Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

203

функцию (4.51).

§3. СИСТЕМЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Вэтом параграфе, как и в следующем, также будем исполь­ зовать третью форму записи уравнения системы (1.58), отвечаю­

щую (2.64) и (2.64').

При рассмотрении системы четвертого порядка для ряда зна- " чений А0 4jI строились рабочие области системы, соответствующие

рабочим областям на рис Л . 55 - 1.59. Пример такой области по­ казан на рис.4.4. При развитии методики составления границ ра­

бочих областей в тех же координатах строились линии равных зна­

чений Zg , и ZgtZ . Для первой составлающей второго порядка

линии ^ 2 строились по уравнениям

204

А3tА? 1

Stt,Z

7 z 3,z

'■>

(4.53*)

 

A 1,4-,) '

 

9

9

(4.53й)

• ч-,г

7 , 3 Z

д, г

Уравнения (4.53') и (4.53") получены из уравнений соответ­

ственно (3.871) и (3.87м) применительно к (1.58) и использо­ вались с учетом областей их применения, определяемых условиями

(3.571) и (3.57").

Кроме того, при использовании (4.53') и (4.53") делались

замены

 

(4.54)

■ *Ч,г = *

 

и

 

(4.55)

V, г = ^ ^

0,^,1 •

 

Условия (4.54) и (4.55) были получены из ана'лиза уравнения

для быстропротекающих составляющих, которое для (1.58) в дан­ ном случае (первая составляющая второго порядка) записывается

Рг + р + 1) х м = х г

(4*56)

Аналогично ранее рассмотренным случаям это уравнение может соответствовать апериодическому звену второго порядка и коле­ бательному звену. В первом случае имеет место (4.54), а для ко­

лебательного звена по приемам, которые использовались и ранее,

находим (4.55). Для условия, разделяющего области применения

(4.54) и (4.55), получается уравнение

 

А0,„,,=

0,25.

(4.57)

Для первой составляющей первого порядка линии равных зна­

чений Z g , строились по уравнению,

которое получается из (3.86)

применительно к уравнению (1.58). Для указанного уравнения име­ ем

А

7 7АZ

' 3, 1

(4.58)

 

ЛЧ-,1

 

 

Во всех ранее рассмотренных уравнениях для линий равных

значений 1и ^коэффициенты Л заменялись точными аналитиче­

скими выражениями в связи с малым порядком уравнений быстропрО' текающих составляющих.Для Л как и для всех Я в нижераосмат-

риваемых системах, такая замена оказывается невозможной, так как уравнение для быстропротекающих составляющих имеет третий, а для последующих систем и более высокий порядок.

205

В связи с этим обратим внимание на то, что в соответствии

с материалами § I для коэффициента х ^ ,

имеют место соотноше­

ния (4.6),

т.е. при построении линий равных значений

;

по

уравнению (4.58) можно использовать кривые,

построенные ’

на

рис.4.3,а для системы третьего порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом должны учитываться связи между коэффициентами

третьей формы записи уразнений (гл.П),

которые для данного

 

случая записываются [см.(2.74)]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

= А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п О , Д , 1

 

м 2 , 3 , 0

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.59)

 

 

 

 

 

 

А

 

-

А з , 3,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А Э , ы -

*2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А 2 , 3 , 0

 

 

 

 

 

 

 

 

При построения кривых для какого-либо’фиксироваяного значения

А

должны использоваться значения Л,

 

или Л„

.соответствую-

 

щие тому

значению А з

t которое удовлетворяет первому соотно-

 

шению (4.59).Из р и с . а

видно,что каждому фиксированному зна­

чению А2 3

0 отвечает ряд значений Л3 , и

х 3 г ,

расположенных

на соответствующих линиях и зависящих от

А3<3 0

. Поэтому при

определении

A3iI

и Л 3 z

должно использоваться второе соотно­

шение (4.59),

из которого

при известных A2?3?0и A3iJti1

опреде­

ляется

А33 0

, и тогда снимаются значения

А3

,

и

Л3 2 .

 

 

Из рис.4.4

видно, что для малых АЗЛ , и

 

всегда можно

выделить области, для которых процессы четвертого порядка

 

сколь угодно мало отличаются от процессов второго порядка

 

вследствие малости значений

 

Характеристическое уравнение

второго порядка для этих областей аналогично (4.30)

записыва­

ется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( PZ+

 

 

А*,*,,) =0 •

 

 

(4.60)

Это уравнение отличается от уравнения (4.30)

лишь увеличением

индексов всех коэффициентов на единицу. Тогда по аналогии с

(4.31)

для (1.58)

записываем уравнение границы рабочих обла­

стей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А,,*,> = 6А»,«

'

 

 

 

 

(* -а )

которое тем точнее соответствует границе рабочей области,

чем

меньше

 

г

,

и,

следовательно,

меньше A3iiM

и

 

А ^ ^ , .

 

 

Уравнение

(4.61) использовалось в качестве

исходного при

составлении уравнения правой границы для системы четвертого

206

порядка. Однако учитывалось еще, что при стремлении A0rV)f к нулю [см.(1.58)] система четвертого порядка превращается в

систему третьего порядка с характеристическим уравнением

( р 3 + Р +

Р +

, 1 , 1 ) - 0 •

( 4 . 6 2 )

Поэтому в качестве исходного вместо (А,61) использовалось урав­

нение правой границы для системы третьего порядка, в содержа­ ние которого входит, как составная часть, и уравнение (4.61). Указанное уравнение для системы третьего порядка с учетом то­ го, что уравнение (4.62) отличается от уравнения (1.49) лишь

увеличением индексов всех коэффициентов на единицу, по анало­

гии с (4.32) записывается

6А

(4.63)

 

При использовании уравнения (4.63), как исходного, полное уравнение правой границы было получено путем аппроксимации границ, соответствующих исходной предпосылке и представленных для ряда значений A0jltI на рисЛ.55-1.59. Это уравнение запи­

сывается

з , д , 1

 

(4.64)

1+3AW > - U t + 6A о,«ы )Аз,*,,+0»Ч*+Ю0ЛОА1)А:

Уравнение (4.64) при стремлении А

, к нулю переходит в

уравнение (4.63), а при стремлении А3 v \

к нулю - в уравнение

(4.61).

 

Из рис.4.4 видно, что для каждого значения А3лц,\ может

быть указан диапазон столь малых значений А ^ , , , при которых

выделение из процессов первой составляющей первого порядка

соответствует сколь угодно малым ошибкам вследствие малости ^ . Характеристическое уравнение для быстропротекающих состав­

ляющих из общего уравнения (1.58) в этом случае записывается

(А 0,д,1 Р3+ p2+ Р + A3,V)j ) - 0 .

(4.65)

Для (4.65) уравнения границ рабочих областей уже получены при

исследовании системы третьего порядка и применительно к урав­

нению (4.65)

могут быть получены из (I.5I). Эти уравнения за­

писываются

V

207

208

РисЛ.б

209

7 = 6

(4.66)

6

. (4.67)

А3,Ь,1

\ l + 9 А

 

Уравнения (4.66) и (4.67) записаны с учетом (2.64)

и (2.641).

Указанные уравнения можно было получить не только из уравнений (I .51), но и из уравнений (4.33) и (4.32) путем использования

Рис.4.7

связей между коэффициентами третьей формы записи уравнений

(4.59).

Очевидно, что уравнения (4.66) и (4.67) будут практически

справедливы не только при бесконечно малых значениях

, , но

и для некоторого диапазона малых значений

( . Было принято,

что уравнения (4.66) и (4.67) можно использовать до

значений

» соответствующих пересечению верхних границ

с правыми

границами (точка В на рис.4.4). Это стало возможным потому, что

210

211

наибольшие значения т а для полученных, таким образом, верхних границ оказываются в допустимых пределах.

Для более наглядного пояснения использованного приема состав­ ления уравнений верхних границ для системы четвертого порядка рассмотрим конкретное применение соотношений (4.59).

Предположим, что нужно определить протекание верхней грани­ цы дляАо1н=0,5. По первому соотношению (4.59) обращаемся к

прямой AZ3(f 0,5 на рис.4.1. По точке Е снимаемА3>3^ 0,25 и

по второму соотношению (4.59) определяем граничное значение

АзЛ>1= При уменьшении значений А0 ^ , соответствующая прямая на

рис.4.1 опускается вниз, а значения Аз л ^ для верхней границы,

как дают расчеты по второму соотношению (4.59), непрерывно увеличиваются. При стремлении А0 ^ , к нулю система четвертого порядка вырождается в систему третьего порядка (4.62), и по­ этому рабочая область вырождается в рабочую область для си­ стемы третьего порядка (рис.4.1), а уравнение верхней границы

становится

 

 

=

б.

 

 

(4.68)

.

Для того чтобы получить уравнение

(4.68)

из второго соотноше­

ния (4.59), заменим в немЛ3 3 0зависимостью (4.32). Имеем

 

 

 

 

 

 

 

(4.69)

 

3’"’ ’

' + SA2j3>0 + 2aU

0 + ^

a W

 

Тогда при стремлении А г 3 0 к нулю

из (4.69) получаем уравнение

(4.68).

 

 

 

 

 

прямая Аг^3 й= A0i4^

При увеличении значений

,

на рис.4.1

идет вверх, а значения

А3 ^ ,

для верхней границы [второе

 

соотношение (4.59Д

непрерывно уменьшается.

 

 

Из рис.4.1 видно, что последнее значение, какое может при­

нимать коэффициент

Ап .

, , составляет

 

 

 

= б» так как его дальнейшее увеличение ограничивает отсутствие ра­

бочей области для системы третьего порядка при условии A2i30>6. Математически условие (4.70) получается из уравнения (4.33) с

учетом первого соотношения (4.59). Физически этому условию со­

ответствует предельная колебательность наиболее быстропроте-

кающей составляющей процессов.

Смотрите также файлы