Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

315

Затем можно было бы воспользоваться возможностями вычис­ лительных машин для получения общего вывода в отношении наи­ меньших запасов устойчивости для систем высоких порядков. Для

этого нужно установить диапазоны изменения коэффициентов, со­

ответствующие расширенным областям. Затем, составляя различные сочетания значений этих коэффициентов, необходимо проверить справедливость предположения о том, что для систем высоких

порядков наименьшие запасы устойчивости совпадают с наименьши­ ми запасами устойчивости для систем третьего и четвертого по­ рядков. Если для всех указанных сочетаний системы высоких по­

рядков будут устойчивы или нейтральны, то предположение на самом деле справедливо. Достоверность этого вывода будет тем выше, чем для большего сочетания значений коэффициентов будет проведено исследование.

Однако цри таком исследовании удалось бы убедиться только в одной закономерности взаимного расположения рабочих областей

и границ устойчивости, а именно в том, что наименьшие запасы устойчивости для систем малых и высоких порядков совпадают. При этом остался бы неясным вопрос о том, где имеют место наи­

меньшие запасы устойчивости, так как эти запасы характеризуют

расположение относительно границ устойчивости только некоторых

точек границ рабочих областей. При использовании изложенного выше пути исследования не были бы также обнаружены области больших запасов устойчивости, какие для систем малых порядков уже установлены.

Наиболее полное исследование будет в случав, если располо­ жение точек границ рабочих областей для систем всех порядков будет сравниваться с расположением соответствующих точек гра­ ниц устойчивости, как это сделано для систем малых порядков. Однако такой дуть требует большого объема исследований. Для преодоления связанных с этим трудностей использовался искус­ ственный црием, связанный с отысканием и применением, как уже отмечалось, укороченной формы критерия устойчивости Рауса - Гурвица.

X X

X

Будем для системы пятого порядка рассматривать не действи­

тельные, а укороченные области устойчивости, которые характер­ ны тем, что лежат внутри действительных областей устойчивости,

316

но по диапазонам изменения коэффициентов являются более узкими ("укороченными").

Границы укороченных областей устойчивости получаются в ре­ зультате рассмотрения вместо (1.66) двух уравнений четвертого

порядка

Для (5.27) и (5.28) записываются уравнения границ устойчивости

■ Укороченные области устойчивости соответствуют соотношениям:

ченную форвд критерия устойчивости Рауса - Гурвица для систем пятого порядка.

Для того чтобы убедиться в справедливости критерия (5.34)

— (5.35), проведем сравнение действительных и укороченных об-

317

ластей устойчивости. При этом воспользуемся доказанным выше положением о том, что для систем пятого порядка при анализе границ устойчивости достаточно рассмотреть случай A(S = I.

Для удобства анализа действительные области устойчивости, показанные на рис.5.3, представлены также на рис.5.5. На этих рисунках имеются и границы, соответствующие (5.31) и (5.32), которые показаны штрих-пунктирными линиями. Из сравнения дейст­

вительных и указанных границ видно, что при использовании в укороченной форме критерия Рауса - Гурвица непосредственно

условий устойчивости для уравнений (5.29) и (5.30) привело бы к тому, что допустимыми в некоторых случаях принимались области значений коэффициентов, соответствующие неустойчивости системы, хотя имеются и случаи, когда действительные области устойчиво­

сти шире областей, соответствующих (5.31) - (5.32). На рис.5.5 области, лежащие между границами устойчивости и цэаяицами

(5.31) - (5.32), заштрихованы штрих-пунктирными линиями.

На рис.5.5 также показаны (пунктирными линиями) границы для укороченных областей устойчивости. Из сравнения действи­ тельных и укороченных областей устойчивости наглядно видно,

что укороченные области устойчивости для всех значений А„ с , лежат внутри действительных областей устойчивости. Различие между ними определяется областями значений параметров, которые на рис.5.5 заштрихованы пунктирными линиями.

Таким образом, приведенный выше анализ показывает, что на самом деле условия (5.34) - (5.35) выделяют для системы пятого порядка области значений параметров, соответствующие устойчи­ вости систем, и зыделяемые области меньше действительных обла­ стей устойчивости, т.е. являются укороченными.

Рассмотрим здесь же вопрос о взаимном расположении рабочих областей и границ укороченных областей устойчивости с тем,что­ бы показать, что рабочие области всегда лежат внутри укорочен­ ных областей устойчивости. На рис.5.6 и 5.7 показаны одновременно укороченные области устойчивости и рабочие области для систем четвертого и пятого порядков. Из рисунков видно, что рабочие области действительно лежат внутри укороченных областей устой­ чивости. Однако этот вывод можно получить не только путем ана-

лкза графических представлений областей значений параметров. Более общим является использование приемов, которые основа­

ны на использовании связей (2.75) с применением третьей формы

записи уравнений систем. Рассмотрение и применение указанных

320

Приамов сейчас целесообразно из методических соображений, так

как они будут использоваться при рассмотрении систем высоких

порядков.

Значале должны использоваться соотношения (4.91) и рабочие области для системы четвертого порядка (рис.5.2), а также гра­

В качестве границ, соответствующих (5.31), на рис.5.7 построе­ ны границы по уравнению (5.37).

Из взаимного расположения указанных границ и правых границ рабочих областей видно, что границы, соответствующие (5.37),

всегда располагаются правее правых границ рабочих областей. Поэтому при переходе к системе пятого порядка границы, соот- 1 ветствующие (5.31), всегда будут располагаться выше верхней

ца (5.31) и верхние границы (см. 1.67) не зависят от A5i5,2. Обратимся к взаимному расположению правых границ рабочих

областей и границ, соответствующих (5.32). Здесь нужно иметь в виду, что уравнение (5.32) и уравнение правой границы для системы пятого порядка (см.1.67) получаются из уравнения (5.37) и уравнения правой границы для системы четвертого по­ рядка увеличением индексов коэффициентов на единицу. Поэтому

взаимное расположение рассматриваемых границ для системы пятого

порядка в координатах z + &55Z будет совпадать с расположе­ нием соответствующих границ для’ системы четвертого^ порядка в

координатах A3lt , , . Для системы четвертого порядка грани­ ца, соответствующая (5.37),располагается правее границы рабочей области.Поэтому и для системы пятого порядка граница укороченной

322'

области устойчивости (5.32) располагается правее правой гра­

ницы рабочей области.

Таким образом, объединяя вывод о том, что верхние границы

рабочих областей располагаются нйже границ укороченных областей устойчивости, с изложенным выше результатом по правым: грани­

цам, получим подтверждение того, что рабочие области распола­ гаются всегда внутри укороченных областей устойчивости.

X X

X

Выше указывалось, что для выявления закономерностей взаим­

ного расположения рабочих областей и границ устойчивости для систем высоких порядков потребовалось рассмотрение укорочен­ ной формы критерия устойчивости Рауса - Гурвица для системы

пятого порядка. Дело в том, что установленные выше закономер­ ности взаимного расположения рабочих областей и действитель­ ных границ устойчивости оказываются з основном характерными и для взаимного расположения рабочих областей и границ укоро­

ченных областей устойчивости.

Действительно, для нижних участков 1раниц рабочих областей

запасы устойчивости оказываются относительно большими как до

отношению к действительным границам устойчивости, так и по от­ ношению к границам укороченных областей устойчивости. Наиболее малые запасы устойчивости имеют место в обоих случаях для сред­ них или верхних участков правых границ. Взаимное расположение верхних границ и границ укороченных областей устойчивости так­ же характеризуется как большими, так и малыми запасами устой­ чивости, как и положение, верхних.границ по отношению к дейст­ вительным границам устойчивости. Наименьшие запасы устойчиво­ сти для верхних и правых границ примерно совпадают.

Однако при использовании для оценки запасов устойчивости

границ укороченных областей не выявляется для верхних границ

рабочих областей зависимость запасов устойчивости от коэффи­

циента Д5>5>2(ср.рис.5.4 и 5.6). Несмотря на указанный недоста­ ток при использовании границ укороченных областей устойчиво­ сти. выявляются главные особенности изменения запасов устойчи­ вости и, следовательно, использование укороченной формы кри­ терия устойчивости Рауса - Гурвица является целесообразным,

если иметь в виду его распространение на системы высоких по­

рядков.