Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При заданной величине Т этот интеграл имеет мини­ мум, если подынтегральная функция

Т Т Т + * = ° -

Решая это дифференциальное уравнение, находим вы­ ражение оптимального переходного процесса для дан­

ных систем:

_t_ X = х йе т.

Таким образом, оптимальным переходным процессом в этом случае будет изменение регулируемой величины по экспоненте с постоянной времени Т, определяемой за­ данной максимально допустимой скоростью изменения регулируемой величины.

Методы нахождения интегральных оценок качества переходного процесса изложены, например, в [Л. 5 и 30].

5-6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ СИСТЕМЫ

Показатели качества системы можно определить, имея график переходного процесса (см. рис. 5-1). Но так как для получения графика переходного процесса необ­ ходимо аналитическое решение дифференциального урав­ нения системы, что является во многих случаях сложной задачей, то при расчетах автоматических систем регули­ рования нашли широкое применение приближенные ме­ тоды анализа переходных процессов.

Согласно формулам (3-'22) и (3-76) переходный про­ цесс замкнутой системы полностью определяется ее пере­

даточной функцией или АФХ,

которую' в соответствии

с (3-38)

можно разделить на

вещественную Uф(ю) и

мнимую

Ѵф(со) части:

 

Ф (/(0 ) — П ф ( а ) + ] У ф ( © ) .

Каждой АФХ однозначно соответствует веществен­ ная частотная характеристика {/$(■©), причем обе эти характеристики, как это видно из выражений (3-28) и (3-36), зависят только от всех коэффициентов дифферен­ циального уравнения; поэтому вещественная частотная характеристика Пф(со) замкнутой - системы однозначно определяет характер ее переходного процесса.

?§5

К переходным процессам в линейных АСР применим закон суперпозиции, как указывалось в гл. 1; это значит, что если входное воздействие представить как сумму со­ ставляющих воздействии и найти уравнения или постро­ ить кривые переходных процессов в системе для каждой составляющей порознь, то переходный-процесс, создавае­

 

 

 

 

мый

входным

 

воздейст­

 

 

 

 

вием

в целом,

будет

ра­

 

 

1\

 

вен

сумме

 

переходных

%

^

 

процессов

для

всех

со­

¥

а.

г г

 

ставляющих

воздействий.

 

11

 

 

 

11

 

На

этом

 

II

 

основана

¥

 

11

 

методика определения пе­

 

 

I 1

 

¥

 

11

 

реходного

процесса

по

¥

 

1{

 

вещественной

частотной

О

 

* , \ ?

 

характеристике

замкну­

 

 

ш , ш 2

 

 

 

 

 

той системы

при поступ­

 

 

 

 

лении на ее вход единич­

 

 

 

 

ного

ступенчатого управ­

 

 

 

 

ляющего воздействия.

так­

 

 

 

 

Можно

было

бы

 

 

 

 

же построить

кривую

пе­

 

 

 

 

реходного

процесса и по

 

 

 

 

мнимой

частотной харак­

 

 

 

 

теристике

замкнутой

си­

 

 

 

 

стемы.

 

замкнутая

си­

 

 

 

 

Пусть

 

 

 

 

стема

 

имеет

 

веществен­

 

 

 

 

ную

частотную

характе­

 

Uffj-Upt

 

ристику,

изображенную

 

 

 

 

па рис. 5-16,а.

 

 

 

Рис. 5-16. Представление веще­

Предположим,

что

ственной частотной

характеристи­

входное воздействие,

при­

ки

замкнутой системы суммой

ложенное

к

системе,

со­

трапецеидальных

вещественных

стоит

из

отдельных

со­

частотных характеристик.

ставляющих,

 

веществен­

ные

частотные

 

 

характеристики для

каждой

из кото­

рых имеют вид трапеции; при этом две стороны трапеции совпадают е осями кобрдинат со и Vф (со), третья парал­ лельна оси со, а четвертая наклонна.

Выбор трапеции в качестве типовой формы состав­ ляющих вещественных частотных характеристик обуслов­ лен следующими соображениями:

1) действительные вещественные частотные характе-

266

ристикп реальных систем регулирования легко расчленя­ ются на небольшое число трапецеидальных составляю­ щих;

2)вычисление ординат кривой переходного процесса для трапецеидальной вещественной частотной характе­ ристики достаточно просто и может быть облегчено ис­ пользованием таблиц;

3)точность расчетов достаточно велика.

Так как сумма переходных процессов от отдельных

составляющих образует

переходный процесс системы

в целом, то и сумма состав­

 

ляющих

вещественных

ча­

 

стотных характеристик, име­

 

ющих

форму

трапеций,

 

образует

вещественную

ча­

 

стотную

характеристику

си­

 

стемы (рис. 5-16,6).

приняв

 

Таким

образом,

 

трапецеидальную

форму

ве­

 

щественной

частотной

ха­

 

рактеристики за

типовую и

Рис. 5-17. Трапецеидальная

составив

таблицы

ординат

вещественная частотная харак-

кривых переходного

процес-

теристика.

са /г(т) для единичных трапеций с различными наклона­ ми четвертой стороны, мы можем с помощью таблиц и не­ сложных пересчетов построить переходные процессы для каждой составляющей вещественной частотной характе­ ристики и, просуммировав их ординаты, получить кри­ вую переходного процесса замкнутой системы.

Любая трапецеидальная вещественная частотная ха­ рактеристика (рис. 5-17) характеризуется высотой ІУфо(сй), интервалом пропускания частот юо, интервалом равномерного пропускания частот соц и коэффициентом

наклона х-и^/іоо-

единичной трапеции принимается

Для типовой

£Лі)о(сй) = 1 и шо= 1;

поэтому единичная трапеция харак­

теризуется только коэффициентом наклона x=cöd.

Для единичных трапеций с различными величинами X могут быть вычислены ординаты переходного процесса в виде Іг(т), где т = ‘соо^ — безразмерный параметр време­ ни. Из сказанного ранее вытекает, что для единичной трапеции т = 1• t — t.

Величины ординат переходных процессов, вычислен­ ные для различных х и х, называются Л-функциями.

267

'Значения /i-функциіі приведены в приложении 2.

Для перехода от /г-фуикции к переходной функции x{t), соответствующей данной составляющей трапецеи­ дальной вещественной частотной характеристике с тем лее %, но с Д ф 0 ( с о ) ^ 1 и соо+ М , необходимо значения /г-функции умноліить на Дф0(ю), а для перехода к но­

вому значению времени необходимо учесть,

что т==то0^

и, следовательно, t = т/со0. Поэтому

x(t) = Пф0(о))/г(т/со0).

На рнс. 5-1б,а выполнена разбивка вещественной частотной ха­

рактеристики системы на трапеции, которые отдельно

представлены

на рис.

5-16,6.

Здесь

они

расположены

 

так, что

их

основания

к— г, 0—е и л—б совпадаю т с осью со.

U,|, (со)

 

 

 

В

данном

случае

характеристика

может

быть за ­

менена

тремя

составляющими трапецеидальными

характеристиками

л—в— г— к, л— б — а и к— д— е—0, которые

характеризуются следую ­

щими параметрами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С/фоі= С/фі—С/фг= 1,2+0,3= 1,5;

ffidi= W2=2;

 

 

 

ш01 =

ш3 =

4; к =

— — =

0,5;

 

 

 

 

 

 

 

 

W01

 

 

 

 

 

 

 

U Ф02~ Uфо— U ф 1= 1,0— 1,2= — 0,2;

 

 

 

 

 

Wd2=0;

(Оо2=Ы| = 1,5;

и=0;

 

 

 

 

 

’С фоз =!£Уф2= —0,3;

Wd3=с0-і=5;

 

 

 

 

 

w03 =

“ б =

1Л

——

Гі с

 

 

 

 

 

10; X =

= 0 ,5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

ш03

 

 

 

 

П о таблицам й-функций (см. Приложение 2) находим значения ординат переходных функций /і(т) для единичных трапецеидальных вещественных частотных характеристик при х = 0 ,5 и х = 0 .

По /і-функцин для х = 0 ,5 находим переходные функции, соответ­ ствующие первой трапеции Хі(/) и третьей трапеции x3(t).

Рис. 5-18. Переходная функция системы с вещественной ча­ стотной характеристикой, изо­ браженной на рис. 5-16,а, вы­ численная методом трапецеи­ дальных характеристик.

268

Йо A-функции Для х = 0 находим переходные функции, соответствующие второй трапеции x2(t).

Результаты рабчетов приведены в табл. 5-1, где т, Л(Х_ 0) и

Л ^—0 ,5 ) взяты из таблиц Л-функций:

 

х і ~ ^ Ф о і А ( х _ о ,5)> х г ~

^ФогЛ(-/==о) >х з — ^ Ф о з ^ —0,5)’

 

 

 

 

Т

 

 

Z

 

Z

 

 

 

 

t l ~

«оі

’

“ «02 И

І з

~ «03 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 5-1

 

 

ю4

 

*.«)

 

Х,{()

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

Л(Х=0)

О

 

 

 

 

 

 

 

 

II

t,

 

Хі

 

 

-'•a

 

*3

 

 

 

 

 

 

 

 

*с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

0

 

0

0

— 0

1

0,31

0,461

0 ,2 5

0,691

0 ,6 6 7

— 0,062

0,1

— 0,138

2

0 ,5 7 2

0,833

0 ,5

 

1,25

1,33

 

— 0,114

0 ,2

— 0 ,2 5

3

0,755

1,061

0 ,7 5

 

1,591

2

 

— 0,151

0 ,3

— 0,318

4

0 ,8 5 7

1,142

1

 

1,713

2 ,6 6

 

— 0,171

0 ,4

— 0,343

5

0 ,8 9 6

1,118

1,25

 

1,677

3 ,3 3

 

— 0,179

0 ,5

— 0,3 3 4

6

0,903

1,051

1,5'

 

1,577

4

 

— 0,181

0 ,6

— 0,315

7

0 ,9 0 4

0 ,9 9 3

1,75

 

1,490

4 ,6 7

 

— 0,181

0 ,7

— 0 ,2 9 6

8

0,91

0 ,9 9 6

2

 

1,449

5 ,3 3

 

— 0,182

0 ,8

— 0 ,2 9

10

0,939

0 ,9 8 2

2 ,5

 

1,473

6 ,6 7

 

— 0,188

1,0

— 0,299

15

0,956

1,005

3 ,7 5

1,508

10

 

— 0,191

1,5

— 0 ,3

17

0,965

1,012

4 ,2 5

 

1,518

11,3

 

— 0,193

1,7

— 0,303

21

0,969

0,995

5 ,2 5

 

1,492

14

 

— 0 ,1 9 4

2,1

— 0 ,2 9 7

25

0,975

1,0

6,25

1 ,5

16,7

 

— 0,195

2 ,5

— 0 ,3

Построив кривые Х\((), x2(t) и x3(t) переходных процессов для составляющих трапецеидальных характеристик и просуммировав их ординаты графически (рис. 5-18), найдем кривую переходного про­ цесса системы:

*(0=*і(0+*2(0+*зС0.

имеющей вещественную частотную характеристику, вид которой представлен на рис. 5-16,а.

5-7. ПРИМЕРЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА АСР

Пример 5-1.

О п р е д е л и м п а р а м е т р ы

н а с т р о й к и АСР

т е м п е р а т у р ы

с у ш и л ь н о г о ш к а ф а

(см . р и с .

1-5 и

п р и м е р 2-1),

о б е с п е ч и в а ю щ и е з а д а н н у ю с т е п е н ь

у с т о й ч и в о с т и а и с т е п е н ь к о л е б а т е л ь н о с т и т.

При требуемой степени устойчивости а, заменив в характеристи­

ческом уравнении

(4-45) замкнутой-системы р на — а + /со ,

получим:

ТщТв(—а+/со)3+ (Гщ+Тп) (—'а+;'«)2—

— а + / м + А О б А р = 0 .

269

Смотрите также файлы