Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

14

в общих чертах. В данном параграфе эта цредпосылка рассматри­

вается более подробно.

Метод эффективных полюсов и нулей исходит из передаточной

функции замкнутой системы

т

°оР + Ь,Р

+ЬгР

+•

■+ Ьт-грг+Ьт-1Р+Ьт

( I . I )

а0р п+а,рп-'+аг р п- \ . . .

+ a n_2p*+an.j р + а п

 

или уравнения замкнутой системы

 

 

 

_«-/ „ п-г

. _

„г

+ Qn-,p + а п ) х =

,

(а о рп+а,рпч+ агрп~ + '•■ + ап_г р

(ь0р - +ь у ^ ь г рт- ^ - + ьт. гР ^ ь ^ р + ът) Р ,

 

где

п - порядок

(степень) характеристического

полинома;

т- порядок (степень) полинома правой части уравнения системы;

х - рассматриваемая координата; f - внешнее воздействие.

Исходная цредпосылка метода, как выше указывается, накла­

дывает ограничение на минимум запаса устойчивости системы,ко­

торый в методе эффективных полюсов и нулей оценивается по ко­ лебательности .

Понятие колебательности может быть применено к системе в

целом и к отдельным корням характеристического уравнения. При­ менительно к системе в целом под колебательностью понимается

тангенс угла (р и с .1 .1 ), который определяет двойной угол 2ф,

на границах и внутри которого лежат корни характеристического

Рис. 1 .1

15

уравнения. Иначе можно сказать, что колебательность системы есть отношение мнимой части к вещественной для тех комплексно-

сопряженных корней, для которых это отношение наибольшее. Если все корни характеристического уравнения вещественные, то коле­ бательность системы равна нулю.

 

Применительно к отдельным корням характеристического урав­

нения под колебательностью

понимается отношение мнимой час­

ти корня к вещественной, т .е .

 

 

 

 

 

(1. 2)

где

coj.-

мнимая часть j- -г о

корня;

 

 

& • -

вещественная часть

^ -го корня.

 

 

Для вещественных корней колебательность равна нулю, а

для

пары комплексно-сопряженных корней (р и с .1 .2 ,а) имеет одно

. и то

же

значение и будет обозначаться

.

Рис. 1 .2

Физически запас устойчивости |^ , ^+, характеризует степень

затухания соответствующей составляющей процесса в системе.Это затухание может характеризоваться степенью затухания переход­ ной характеристики (р и с .1 .2 ,6 ) системы второго порядка, для которой корни характеристического уравнения совпадают с рас­

сматриваемыми корнями

(р и с .1 .2 ,а ) . Количественно степень зату­

хания оценивается обычно по отношений амплитуд А3 и

А, или А2

и А,1.

\

по первоначальной

В методе эффективных полюсов и нулей

исходной предпосылке

накладывается общее

для всех

+ >

ограничение, которое

требует

 

 

/

16

 

 

 

(1.3)

Максимальное значение

 

 

 

а

гр.тах

= 4 ,8 9 .

(1 .4 )

г

 

 

Вместе с тем в зависимости от взаимного расположения корней это условие может усиливаться в сторону уменьшения значения

рв сравнении с величиной \izptlvax{1.4).

"осредненные кривые,

определяющие указанную взаишую связь,

для си стем четвертого

порядка показаны

на рис.1 .3 . На этом и

на других рисунках через р.3 ^ , соЗЛ, o l3

^ обозначены колеба­

тельность, частота и вещественная часть для пары комплексно­

сопряженных корней,

ближе расположенных к мнимой оси, чем дру­

гие корни (р и с .1 .4 ) .

Для пары других комплексно-сопряженных

корней используются

обозначения р, г,сО)ги o', 2 . йзли в системе

имеется всего одна пара комплексно-сопряженных корней, то для

этих корней

применяются первые обозначения, т . е . р 3 ч , oo3)lfHoJ3jIf,

а вещественным корням соответствуют индексы I и 2 и соответст­

венно цг и

р 2 , которые равны нулю (р и с .1 .5 ) . Введенные здесь

индексы используются и для других параметров корней и имеют тот

же смысл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривые на рис. 1 .3 определяют величину р г^

в

зависимости

от

значений

р ,)2и соотношения частот для двух'пар

корней

co3if

и со, г . Графики на р и с .1 .3 ,а соответствуют

диапазону

значений

 

 

 

со иг

= 0 т 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

соз,ч

 

 

 

(1 .5 )

а

 

 

 

 

 

 

трафики на р и с .1 .3 ,6 другому диапазону

 

 

 

 

 

 

 

 

соиг

= 1-Г Ю .

 

 

 

( 1. 6)

 

 

 

со3,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно было бы рассматривать зависимости величин

^ г р ,2

от величины

р 3

и соотношения частот со3 ,и

со,)2 .

Однако Ьдесь

и в последующем,

применительно к системам более

высоких поряд­

ков, применяемый подход оказывается более удобным и з-за

приемов,

используемых

в методе эффективных полюсов и нулей.

Зависимости для р гр^ ^показывают, что при приближении часто­

ты первого и

второго корней

со, 2 к частоте третьего и четвер­

того корней

со требование

по запасу устойчивости для третьего

и четвертого

корней усиливается и, следовательно, величина р гр

уменьшается.

При этом степень уменьшения величины р грз: тем

больше, чем меньше запас устойчивости по другой паре корней р ^

17

В основе использования зависимостей, представленных на рис. 1 .3 , лежат следующие физические соображения. На р и с .1 .6

пунктиром показана переходная характеристика для системы.вто-

I '

18

ш

,Р3

d

л

Рис Л . 5

рого порядка, запас устойчивости

которой равен значению (1 .4 )»

Будем считать,

что этот запао

соответствует величине

.

Введем еще одну

пару корней,

т .е .

перейдем к системе

четвертого

19

порядка. Вудем считать, что запас устойчивости для введенных

 

корней соответствует ^ ( 2 , и примем его

отвечающим тоже (1 .4 )

при соотношении частот со,)2 и соЗЛ, равном единице. Все это

 

означает,

что для данного соотношения частот мы не учитываем

 

взаимное

влияние корней.

 

 

 

 

На р и с .1 .6 сплошной линией показана

переходная характери­

стика для получешой системы четвертого

доряДка. Из рисунка

 

видно, что форма этой кривой соответствует меньшему запасу

 

устойчивости, чем форма кривой

(пунктирная линия на рис. 1 .6)

 

для системы второго порядка с

запасом

( 1 .4 ) . Для устранения

это­

го недостатка и необходимо уменьшить

запас устойчивости р 3

,

В главе У показано, что учитывать взаимное влияние корней,

характеризуемых кривыми на р и с .1 .3 , целесообразно и из других соображений, связанных с запасами устойчивости по коэффициентам уравнений.

Кривые на р и с .1 .3 определяют минимальный запас устойчиво­ сти лишь для системы четвертого порядка и идею использованных здесь приемов в непосредственной форме трудно применить к си­ стемам высоких порядков. В связи с этим изложенному выше мате­ риалу по системе четвертого порядка дадим толкование, которое позволит полученные результаты распространить на системы любо­ го порядка. Однако сделаем это позже в § 4 данной главы после рассмотрения решения задачи приближенного разложения процессов на отдельные составляющие применительно к указанной системе.

§ 2. ИСХОДНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ МЕТОДА

Рассматриваемое в данном параграфе исходное положение мето­ да является той основой, которая позволила получить все изла­ гаемые в данной работе результаты и составить, например, до­ статочно простыв алгоритмы анализа и синтеза автоматических си­ стем , не требующие, в частности, решения дифференциальных урав­ нений этих систем. Исходное положение метода справедливо при исходной предпосылке, которая рассмотрена в предыдущем пара­ графе.

В общей формулировке исходное положение метода заключается в приближенном разложении сложного процесса, соответствующего данной передаточной функции, на отдельные простейшие составляю­ щие.

20

В линейных автоматических системах разложение сложного про­ цесса на простейшие составляющие может быть осуществлено обыч­ ным способом после определения корней характеристического урав­ нения и использования, например, операционного метода построе­ ния переходных процессов. Такое разложение, как известно, яв­ ляется методически точным. В данном же случае речь идет о при­ ближенном разложении, которое, во-первых, не требует определе­ ния действительных корней характеристического уравнения и, кро­ ме того, имеет ряд других преимуществ, которые будут ясны из последующего изложения.

Весь изложенный ниже материал данного параграфа для нагляд­ ности будем рассматривать в основном на конкретных примерах пе­ редаточных функций четвертого и шестого порядков. В каждом при­ мере рассмотрим разложение процесса на отдельные составляющие операционным методом, методом последовательного формирования отдельных составляющих и приближенным методом, который тоже может быть назван методом последовательного формирования от­ дельных составляющих. Точный метод последовательного формирова­ ния отдельных составляющих обычно не применяется для построе­ ния процессов в системах. Здесь он используется потому, что из точных методов указанный метод по своему содержанию наиболее близок к приближенному.

Наконец, с той же целью наглядности будем рассматривать процессы, соответствующие скачкообразному изменению входных воздействий и преднулевым начальным условиям р !б ], т .е . будем рассматривать переходные функции систем. В последующем, в гла­ ве 1У, будет рассмотрен специальный параграф, посвященный при­ ближенному разложению процессов при других законах изменения входных воздействий.

Для удобства анализа рассматриваемых примеров вначале про­ ведем разложение процессов на отдельные составляющие последова­ тельно для всех примеров, а затем изложим анализ этих разложе­ ний. Цель анализа будет состоять в раскрытии сути исходного по­ ложения метода.

X X

X

П р и м е р I . Пусть имеем систему, для которой передаточ­ ная функция (I ) по координате х для воздействия f имеет вид

[3 1 ]

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

Ф(р)

 

60 /?2+ Ь , р + Ь г

 

(1 .7 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a oP4+arPK a z p ‘l + a3p + a h

 

0(Г

I ;

 

Ъ0= 398;

 

 

 

о ,=

I I I ;

 

 

 

( 1 . 8 )

Ог=

3690;

 

Ь,=

 

45300;

 

 

а 3=

153000;

6г=

I08I500.

 

 

 

а „г* I08I500.

 

 

 

 

 

 

Величина скачка в изменении воздействия f , которую обо­

значим

f

' , пусть будет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f'=

8 , 78 -К Г 6 .

 

 

(1 .9 )

Построим переходный процесс, соответствующий функции ( 1 .7 ) ,

операционным методом

[62}.

 

Для построения процесса указанным

способом необходимо иметь значения корней знаменателя переда­

точной функции (характеристического уравнения).

Для принятых зна­

чений ( с м .1 .8 )

коэффициентов знаменателя

этой функции значе­

ния корней оказываются следующими;

 

 

 

Р ьг " - 7’ 73; ± * 37>э >рэ= - 8 *3 ;

/\=

- 3 5 ’9 -

(1 Л 0 )

Аналитическое выражение для кривой переходного процесса

записывается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х - Xj +х г + х 3+ х у от ,

( I - И )

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х . = - 2 , 6 2 e 7’73ts in ( 3 7 ,9 t + 0,в31)10~6

, т

 

 

 

•О 1+ -Д

 

' -ДС

-С

 

-б

 

х г = - 6 ,7 2 е - Ю

\ х 3= (7,^2236

73 ; лусл7= 0,70-70 .

Через Xj,

х г ,

х 3 выше обозначены отдельные составляющие пе­

реходного процесса, на которые требовалось этот процесс раз­

ложить.

На р и сЛ .7 ,з

эти составляющие процессы

показаны графи­

чески,

а

на р и с .1 .7 ,б

произведено суммирование

и построен про­

цесс в целом (координата

х

).

 

 

 

Построим теперь переходный цроцесс по координате х точнш

методом последовательного формирования отдельных составляющих.

Для осуществления рассматриваемого построения переходного про­ цесса необходимо предварительно выполнить разложение переда­ точной функции (1 .7 ) на простейшие сомножители. Для этого не­ обходимо знать значения корней знаменателя этой функции, кото­ рые уже известны и соответствуют ( 1 .1 0 ).

Смотрите также файлы