Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

304

В числителе (5.9) стоит выражение а 0,з{усту полученное из уравнения границы устойчивости, а в знаменателе - выражение для а^з (ра5 ),полученное из уравнения верхней границы [см.верх­

деленном требовании, накладываемом на коэффициенты уравнения

(1.48). Это требование получается из условия

определяющего пределы изменения коэффициентаA3>3j0Ha верхней

границе (см.рис.1.49,а). Применительно к уравнению (2.62) пу­ тем использования приемов, описанных в глазе П (§ 2), требова­

Как указывалось выше, в данном исследовании будут исполь­

зоваться в основном запасы устойчивости по коэффициентам урав­ нений (5.2). Это следует понимать в том смысле, что запасы

устойчивости (5.1), вычисленные применительно к уравнению (2.62), дальше использоваться не будут. Здесь эти запасы были

рассмотрены лишь для того, чтобы показать пример их вычисления и приемы составления для них аналитических выражений.

Для системы четвертого порядка взаимное расположение рабо­ чих областей и границ устойчивости, соответствующее уравнению

(1.58), показано на рис.5.2,б - 5.2,е. При A0ii= 0 рассматри­ ваемое взаимное расположение аналогично расположению рабочей области и границы устойчивости для системы третьего порядка (см.рис.5.1 и рис.5.2,б). При увеличении А0, у взаимное располо­

жение границ рабочих областей и границ устойчивости деформиру­ ется, На рис.5.2,а для наглядности показано взаимное расположе­ ние границ устойчивости для различных значений A0j^,.

Из уравнения (1.58) следует, что для системы четвертого по­ рядка можно рассматривать запасы (5.2) для трех коэффициентов. Однако, следуя методике составления уравнений границ рабочих областей, будем рассматривать запасы mK(A3lt$i ты{А^ имея в

виду, что эти запасы зависят от A01fl, для которого запас устой­

чивости рассматривать не будем.

306

Для правых границ их расположение относительно границ устой­ чивости вполне характеризуется запасом тк (А^^,). Анализ взаим­ ного расположения правых границ и границ устойчивости показыва­

ет, что точки с малыш запасами устойчивости располагаются в средней или в верхней части цравых границ. При этом запасы

устойчивости для каждого А0;М оказываются не меньше наименьше­ го запаса устойчивости (5.6) для системы третьего порядка. Та­ ким образом, можно записать

1Т1к (А1ь^)'^2,2 2.

Наименьший запас устойчивости тк т1П(А^)цдя. системы четвер­ того порядка совпадает с (5.6) и имеет место приД0^(= 0. Та­ ким образом, можем записать

для верхних границ их расположение относительно границ

устойчивости вполне характеризуется запасом тк(А3 ^^.Взаимнов расположение рассматриваемых границ показывает, что здесь запа­ сы устойчивости могут быть как очень большими, так и малыш. Наиболее малые запасы устойчивости для каждого А0Л1имеют место

для крайних цравых точек верхних границ. При этом указанные за­ пасы устойчивости могут быть даже меньше (5.13), но все же яв­ ляются величинами такого же порядка.

Аналитические выражения для запасов устойчивости т к (А^

и т к{Аь ^получатся после подстановки в (5.2) выражений для

307

Взаимному расположению рабочих областей и границ устойчи­

вости для систем третьего и четвертого порядков может быть да­

на общая характеристика. Из рис.5.1 и рис.5.2,б * 5.3,е видно, что нижние участки правых границ рабочих областей соответству­ ют сравнительно большим запасам устойчивости и при стремлении

Дл.,(Д г>з10для системы третьего порядка и A3j<M для системы четвертого порядка) к нулю эти запасы приближаются к бесконеч­

ности. Это легко заметить из выражений (5.8) и (5.14) соответ­ ственно для систем третьего и четвертого порядков.

Таким образом, нижние участки правых границ рабочих обла­ стей характеризуются сравнительно большими запасами устойчиво­ сти. В то же время средние или верхние участки относительно близко располагаются к границам устойчивости,где и имеют место наименьшие запасы устойчивости.

Верхние границы рабочих областей также характеризуются в

целом как сравнительно большими, так и малыми запасами устой­ чивости. Наиболее малые запасы характеризуют участки, близко расположенные к правым границам.

Изложенная общая характеристика взаимного расположения ра­ бочих областей и границ устойчивости справедлива и для систем

пятого порядка, что будет необходимо иметь в виду при рассмот­ рении следующего и других параграфов.

§ 3. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ПЯТОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим взаимное'расположение рабочих областей и границ

устойчивости для систем пятого порядка. В качестве примера на рис.5.3 показаны области и границы устойчивости для конкретного значения А и5>г.

Прежде чем рассматривать взаишое расположение рабочих об­

ластей и границ устойчивости, остановимся на вопросе построе­ ния границ устойчивости для системы пятого порядка. Оказывает­ ся, что взаимное расположение границ устойчивости между собой

и по отношению к границе устойчивости системы четвертого поряд­ ка для фиксированного А( 5 сохраняется одинаковым независимо

от конкретного значения А )52»В качестве системы четвертого по­ рядка здесь рассматривается система,в которую вырождается си­ стема пятого порядка при АQ9b92= 0.

308

Действительно, условия устойчивости (кроме положительности коэффициентов характеристического уравнения) для системы пя­ того порядка применительно к третьей форме записи уравнения

(1.66) имеют вид.

Введем коэффициенты

^о,5,г= ~ 5 ^ ‘hs,z~ ^‘t,s,z^u5,zi^s,s,z~

л т, 5,г

Тогда записанные выше условия устойчивости можно пред­ ставить

309

^ ^0,5,1^ 0 »

Полученные неравенства (5.18) показывают, что при анализе

областей устойчивости можно рассматривать коэффициенты урав­ нений, определенным образом связанные с коэффициентом А1(5>2,

которые будем называть относительными. В качестве базовой вели­ чины можно црименить не только AhStZ , но и другие коэффици­ енты. В данном исследовании удобно использовать коэффициентА|5г.

Для упрощения обозначений далее не будем вводить относитель­ ные коэффициенты уравнений, а ограничимся рассмотрением обла­

стей устойчивости для фиксированного значения А152, имея в ви­

ду, что для других значений А ьв>г координаты границ областей устойчивости будут изменяться в соответствии с (5Л7).

Таким образом, действительно взаимное расположение границ устойчивости для систем пятого порядка при фиксированном Аь5>2

сохраняется неизменным независимо от конкретных значений A u5fV

В связи с этим при анализе взаишого расположения рабочих обла- • стей и границ устойчивости можно ограничиться построением гра­

ниц для случая А, 5 ^ I (рис. 5.3), а для остальных случаев, ис­

пользовать построенные границы и формулы (5.17).

Из уравнения (1.66) следует, что для системы пятого поряд­ ка можно рассматривать запасы (5.2) для четырех коэффициентов. Однако, следуя методике исследования предыдущих систем, будем

рассматривать для правых границ запасы mK(As 5 2)и для верхних

границ запасы тк{А^ г). При1этом будем иметь в виду, что оба эти запаса зависят от коэффициентовABS^i А, 5 2 , запасы устой­

чивости для которых не рассматриваются. Такой подход оказыва­ ется здесь возможным потому, что анализировать влияние двух

коэффициентов на изменение запасов устойчивости по другим двум коэффициентам можно еще считать допустимым. Для системы шесто­

го и, конечно, для систем более высоких порядков изложенный подход практически неприемлем из-за большого объема исследова­ ний. Для системы пятого порядка положение оказывается более

простым еще и потому, что для выявления формы границ устойчи­ вости достаточно их построить для фиксированного А, 5 2 .