Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
310
Из расположения границ устойчивости для системы пятого порядка, представленных на рис.5,4 видно, что нижние участки
границ независимо от значений А05 2 практически сливаются с границей устойчивости для системы четвертого порядка, которая
получается приAcs = 0. Правая ip анида рабочих областей, как известно [см.нижнее уравнение (1.67)] , не зависит от коэффи циента A0iS г. Поэтому о взаимном расположении границ устойчи вости и рабочих областей применительно' к правым границам мож но судить по рассматриваемому взаимному расположению границ
для системы четвертого порядка (А05 2= 0).
Уравнение системы четвертого порядка, которое получается
из (1.66) приА„с = 0 записывается
Аь 5,2Р^+ р3^ Р 2 + А^ , г Р + А5,5,г=° • |
( 5 Л 9 ) |
Уравнение правой границы для системы пятого порядка, |
как это |
следует из содержания главы 17, также записывается по этому уравнению. В связи с этим и можно исходить при рассмотрении взаимного расположения правой границы и границы устойчивости для системы пятого порядка из уравнения четвертого порядка
(5,19).
Для системы четвертого порядка выше был получен вывод об
относительно больших запасах устойчивости для точек нижних
участков правых границ. Теперь можем сделать вывод о том, что это положение распространяется и на системы пятого порядка, что подтверждает рис.5.4.
Для системы четвертого порядка было показано, что наимень шие запасы устойчивости характерны для средних и верхних уча стков цравых границ этой системы. Из рис.5.4 видно, что этот результат является характерным и для системы пятого порядка. Причем, как и для системы четвертого порядка, запасы устойчи вости по величине не меньше (5.6), т.е. можем записать для си стемы пятого порядка
тк (А5,5,г) у'^,22
и для наименьшего запаса устойчивости |
|
тк mLn(As,5,2^ =2>22. |
(5.20) |
Здесь нужно только иметь в виду, что для каждого значения
^Ь5 ,г ПРИ Ао,5,Т 0 Рабочие области являются наиболее широкими
(верхняя граница наиболее удалена от оси абсцисс). Поэтому мо
жет оказаться, что точки, соответствующие наименьшим запасам
г
311
312
устойчивости (5.20), располагаются выше верхних границ рабо чих областей. Однако это не меняет вывода о величине (5.20). Рассмотрим взаимное, расположение верхних границ рабочих областей и границ устойчивости (рис.5.4). Здесь запасы устой чивости аналогично предыдущим системам могут быть как большими, так и малыш. При возможных формах верхних ветвей границ устой
чивости (рис.5.3) и горизонтальных верхних границах рабочих об ластей (горизонтальными верхние границы являются и для других систем) относительно меньшие запасы устойчивости для точек
верхних границ имеют место, как и для систем четвертого поряд ка, для участков, близко расположенных к правым границам (см. рис.5.4). Кроме того, в отличие от систем четвертого порядка для систем пятого порядка запасы устойчивости цриASStf 0 мо
гут в определенных случаях практически совпадать с запасами
устойчивости для участков, близко расположенных к правым гра ницам, вследствие почти горизонтального протекания в этих слу чаях верхних участков границ устойчивости. Это видно из того же рис.5.4. Нужно иметь в виду, что эти зэпасы устойчивости
определяются запасами устойчивости rnK ( A Qk () для правых гра
ниц рабочих областей системы четвертого порядке. |
Это легко за |
|
метить из связей (4.91). |
|
|
Действительно, для запаса устойчивости |
из общего |
|
соотношения (5.2) имеем |
|
|
т к (А |
^4,4,/f(/cm) |
(5.21) |
Ч- у? |
||
^ 4 , 4 , г ( р а б )
Используя последнее соотношение (4.91), для числителя и знаме нателя (5.21) записываем
|
г |
(5.22) |
|
^ 4 , 4 , ! ( у с т ) |
^ Ч - , 5 , г ( у с т ) А3 , 4 , 1 |
||
и |
2. |
|
|
^ 4 , 4 , 1 (раб) |
(5.23) |
||
- А 4 ,5,2 (раб) ' ^ 3 , 4 , 1 • |
|||
В соотношении (5.23) для коэффициентов А и |
А ^5 г можно |
||
было поставить одновременно индекс р а 5 в соответствии с мето дикой составления уравнений верхних границ рабочих областей. В (5.22) для этих же коэффициентов поставлены одновременно ин
дексы уст на том основании, что значения Ak 5 г (уст) будут рас сматриваться только для условия ASj5z= 0.
Подставляя (5.22) и (5.23) в соотношение (5.21), получаем
|
|
|
313 |
|
|
|
^ V,V ( у с т ) |
A 4-,S,Z ( yew ) |
|
||
|
|
A \ ‘*. I (раб) |
|
= mx(K,S,z)^5‘ 2^ |
|
|
|
A 4 - , S , 2 ( p a 5 ) |
|
||
Таким образом, яа самом деле запаси устойчивости по коэф |
|||||
фициенту |
A ^ j5;2 д л я |
системы пятого порядка тк (А^5 г) при |
|||
A s, 5 ,г * |
О определяются запасами устойчивости для правых гра |
||||
ниц т к(А41(н!)системы четвертого порядка. |
Уравнение этой систе |
||||
мы из (1 . 6 6 ) записывается |
|
|
|
||
|
^о,5,2Р |
+ А },5,гР |
+ Р + Р + А ч-,5,г ~ |
(5.25) |
|
Рассматривая общую характеристику взаимного расположения |
|||||
рабочих областей и границ устойчивости, |
нужно заметить, что |
||||
эта характеристика во многом совпадает с |
общей характеристи |
||||
кой взаимного расположения рабочих областей и границ устойчи вости для систем третьего и четвертого порядков.
Нижние участки правых границ рабочих областей характери
зуются сравнительно |
большими запасами устойчивости. |
Наиболее |
||
малые запасы устойчивости имеют место для средних |
и верх |
|||
них участков этих |
границ, причем наименьший запас /п„ |
. (А,,.) |
||
|
|
|
л П7(,П' |
|
совпадает с соответствующими запасами для систем третьего и |
||||
четвертого порядков |
(5.6) и (5.13), т.е. имеет место |
|
||
^ К m in ^А 3,3, о ) |
m in ( ^ 4 , ^ ,1) ~ |
m in (As,s,z)~^t^l |
26 ) |
|
Верхние границы рабочих областей характеризуются как |
боль |
|||
шими, так и малыми запасами устойчивости. Малые запасы устой
чивости, если и имеют место, то они мало отличаются от (5.26). Исследование запасов устойчивости для системы пятого по
рядка позволило вскрыть две закономерности, о которых уже го ворилось выше. Отметим их еще раз, так как они будут исполь
зоваться при исследовании систем более высоких порядков и да
дут логический переход к укороченной форме критерия устойчи
вости Рауса - Гурвица.
Оказывается, что цри рассмотрении запасов устойчивости для
правых границ можно использовать |
границу устойчивости для си |
стемы четвертого порядка (5.19). |
С другой стороны, при изуче |
ния запасов устойчивости для верхних границ нужно иметь в ви
ду, что малые запасы устойчивости могут иметь место для левых оконечностей этих границ, где они могут определяться как запа
314
сы устойчивости для уравнения четвертого порядка (5.25). Ука занные две закономерности, как уже отмечалось, дают логический
переход к использованию укороченной Форш критерия устойчиво
сти Рауса - Гурвица, которая для системы пятого порядка со ставляется по условиям устойчивости для уравнений (5.19) и (5.25) с введением дополнительных коэффициентов . Причем эти коэффициенты принимаются одинаковыми. Основанием для этого
является то положение, что наименьшие запасы устойчивости для правых и верхних границ примерно совпадают.
§ 4. УКОРОЧЕННАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА - ГУРВИЦА ДЛЯ СИСТЕМ ПЯТОГО ПОРЯДКА
Анализ взаимного расположения рабочих областей и границ устойчивости и оценка запасов устойчивости, которые были про ведены для систем пятого порядка в предыдущем параграфе, впол
не раскрывают содержание этих вопросов для указанных систем. Для систем более высоких порядков провести исследование в
таком же плане, как это было сделано для систем пятого, а так
же третьего и четвертого порядков, не представляется возможным из-за большого объема исследований. В связи с этим было выска
зано предположение, что закономерности во взаимном расположении рабочих областей и границ устойчивости, которые установлены для систем сравнительно малых порядков (третьего, четвертого и пя того), сохраняются и для систем более высоких порядков. Однако предположение необходимо доказать. Для этого и потребовалось рассмотрение укороченной формы критерия устойчивости Рауса - Гурвица сначала для систем пятого порядка.
х х
X
Простейший прием проверки справедливости закономерностей,
полученных на системах малых порядков, для систем сложных со стоял бы, например, в следующем. Можно было расширить рабочие
области систем в соответствии с наименьшими запасами устойчиво сти (5.26) так, чтобы точкам, где действительные рабочие обла
сти имеют наименьшие запасы устойчивости, соответствовали точки расширения рабочих областей,лежащие на границе устойчивости.