Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

196

Уравнение (4.33),аналогичное уравнению (4.31), тем точнее соответствует границе рабочей области для системы третьего

Очевидно, что уравнение (4.33) будет практически справед­

ливо не только при бесконечно малых значениях Х д , но и для некоторого диапазона малых значений Хд . Было принято, что

(4.33) можно использовать до значения А33= 1,01, при котором прямая, соответствующая (4.33), пересекается с правой границей (рис.4.1). Наибольшее значение Хд соответствует точке пере­ сечения правой границы с прямой (4.33). Это значение состав­

Из графика ошибок видно, что здесь ошибки в переходных процес­

сах сравнительно небольшие и можно ожидать допустимость оши­

бок в колебательности по сравнению с (1.4). Это положение под­

тверждает график на рис.1.49,б. Таким образом, было получено

уравнение верхней границы, соответствующее (4.33).

Для того чтобы записать уравнения (4.32) и (4.33) примени­ тельно к (2.62), необходимо было воспользоваться условиями подобия переходных процессов и применить их, как указано в гл.Ш. В итоге получились уравнения правой и верхней границ

(1*51)•

При определении разделительной кривой (рис.4.1) учитыва­ лось, что в верхней и левой части рабочей области имеет место

Эта линия выше и была названа разделительной кривой.. При ее использовании ошибки выделения первых составляющих оказываются

в среднем минимальными.

Для определения разделительной кривой необходимо сначала

найти точку на границе рабочей области, где имеет место (4.37) На рис.4.1 этой точкой является точка А' . Затем необходимо

197

найти точки, удовлетворяющие (4.37) и внутри рабочей области. Однако оказалось, что разделительная кривая должна удов­

летворять еще требованию по согласованию разложений процессов

на отдельные составляющие для систем различных порядков. Это требование будет подробно пояснено в специальном параграфе.

Указанное требование заставило отойти от (4.37) и в каче­ стве разделительной использовать кривую, удовлетворяющую урав­

нению (1.53). Применительно к (1.49) это уравнение записыва­ ется

Кривая, соответствующая (4.38), имеется на рис.4.1. Отклоне­

ние от условия (4.37) увеличивает ошибки выделения первых со­ ставляющих и, как видно на рис.4.1, наибольшие значения време­ ни запаздывания для системы третьего порядка несколько превы­ шают (3.23). Однако ошибки разложения процессов на простейшие

составляющие (при использовании приемов уменьшения этих ошибоксм.§ 12 данной главы) не превышают 30% и здесь. Это положение имеет место и для систем других порядков.

Изложенный выше материал совместно с содержанием главы I

раскрывает полностью задачу разложения процессов на отдельные составляющие для систем третьего порядка. Осталось подготовить

материал к рассмотрению систем четвертого порядка. С этой целью будут составлены аналитические соотношения для коэффициентов Л 3 1(Лз,;)и ^з г (^г)и представлены кривые для них.

Коэффициент ^соответствует второй рабочей подобласти, где первая составляющая имеет уравнение первого порядка, а уравне­ ние для быстропротекающих составляющих (второго порядка) может соответствовать одной колебательной составляющей или двум апе­ риодическим, как это уже отмечалось при рассмотрении уравне­ ния (4.27). Условие, разделяющее эти случаи, соответствует (4.29). Выше (4.29) имеется колебательная быстропротекагощая со­

ставляющая, а ниже - две апериодические быстропротекающие со­

ставляющие .

Коэффициент Л3>2 соответствует второй рабочей подобласти,

где первая составляющая имеет уравнение второго порядка. Гра­ ницей между первой и второй рабочими подобластями, как уже

известно, является линия (4.38).

Однако использовать уравнение (4.38) здесь не потребуется.

Дело в том, что для упрощения исследования при определении

198

коэффициентов Л (упрощаются зависимости для этих коэффици­ ентов) будем в качестве границы между первой и второй рабочи­

В соответствии с этим изменится конфигурация первой и второй рабочих подобластей, как это показано на рис.4.2 (в отличие, например, от рис.4.1). Изменение границы между первой и вто­ рой рабочими подооластями приведет к изменению значений Л, (л)

для области, которая на рис.4.2 заштрихована, по сравнению со

Рис.4.2

значениями А ( л ) при обычной конфигурации рабочих подобла­

стей. При исследовании систем четвертого и более высоких по­ рядков это обстоятельство может привести к увеличению значе­

ний . Однако указанное положение не нарушит выводов о воз­ можности разложения процессов на отдельные составляющие.

199

Нужно иметь в виду, что рабочие подобласти, представлен­

ные на рис.4.2, будут использоваться только при определении

коэффициентов Л(А) , необходимых для исследования последующих систем. При рассмотрении всех других вопросов будут использо­ ваться, как это уже делалось, обычные рабочие подобласти. Рас­

смотренная здесь замена рабочих подобластей будет применяться

при определении коэффициентов А (А ) не только для систем тре­ тьего, но и для систем всех других порядков. С целью под­ черкнуть различие между обычными и используемыми при опреде­ лении А (А ) рабочими подобластями будем первые называть про­ сто рабочими подобластями, а вторые - рабочими подобластями для А .

Из рис.4.2 видно,' что первая рабочая подобласть для А полностью располагается выше прямой (4.39). Поэтому для этой

подобласти имеется первая составляющая первого порядка и коле­ бательная вторая составляющая [см.(4.29)] . В соответствии с этим для уравнения (1.49) получаем [см.пример (4.3)].

или

риодическая быстропротекающая составляющая. В то не время пер­ вая составляющая, хотя и имеет второй порядок, может быть как колебательной, так л апериодической второго порядка. Соотноше­ ние, разделяющее эти два случая, легко получить из условия равенства единице коэффициента затухания для рассматриваемой

составляющей. Из уравнения (4.30), которому соответствует урав­

нение первой составлю щей в данном случае, находим

(4.41)

200

При условиях

первая составляющая соответственно будет колебательной и апе­

риодической второго порядка.

В соответствии с изложенными замечаниями для (4.42) и

(4.43) имеем

з,о

^г,з,о

^ 3 , 3 , 0

или

^ з , г

' 2 , 3 , 0

И

Аг ,з,о

/ + А з,з,о

^ з , г

для различных значений А г 3 0 . Функции (4.46) на рис.4.3,а показаны пунктирными линиями, а функции (4.47) - сплошными.

Штрих-пунктирными кривыми показана правая граница, а верхняя граница совпадает с кривой функции (4.46) приАг j* 6. Изломы в кривых функции (4.47) соответствуют переходу от зависимости