Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

107

Однако часто такое свертывание из-за сложности алгебраиче­ ских преобразований выполнить не удается. В этих случаях для определения коэффициентов левых частей уравнений предлагается использовать матричный метод Леверье с видоизменением Д.К.Фад­ деева [7б]. Ьтот метод в сравнении с известными другими метода­ ми отличается тем, что оказывается совершенно нечувствительным к частным особенностям матрицы коэффициентов уравнений звеньев, систем, в частности к "провалам" промежуточных определителей.

Вместе с тем даже применительно к этому методу остается полностью справедливым то,что методы вычисления коэффициентов

характеристических уравнений нужно применять с большой осторож­ ностью, так как можно получить принципиально ошибочные резуль­ таты [15].

Указанное положение удается в определенной степени устра­ нить путем двойного применения процедур Д.К. Фаддеева./

Для определения коэффициентов правых частей уравнений в

данной работе составлен специальный алгоритм, который основан , на том же методе Леверье с видоизменением Д.К.Фаддеева.

После вычисления коэффициентов характеристического уравне­

ния и вычисления коэффициентов правой части определение пока­ зателей качества систем должно осуществляться в следующей по­ следовательности.

1) Оцениваются запасы устойчивости систем по всем состав­ ляющим путем использования соотношений, которые получены из уравнений границ рабочих областей типа (I.5I), (1.63), (1.67) и (1.78). Для сястеш п порядка эти соотношения записаны в главе 1У (§ 8 ). Запасы устойчивости оцениваются с помощью коэф­

фициентов т ^ г , т ^ 3 , m^n_v n ^.Кроме того, запасы устойчи­ вости оцениваются с помощью колебательностей,вычисляемых для каждой колебательной составляющей. Формулыдля колебательностей записаны в § 3 главы У1. Целесообразно использовать формулы,ко­ торые получены с учетом исправления ошибок в процессах. Эти формулы имеются в указанном выше параграфе.

2) Определяются порядки уравнений отдельных составляющих.

108

В (1.84) через J- обозначен номер очередной составляющей, а

через I - суммарный порядок уравнений уже выделенных состав­ ляющих. Вели р- < I, то уравнение очередной составляющей имеет

первый порядок; если p .s I, то это уравнение имеет второй по­ рядок. Уравнениям составляющих соответствуют сомножители в при­

ближенной передаточной функции, которые для рассмотренных выше примеров записаны в (I . 15) и (1.27). Для общих случаев сомно­

жители приближенной передаточной функции записаны в главе Ш

(§ 5) и главе 1У (§ 7).

5) Вычисляются показатели качества отдельных составляющи Для этого используются передаточные функции этих составляющих.

Примерами этих функций являются те же сомножители в ( I .15) и (1.27). Для первой составляющей входное воздействие равно вели­

чине f ' скачкообразного внешнего воздействия f , а для осталь­ ных составляющих - начальным значениям предыдущих составляющих. Определение показателей качества составляющих первого порядка не вызывает затруднений, а для составляющих второго порядка

можно использовать материалы работы [э].

4)Определяется время переходного процесса как длительность протекания первой составляющей, сложенное с суммой, постоянных времени остальных составляющих.

5)Определяется полоса пропускания частот системы. Для это­

го целесообразно использовать приближенную передаточную функцию,

несколько отличную от функции типа (I.I5) и (1.27). Использо­

вание функции для определения полос пропускания частот систем связано с оценкой допустимости приближенного разложения при воздействиях, отличных от скачкообразных.

В алгоритмах синтеза систем и сложных случаев анализа из­ ложенные алгоритмы должны использоваться как составные части. Причем учет различных воздействий и оценка качества систем по различным координатам приведут лишь к многократному использова­ нию изложенных выше процедур.

Алгоритмы синтеза систем представляют собой сочетание ал­ горитмов определения показателей качества систем с известными алгоритмами оптимизации [23 и дрГ|. Причем ввиду недостатков,

которые характерны для градиентных методов, предпочтение отда­

109.

В начале данной главы указывалось, что в ней будут рас­ смотрены исходная предпосылка и основы метода эффективных по­ люсов и нулей с изложением, главным образом, исходных шдей и физической сути результатов. Содержание главы подтверждает это положение. В последующих главах основы метода эффективных по­ люсов и нулей будут рассматриваться более подробно, с более

тщательным обоснованием результатов. Однако подход к решению задачи и последовательность ее выполнения полностью совпадают

с подходом и последовательностью, которые применялись в дан­ ной главе.

п о

Г л а в а П

О ПОЛОШИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОШДСОВ

Данная глава является вспомогательной. Выделение излагаемых здесь вопросов в самостоятельную главу объясняется тем, что ре­

зультаты и приемы, которые вытекают из условий подобия переход­ ных процессов, будут ниже широко использоваться. В главе на ос­ нове известных положений и соотношений по подобию переходных процессов записываются связи между коэффициентами уравнений

(передаточных функций) систем применительно к трем формам запи­ си уравнений, которые будут использоваться в последующих гла­

вах. Кроме того, в главе излагаются необходимые пояснения по

используемым ниже приемам исследования, которые также вытекают из соотношений по подобию переходных процессов.

§ I. ЖАОДНЫЕ ЮлОДВНИЯ

Для изложения исходных положений и составления исходных соотношений по подобию переходных процессов обратимся к теоре­

I ll

ным числом (на число кх ограничения не накладываются, но для

удобства будем дальше его считать положительным числом). Тогда справедливо соотношение

Полученное выражение справедливо по теореме масштабов. Следо­

циям систем, т.е. будем предполагать, что внешние воздействия являются скачкообразными и имеют место преднулевые начальные условия (по другим внешним воздействиям материал излагается в

конце главы 1У). В этом случае изображения переходных процессов являются передаточными функциями автоматических систем [ 8 и

дрГ], т.е. в данном исследовании передаточным функциям соответ­ ствуют изображения Х ( р )и Х ( р ) = к х Х ( к ^ р ) -

Из выражения (2.6) и его сравнения с (2.1) следует, что

умножению функции на постоянное число в вещественной области соответствует в комплексной области умножен® на эту постоян­

ную изображения этой функции. Кроме того, из выражения (2.6) следует, что делению аргумента функции в вещественной области на постоянное число соответствует в комплексной области умно­ жение аргумента на такое же число.

112

Изложенные преобразования в вещественной области имеют кон­ кретный физический смысл, который вытекает из сравнения пере­ ходных функций x ( i )и o c (t ) . При графическом представлении этих

функций каждая из кривых шкет быть получена из кривой другой функции без ее изменения всего лишь изменением масштабов по

оси абсцисс и оси ординат. Так, например, кривая х (Сможет быть получена из кривой x ( t ) изменением масштабов по оси ор­