентом усиления kv, а модуль вектора BhDh по­

мимо kp, также и постоянной времени Тж.

Для обеспечения заданного запаса устойчивости с по модулю при различных соотношениях коэффициента усиления регулятора kv и постоянной времени Гц необ­ ходимо (рис. 5-13), чтобы АФХ разомкнутой системы проходила через точку Ді[(с—1), /0]. Следовательно,

щих требуемый запас устойчивости с по модулю, вектор

BhDh (рис. 5-12) должен упираться в точку Di (рис. 5-13). Тогда запас устойчивости будет обеспечен при частоте сщ. Это же условие должно быть соблюдено для всех векторов характеристики WOÖUUK), т. е. для всех частот шл.

Все векторы, определяемые только параметром кѵ, образуют с векторами, определяемыми, кроме того, еще

■/

%ь(М

Рис. 5-13. К определению областей с не­ обходимым запасом устойчивости в плоско­ сти параметров настройки ПИ-регулятора по АФХ объекта.

и параметром Тт углы 90°, опирающиеся на отрезок ODі, этот отрезок является диаметром окружности (рис.5-13), на которой лежат вершины упомянутых прямых углов.

Значения параметров настройки регулятора kv и Тл, обеспечивающие требуемый запас устойчивости по моду­ лю с, определяются из уравнения

258

откуда вытекает, что

чений частоты, получим в плоскости параметров настрой­ ки ПИ-регулятора границу kv.0= f(Tu.c) области, в кото­ рой запас устойчивости по модулю будет не меньше за­ данной величины с.

Так как точка Dz определяет запас устойчивости по фазе, то, построив окружность на отрезке СШ2 аналогич­ но тому, как это делалось для отрезка ODi, получим зна­ чения параметров настройки регулятора, обеспечиваю­ щие требуемый запас устойчивости замкнутой системы

По этим значениям /грт и Тщ, подсчитанным для ряда

частот, можно построить в плоскости этих параметров границу области, в которой запас устойчивости по фазе будет не меньше заданного значения у.

Так как точка D3 определяет одновременно заданные запасы устойчивости по модулю и фазе, то, построив по­ добно предыдущему окружность на отрезке OD3, как на диаметре, получим:

По этим выражениям для ряда частот определяются точки, по которым в плоскости этих параметров строится граница области, в которой одновременно обеспечива­ ются запасй устойчивости по модулю и фазе не ниже заданных с и у.