Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Прямая (7-67) называется прямой Попова. Прямая Попова делит всю плоскость (рис. 7-34) на две полупло­ скости. С учетом этого неравенство (7-65) характеризует ту полуплоскость, которая расположена справа от пря­ мой Попова. Условие (7-65) с учетом (7-66) требует, чтобы видоизмененная АФХ целиком лежала справа от прямой Попова. Таким образом, можно дать следующую геометрическую формулировку частотного критерия абсолютной устойчивости Попова.

Для абсолютной устойчивости системы с нелиней­ ностью в угле (О, А] и устойчивой линейной частью доста­ точно, чтобы в плоскости видоизмененной характеристи­ ки W*n(j(ü) можно было провести прямую через точку действительной оси с абсциссой —ljk, относительно которой W*л(/со) вся лежала бы справа.

На рис. 7-34,а представлены расположение видоизме­ ненной АФХ линейной части системы, устойчивой в угле {О, А], и прямая Попова.

Так как частотный критерий абсолютной устойчиво­ сти Попова является достаточным, но не необходимым условием абсолютной устойчивости, то отсутствие воз­ можности проведения прямой Попова так, чтобы W*n(ja) лежала целиком справа от нее, еще не гаран­ тирует факта неустойчивости системы.

Так, система с W*a(j<ü) по рис. 7-34,6 может быть неустойчивой в угле [О, АД может быть на границе устойчивости в угле {О, А], но является абсолютно устой­ чивой в угле [0„ А2]. Однако фактически эта система может оказаться абсолютно устойчивой и в углах [0, Aj] и [О, А]. В случае необходимости для того чтобы убе­ диться, что система с W*zl(ja) по рис. 7-34,6 действи­ тельно не обладает абсолютной устойчивостью, напри­ мер в угле [0, АД ее надо исследовать другими методами.

■В общем случае для абсолютно устойчивой нелиней­ ной системы в угле (О, А] имеется целый спектр прямых Попова (рис. 7-34,в).

Критерий абсолютной устойчивости Попова можно распространить и на случай, когда линейная часть явля­ ется неустойчивой.

Для этого введем в структурную схему системы, при­ веденную на рис. 7-32,а, два условных звена с передаточ­ ными функциями W y(p)=ky, одно из которых включено параллельно нелинейной части системы, а второе — встречно-параллельно линейной ее части (рис. 7-35,а).

348

Так как при исследовании системы, на устойчивость рассматриваются переходные процессы в системе в от­ клонениях от заданного значения регулируемой величи­ ны (свободное движение при g (t)= 0 ), то эквивалент­ ность схем рис. 7-32,а. и 7-35,а очевидна.

Структурную схему на рис. 7-35,а можно представить в виде условной нелинейной части НЭХ и условной ли­ нейной части с передаточной функцией

Так как при охвате неустойчивого звена или системы жесткой отрицательной обратной связью устойчивость

а)

соединения повышается (см., например, § 6-4), то выбе­ рем величину коэффициентов усиления k7 условных звеньев из такого расчета, чтобы условная линейная часть с передаточной функцией (7-69) была устойчивой.

349

При этом условная нелинейная часть системы будет иметь характеристику

устойчивости в угле (0, /г] системы с неустойчивой линей­ ной частью свелась к задаче исследования абсолютной устойчивости в угле [0, k—йу] системы с устойчивой ли­ нейной частью (рис. 7-35,6).

В результате условие абсолютной устойчивости По­ пова нелинейной системы с неустойчивой линейной частью может быть сформулировано следующим об­ разом.

Для абсолютной устойчивости системы с нелинейноностью в угле [0, к] и неустойчивой линейной частью достаточно, чтобы в плоскости видоизмененной харак­ теристики ТУ*л.у(р) можно было провести прямую через точку действительной оси с абсциссой — ll(k —/гу), от­ носительно которой W*„,y(p) вся лежала бы справа.

д) Прямой метод Ляпунова

Известно, что равновесие любой системы будет устойчивым, если в точке равновесного состояния ее по­ тенциальная энергия имеет минимум. Вокруг равновес­ ного состояния системы в фазовом пространстве имеют­ ся эквипотенциальные поверхности. По мере удаления от начала координат энергетические уровни этих поверх­ ностей возрастают.

Следовательно, если при движении изображающей точки системы в фазовом пространстве она последова­ тельно перемещается с поверхностей высокого энергети­ ческого уровня к поверхностям более низкого уровня, то система при своем движении будет стремиться к устой­ чивому равновесному состоянию.

Это положение использовано Ляпуновым для сужде­ ния о некоторых достаточных условиях устойчивости системы.

Им предложено для исследования устойчивости си­ стемы использовать вспомогательные функции координат фазового пространства хі, х%*.., хп вида

Функция (7-71) называется У-функцией или функци­ ей Ляпунова.

350

Функция Ляпунова должна быть однозначной, непре­ рывной, -положительной и в начале координат обращать­

ся в нуль.

При некотором постоянном значении С ф 0 в фазовом пространстве функция Ляпунова представляет замкнуную поверхность, охватывающую точку равновесного со­

стояния системы.

При различных постоянных значениях С получим семейство вложенных друг в друга поверхностей, причем поверхности с меньшими значениями С вложены внутрь поверхностей с большими значениями С.

При уменьшении С поверхности стягиваются к нача­

лу координат.

При С— Н) поверхность сжимается в точку равновес­ ного состояния.

Рис. 7-36. Примеры геометрической интерпретации исследования устойчивости системы по прямому методу Ляпунова.

В качестве примера на рис. 7-36 показаны некоторые функции Ляпунова на фазовой плоскости.

Если при перемещении изображающей точки вдоль фазовой траектории из некоторого начального положе­ ния а точка перемещается последовательно от поверхно­ стей с большим значением С к поверхностям с меньши­ ми их значениями, т. е. при производной dVjdt< 0 , то система при своем движении будет стремиться к равно­ весному состоянию (см. рис. 7-35)'. Таким образом, если из любого начального положения фазового пространства изображающая точка, перемещаясь вдоль фазовой тра­ ектории, пронизывает поверхности семейства Ѵ-функций в направлении снаружи внутрь, обеспечивая тем самым условие dV/dt<.0, то это является достаточным условием устойчивости системы в «большом».

351

Оценка устойчивости с помощью фукций Ляпунова называется прямым методом Ляпунова или вторым ме­ тодом Ляпунова.

Условия устойчивости по прямому методу Ляпунова являются достаточными, но не необходимыми. Так, на рис. 7-36,6 представлена фазовая траектория устойчи­

метода Ляпунова не соблюдается в связи с тем, что на отдельных участках движения изображающей точки вдоль фазовой траектории кривые Ѵ-функций пронизы­ ваются изнутри наружу, т. е. на этих участках значения Ѵ-функций возрастают и dV/dt>0. В таких случаях не­ обходимо дополнительно исследовать систему на устой­ чивость, задавшись новым видом Ѵ-функций, или при­ менить другой метод.

Прямой метод Ляпунова мо5кно распространить и на случай, когда имеется не точка равновесного состояния системы, а семейство таких точек, образующих отрезок равновесия (см., например, рис. 7-21,а) или в общем случае пространство равновесия в окрестностях начала координат в «-мерном пространстве.

При этом поверхности семейства (7-71) при уменьше­ нии С стягиваются к отрезку или области равновесия.

Трудности практического использования прямого ме­ тода Ляпунова состоят в том, что отсутствуют строгие рекомендации по подбору Ѵ-функций. Наиболее простой

рывна и в начале координат обращается в нуль. Следо­ вательно, она удовлетворяет всем требованиям, предъяв­

352