Рассматривая в этом выражении вместо вещественного коэффи
циента |
усиления |
регулятора |
комплексный |
параметр |
/г= й ,,+ /Х |
н при |
равнивая нулю |
отдельно вещественную и мнимую |
части, |
находим: |
|
РщРн“ (Зсо2 — а2) -f- (Тт-|- |
Тг1) (а2 — со2) — а Ң- |
|
— 0; |
|
откуда |
® [37"ш Т Еа 2 — |
|
— 2 а ( Т m -j- |
Т'л) -р 1] -|- А/г0б — о, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Р = ^ - [ Р ш7’ц« ( « 2 - З |
со2) + ( 7’ш + |
7УНС02 — “2) -р а] |
(5-5!) |
|
"об |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х= |
£ |
- 1ТшТп (со2 - |
За2) -Р |
2а |
(Тш + Ти) - |
!].' |
|
(5-52) |
Подставляя |
|
значения |
Г ш= 1 8 0 0 |
сек; |
Ги — 300 |
сск |
и |
іі0і — |
— 10,45ІО- 5 , |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
|
|
|
2 |
1 СО (со2 — а2) + а ]; |
(5-53) |
|
/гр = |
|
[540 000 (а2 — Зсо2) + |
|
X = |
|
106 |
|
|
|
|
|
4 200а — |
1 ]. |
|
(5-54) |
|
|
со [540 000 (со2 — За2) + |
|
При различных значениях частоты и заданной степени устойчи |
вости, |
например |
а = 1 0 -4, |
по |
выражениям |
(5-53) и |
(5-54) |
в плоско |
сти параметров регулятора (рис. 5-19) находим границу области со степенью устойчивости не менее заданной a = 1 0 ~ '. Эта кривая пред-
Рпс. 5-19. Области с -заданной степенью устой |
|
чивости |
ад=10_ і |
и |
заданной |
степенью |
колеба |
|
тельности /?г=0,2 в плоскости параметров на |
|
стройки |
регулятора |
системы, |
приведенной |
на |
|
рис. |
1-5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ставляет собой кривую ѵО-разбиения н |
пересекает |
вещественную |
ось |
в точках йр = 0,75 |
при со=0 |
и £ р= 21,2 |
при |
со= |
1,05 • 10~3. |
|
|
Таким образом, при изменении коэффициента усиления регуля |
тора в интервале |
0,75< А Р< 2 1 ,2 обеспечивается |
требуемая степень |
устойчивости a = 1 0 ~ 4 АСР по рис. 1-5. |
|
|
(4-45) символ р |
|
Заменив |
в характеристическом уравнении |
на |
— тш+jw, аналогичным путем получим границу области |
со степенью |
колебательности i n не более заданной:
бр,„ = |
/77 [ТтТпш(йг (иг2— 3) + |
(7\„ + Г „) ы (1 — пг2) + |
іи]; |
|
(5-55) |
|
№Об |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
т ~ [Т тТ „со2 (I — 3/;г2) + (Г,,, -[- Т и) 2пгы — 1]. |
(5-56) |
|
|
|
/соб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
числовые значения |
7’ш= 1 8 0 0 |
сек; |
Т,, = 3 0 0 |
сек н |
kо о = 10,45 • ІО-5, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/грm = |
ІО5 |
|
|
|
2 lOOco (1 — ш2) + |
m]; |
|
(5-57) |
iQ |
со [540 000/нсо2 (in3 — 3) + |
|
|
|
|
ІО5 |
со [540 OOOco2 (I — 3/и2) + |
4 200дгсо — 1]. |
|
(5-58) |
|
|
X„, = iQ— |
|
На рис. 5-19 в плоскости параметров настройки регулятора по |
строена |
граница области со степенью колебательности |
//г< 0 ,2 . |
Эта |
граница |
пересекает |
вещественную ось в начале координат |
при |
со= 0 |
и в точке, где /г,,= 13 при со=0,7810_3. |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при значениях коэффициента усиления регулято |
ра /?р<13 система имеет степень колебательности |
меньше ш = 0,2. |
|
Обе |
построенные кривые |
пересекаются |
при |
частоте |
со= а /я г= |
= 5 - 10-1.
На рис. 5-19 нанесена также кривая D -разбиения, ограничиваю
щая всю область устойчивости заданной системы. |
|
|
Три построенные D -кривые |
разбивают плоскость параметров |
/гл |
и К на пять областей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ — область неустойчивости; |
|
|
|
|
II — область |
устойчивости, по с та<'1(И4 и іп> 0,2; |
' |
|
III — область устойчивости |
с а < IО-4 и /л <0,2; |
|
|
IV — область устойчивости |
с |
а > 1 0 -4 |
и /п > 0,2; |
|
|
V — область устойчивости |
с а > 1 0 -4 |
и т < 0 ,2 . |
|
|
Следовательно, только область V, заштрихованная 'на рис. 5-19, |
удовлетворяет требованиям, предъявляемым к системе, |
так |
как |
только при |
значениях |
параметров настройки |
регулятора, |
лежащ их |
в пределах |
области |
V, |
система |
имеет степень |
устойчивости больше, |
а степень колебательности меньше допустимой. |
|
|
|
При этом коэффициент |
усиления регулятора может изменяться |
в пределах 0,75< А Р< |
1,3. |
|
|
|
|
|
|
|
Как уж е указывалось |
выше, |
искомую |
область можно |
получить |
и не определяя полностью все границы устойчивости. Для этого по
|
|
|
|
|
|
|
|
выражениям (5-53) и (5-54) выполняют построение границы |
при |
изменении со от 0 |
до ш = а //и = 5 • 10-4 , а |
по выражениям |
(5-57) |
и |
(5-58) выполняют |
построение оставшейся |
части |
границы области |
V |
при изменении со |
от со= 5 - 10~4 |
до со= 7,8 ■К Н . |
Все три |
кривые |
D -разбиения симметричны относительно вещественной оси. |
|
|
|
Пример 5-2. О п р е д е л и м |
п а р а м е т р ы |
н а с т р о й к и |
с и- |
с т е м ы п о р и с . 1-5, о д н о в р е м е н н о о б е с п е ч и в а ю щ и е
з а д а н н ы е |
з а п а с ы |
у с т о й ч и в о с т и |
п о |
м о д у л ю и |
ф а з е , п о л ь з у я с ь АФХ |
о б ъ е к т а . |
|
р на /со, полу |
Заменив в передаточной функции (2-87) объекта |
чим АФХ объекта: |
|
|
|
|
|
боб |
|
(5-59) |
|
(/и) = |
(1 + / с о Г ш )0(1 + / “ 7 Ѵ Г |
|
|
Умножив числитель и знаменатель на произведение сопряжем ных множителей знаменателя, получим:
^o« (Н = |
^ о б (1 — Т т |
Т ц Со~) — / м ( Т ’ш ~ Ь ^ * п ) |
(5-60) |
|
( ? Ѵ |
+ 1)(7>* + 1) |
|
И з выражения (2-86) находим АФХ регулятора:
Ар
Щ (/со) = /со со (5-61)
Рассматривая вместо вещественного коэффициента усиления ре гулятора комплексный параметр А=Лр + /Х, вещественная часть ко торого равна действительному коэффициенту .усиления регулятора, и подставив k в формулу (5-61), получим:
Н Ѵ Л / Ч > = - £ - - / - ^ - . |
(5-62) |
И з АФХ объекта (5-60) и регулятора (5-62), разделяя их на вещественные и мнимые части по формулам (5-16) и (5-17), на ходим:
Uо, Н |
|
* 0 6 (1 - ТтТиьР) |
|
= ■(7>=Ч-1)(7>=+ 1) |
|
|
|
*Об (Гщ + |
^и) 03 |
|
Vos (со) = |
— - (Г^со=+ 1)(7>* + 1) |
(5-63) |
Rp(“) = |
1 |
Л |
1 |
|
• |
Qp(“) = — |
|
|
t) = ftp и v = X.
Подставляя эти величины в формулы (5-19) и (5-20), опреде ляем в плоскости комплексного параметра регулятора координаты
точек границы области с запасом |
устойчивости системы |
по |
модулю |
не ниже заданного с: |
|
|
|
|
|
|
|
йрс — |
|
(Tw Ң- Тв) со2; |
|
(5-64) |
Х0 = |
(1 — |
с) со |
„ |
|
1). |
|
(5-65) |
и |
|
(ТтТиы* — |
|
|
коб |
|
|
|
|
|
Подставляя значения |
Т ш = 1 800 |
сек; |
7'„ = 300 |
сек; |
к0с = |
■=10,45 • ІО-5, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
éPc==20,l • 10 (1 — с) со2; |
Хс = |
(1 — с) со-ІО5 |
|
|
і |
— |
(540 OOOco2 — 1). |
При с = 0 получаем |
выражения для |
границы устойчивости си |
стемы (см. рис. 4-12). |
|
|
|
|
|
|
|
Подставив величины (5-63) в формулы (5-21) и (5-22), получим координаты точек границы области с запасом устойчивости системы по фазе ие ниже заданного у.
По формулам (5-23)! и і(5-24) тем ж е путем находим выраже ния, определяющие координаты границы области с запасами устой чивости системы по модулю и фазе не ниже заданных при одновре менном появлении в ней возмущающих воздействий по модулю и фазе.
Рис. 5-20. Области с заданным запасом устойчи
вости по модулю с = 0 ,4 и |
фазе у = 0 ,2 |
в плоско |
сти параметров |
настройки |
регулятора |
системы, |
приведенной на |
рис. 1-5. |
|
|
По полученным выражениям, задаваясь различными значениями частоты, можно построить в плоскости параметров настройки систе
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы для требуемых запасов устойчивости, |
например с = 0 ,4 |
и у = 0 ,2 , |
четыре |
граничные кривые (рис. |
5-20), которые делят плоскость |
па |
раметров настройки на шесть областей: |
|
|
|
|
/ — область неустойчивости; |
|
|
|
|
|
I I — область устойчивости, но с недостаточными запасами устой |
чивости как по модулю, так и по |
ф азе (с< 0 ,4 ; у < 0 ,2 ) ; |
|
|
|
III — область |
с достаточным |
запасом |
устойчивости |
по |
модулю, |
но недостаточным запасом устойчивости по |
фазе (с> 0 ,4 ; |
у < 0 ,2 ) ; |
|
I V — область с недостаточным запасом |
устойчивости |
по |
модулю, |
но достаточным запасом устойчивости по |
фазе (с< 0 ,4 ; |
у > 0 ,2 ); |
|
V — область |
с достаточным |
запасом |
устойчивости |
по |
модулю |
(с > 0 ,4 ) |
при отсутствии |
одновременны х.возмущ ающ их |
воздействий |
по ф азе |
и достаточным |
запасом |
устойчивости по ф азе |
(у > 0 ,2 ) |
при |
отсутствии одновременных возмущ ающих воздействий |
по |
модулю; |
VI — область |
с достаточным |
запасом устойчивости как |
по фазе, |
так и по модулю при одновременных возмущающих воздействиях по модулю и фазе (с> 0 ,4 ; у > 0 ,2 ).
