Файл: Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

н двухпозиіциошюм регуляторе со статической характеристикой, изображенной на рис. 7-7,а.

Из (7-22) и Приложения 3 находим передаточную функцию ре­

Отсюда в соответствии с (7-53) получаем следующие условия возникновения автоколебаний в системе:

стройки регулятора, например В, обеспечивающие автоколебания ре­ гулируемого параметра с амплитудой колебаний не более А в:

Параметры настройки регулятора Ь и В по (7-56) определяются из условия обеспечения амплитуды колебаний не более Ап и часто­ ты переключений регулятора

m=rIf/2=jt/con.

Условия возникновения автоколебаний в нелинейной системе можно также определить по критерию устойчи­ вости Найквиста.

Согласно (4-17) с учетом (7-51) в линеаризованной системе возникнут автоколебания при условии

Вводя обозначение обратной АФХ линеаризованного нелинейного элемента

запишем условие (7-58) в виде

341

Передаточная функция многих типовых нелинейных

элементов зависит только от амплитуды входных сигна­ лов.

В этом случае условие (7-60) имеет вид:

Это решение наиболее просто находится для условия (7-61).

В этом случае на комплексной плоскости следует по­ строить кривыеИ7Л(/со) и —Мп{А), задаваясь значения­ ми ü> и А от 0 до с о .

Рис. 7-30. Графическое определение параметров автоколебаний в нелинейной системе.

Если эти кривые пересекутся, в системе имеют место автоколебания, частота и амплитуда которых опреде­ ляются значениями шп и Ап в точке пересечения (рис. 7-30,а).

При графическом решении уравнения (7-60) необхо­ димо строить семейство кривых —Мн(/ю, А) для различ­ ных постоянных значений со при изменении А от 0 до оо. При этом искомые значения Ап и соп определяются в точ­ ке пересечения Wfl(jсо) с той кривой —УИД/со, А), у кото­ рой значение параметра т = соп совпадает со значением отметки-со= соп на кривой Wx {jat) в точке их пересечения..

При этом в точке пересечения будет иметь место ра­ венство (7-60).

342

Если Wn(jw) й —Мп{А) пересекаются в нескольких точках (рис. 7-30,6), то это свидетельствует о наличии в системе нескольких предельных циклов.

При этом колебания в системе могут быть устойчивы­ ми и неустойчивыми.

Согласно критерию устойчивости Найквиста (7-58) при наличии предельного цикла АФХ разомкнутой системы

тывать точку |(—1, /0), а при ДА<рО не будет ее охваты­ вать, то согласно критерию устойчивости Найквиста пре­ дельный цикл будет неустойчивым, так как малейшее увеличение амплитуды колебаний приведет к ее даль­ нейшему увеличению.

Если при ДА>0 характеристика Щ/ах) не будет охва­ тывать точку (—1, /0), а при ДА<0 будет ее охватывать, то в первом случае это вызовет увеличение амплитуды до значения А =А Ша во втором случае — ее уменьшение до этого же значения. Следовательно, в обоих случаях приращение ДА будет стремиться к нулю и колебания, соответствующие этому предельному циклу, будут устой­ чивыми.

При представлении условия (7-58) в виде (7-61) охват характеристикой W(jax) точки (—1, /0) при ДА<0 со­ ответствует на рис. 7-30,6 охвату характеристикой Ц7л(/<й) на кривой —Ліц(А) точки при А = АП—ДА, т. е. при —Мн(Ац—ДА).

Если при ДА>0 характеристика W(j<a) не охватывает Точку (—1, /0), то в этом случае Wn(ja) не охватывает на кривой —МВ(А) точки при А =А П+ДА.

Следовательно, предельный цикл в системе будет устойчивым только в том случае, если изображающая точка при перемещении вдоль кривой ~-УИн(А) в направ­ лении возрастания А подходит к точке-пересечения кри­ вых W'JI(/со) и —МП{А) изнутри характеристики Wn (jи).

Руководствуясь этим правилом, можно заключить, что на рис. 7-30,6 предельный цикл с параметрами Ащ и- сопі является неустойчивым, а предельный цикл с пара­ метрами Адг и С0 д2 будет устойчивым.

Физический смысл существования в этом случае ус­ тойчивых автоколебаний в нелинейной системе можно пояснить следующим образом.

343

Предположим что в системе на рис. 7-11 нередаточ* мая функция Wn(р, А)=Ігн(Л) и зависимость коэффици­ ента усиления нелинейного элемента от входной величи­

Амплитуда колебаний в системе будет уменьшаться. Это, согласно рис. 7-31, приведет к увеличению коэффициента усиления нелинейного элемента и его возврату к перво­ начальному значению kn= kl<p, и, следовательно, в систе­ ме будет существовать устойчивый первоначальный авто­ колебательный режим.

г) Абсолютная устойчивость. Критерий абсолютной устойчивости Попова

Устойчивость нелинейной системы «в большом» или «■в целом» при определенном классе нелинейностей приниято называть абсолютной устойчивостью.

Рассматривают абсолютную устойчивость систем (рис. 7-32,а), статические характеристики нелинейной части которых расположены внутри угла, образованного

344

Дйумя линейными Характеристиками, проходящими через начало координат в первом и третьем квадрантах (рис. 7-32,б).

Если нелинейная характеристика U= f(e) целиком расположена в секторе между линейными характеристи­

удовлетворять нелинейная характеристика

(7-62)

1е

Вэтом случае говорят, что нелинейные характе­ ристики расположены в секторе или угле {/ц, k2].

Нелинейная система называется абсолютно устойчивой в угле [ku &2], если она устойчива «в це­ лом» при любом характе­ ре нелинейности, удовлет­

С учетом (7-63) нелинейный элемент с характеристи­ кой и~Ң г) вугле:[£і—k?\ можно представить как последо­ вательное соединение нелинейного элемента НЭі с ха­ рактеристикой «і=/і(е) в угле [0, k2—k(\ и линейного

усилительного звена u = k is с передаточной функцией

W 7(P)=h.

Структурную схему системы в этом случае можно представить графически в виде рис. 7-33,а. Выделяя на рис. 7-33,о отдельно линейную часть системы (см. § 7-2), получим ее в виде, представленном на рис. 7-32,о с не­ линейной частью НЭ1 .

Рис. 7-33. Представление системы с нелинейностью в угле приведенной на рис. 7-32, в виде системы с нелиней­

ностью в угле [0, к].

С учетом этого при рассмотрении вопросов абсолют­ ной устойчивости нелинейных систем в дальнейшем бу­ дем считать, что все нелинейности удовлетворяют усло­ вию (7-64). Для исследования абсолютной устойчивости нелинейных систем румынским ученым В. М. Поповым разработан достаточный частотный критерий абсолют­ ной устойчивости.

Частотный критерий абсолютной устойчивости Попо­ ва может быть сформулирован следующим образом.

Д ля абсолютной устойчивости системы с нелиней­ ностью в угле [0, k] и устойчивой линейной частью с АФХ Wn(ja) = и л (а) +і'Ѵл(<в) достаточно, чтобы существова­ ло такое число q, при котором для всех со.^0 выполня­ лось бы условие

Частотному критерию абсолютной устойчивости По­ пова можно дать весьма удобное для практических рас­ четов геометрическое толкование. Для этого введем' понятие видоизмененной АФХ линейной части системы

W*n(ja>) — и*Л(со) +]У*ц(оз),

3 4 6