Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

474

Г Л . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

с п р а в е д л и в о

неравенст во

к

С ра зу

ж е

видно,

что

ф ун кц и я

F ,

а б со л ю тно

непреры вная

на

[а, Ь],

равном ерно

непреры вна ,

а

зн ачи т,

непреры вна ,

и что она

имеет о гр а н и ч е н н ую

ва ри а ц и ю .

М н о ж е с тв о

аб со л ю тно

н епреры в ­

н ы х ф ункций

на

[а,

Ь\ образует

векторное

про стр а нство ,

и п р о ­

изведение

д в у х а б солю тно

н епреры вны х

ф ун кци й

снова

будет

аб со л ю тно непреры вной ф ункцией .

З а м е ч а н и я .

I )

П ре д ы д ущ е е исследование п оказы вает,

что

ф ун кц и я F ,

определенная к а к

X

F { x ) = I f { t ) d t ,

a

где f —

и н те гр и р уе м а я ф ун кц и я

на [а, Ь\ относи тельно

меры Л е ­

бега ,

а б солю тно

непреры вна.

О б ра тно е

утве рж д ен и е

является

сод ерж анием

привод им ой н и ж е теоремы .

2)

М ы

определили

понятие

аб со л ю тно

непреры вной

меры

относи тельно

д р у го й

меры

л и ш ь

в

случае

о гр а н и ч е н н ы х

п ол о ­

ж и те л ь н ы х

мер.

О д н ако

будем

го вор и ть ,

что аб со л ю тно

непре ­

р ы в на я ф ун кц и я

определяет

меру,

аб со л ю тно

н еп ре ры вн ую

о т ­

носительно

меры

Л еб ега , д а ж е

если мера,

определяем ая

ею , и

не п ол о ж и тел ьн а .

О снование д ля этого дается лем м ой.

Л е м м а . А б с о л ю т н о

н е п р е р ы в н а я

ф у н к ц и я

есть

разность

д в у х в о зр а ст а ю щ и х

абсолю т но

н е п р е р ы в н ы х ф у н к ц и й

(которы е

определяю т две

а б солю тно

непреры вны е

п о л о ж и тел ьн ы е

м е ры ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

С огл а сн о

теореме

2

п.

3

§

1, д о ста ­

точно

п ока зать ,

что

если

/

уд овлетворяет

усл о ви ю

(Л С )

на

[а, Ь],

то

/

имеет

ограниченное

изменение

на

[а,

Ь] и ф ункция

g ( t ) —

V { a , t ) , где

V (a,

t ) — пол н ая

ва ри а ц и я /

на

[a,

t\, уд о вл е ­

тво ря е т усл о в и ю

{ А С ) на [а,

Ь].

П у с ть

е > 0

и

т ] ( е ) > 0

вы б рано

из

усл о ви я

(Л С ).

Р а зб и в а я

[ а,

Ь]

то ч к а м и

x k

на

частичны е

интервалы

д л ины

<

пол учаем , что наб ор

сл а га е м ы х

сум м ы

=

м о ж н о р азб и ть

на

m гр у п п , где

------ h

I,

и

для к а ж д о й

из

гр у п п

сум м ы

д л и н

у ч а с тв у ю щ и х

в гр у п п е

интервалов

(л:*— !, лцг)

м еньш е

тДе);

п оэтом у

сум м а

сл а га е м ы х ,

в хо д я щ и х

p

к а ж д у ю

из

э т и х

гр у п п ,

меньш е

Т а к к а к

V {a,

b) =

s u p P , то

/

—

ф ун кц и я

с о гр а н и ч е н н ы м

изм е ­

нением , -и

ф ун кц и я

g определена на [а,

b].

П о к а ж е м ,

что

g

уд о вл етв ор я ет

усл о в и ю

{ А С ) .

П у с ть

е >

О,

и

п усть

т] (е) р> 0

вы б ра но

из

усл о ви я

(Л С )

д ля

ф ун кц и и

f.

8.

МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

475

П у с ть 2

(ßft —

а *)

<

Л-

Р ассм отрим сум м у

k

S l Ä ( ß * ) - Ä ( o * ) l = S ( ^ ( a .

h

) - V ( a ,

a k)) =

' Z V ( a k,

ßft);

к

к

та к

к а к

Ѣ

ѵ (а *,

В

-

£

sop

2

1f

(ѵ Р )

-

F

( ѵ Г і) I =

=

s Up S

гд е

y<ft> (/ =

, . .

опр ед е л яю т разбиение и нтервал а

(a A, ßft),

Ѣ

S (ѵ}*’ —

у\%) =

ІЗ (ß* —

<Д) <

T i,

TO

k~\

I

k=l

S S K ( Y H - ^ № ) | < e ,

n

п о это м у

2

V (a*.

ß f c ) < e ,

т.

е.

2

и ф ун кц и я g

k—\

k

а б со л ю тно

непреры вна .

М ы п о ка ж е м ,

что

в ся ка я а б со л ю тно

непреры вная

ф ун кц и я ,

т. е. ф ун кци я ,

уд о в л е тв о р я ю щ а я

у с л о в и ю

(Л С ),

им еет вид

Я

М * ) =

J

H i ) dt .

а

Д оста точ но

д о каза ть

этот р езул ьтат

в

пре д по л ож ен и и , что F

возрастает и уд о вл етвор яет усл о ви ю ( А С ) .

Е сли

F

удовлетворяет

усл о ви ю

(Л С ),

то

она

определяет не­

к о то р ую

м еру ц. В

силу непреры вности ф ун кц и и

F мера ц точки

равна н ул ю .

Д л я

доказательства

а бсолю тной

непреры вности

меры ц

относи тельно

меры

К

рассм отрим

м нож ество

е

Я -нуле-

вой

меры.

П о п ре д по л ож ен и ю ,

д ля

л ю б о го

е >

0

найдется

такое

ц, что

д л я

л ю б о г о семейства

попарно

непересекаю щ ихся

интервалов

Д =

] a ft, ßft [,

уд о вл е тв о р я ю щ и х усл о ви ю

2

Я, (Д )

<

ц,

имеем

2 ( M ß * ) - M a * ) ) < e .

Т а к

к а к

е

имеет Pt-н ул е в ую

м еру,

то числу

г] м о ж н о

постави ть

в соответствие

семейство

попарно

непересекаю щ ихся

и н те р в а ­

лов

Д =

] ад, ßft[

(§ 2, п.

3,

зам еча ни е ),

так ,

чтобы

их

мера Л е ­

бега % удо вл етвор ял а

усл о ви ю

2

М Д ) <

ц,

и то гд а

мера

ц эти х

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

477

и

та к

к а к

D F —

/

(§

4,

п.

2,

теорем а),

то f

=

0,

и зн ачи т,

п. В .

л:

п. В .

J

f ( t ) d t

=

0 ,

а

и

F

—

С .

И т а к ,

справед лива теорема:

Т е о р е м а 2. А б с о л ю т н о н е п р е р ы в н а я ф у н к ц и я ,

п р о и з в о д ­

н а я

которой

почти

в с ю д у р а в н а н у л ю ,

есть

пост оянная.

С ледовательно,

если

F

а б солю тно

непреры вна

и

если

р а с ­

см отреть

JC

<?(*)=//(О

а

гд е

f —

D F ,

то

F

—

G

абсо л ю тно

непреры вна

и

имеет

почти

П .

В .

всю д у

про и звод ную ,

р а в н ую

н ул ю ,

а

стало бы ть,

F

— G =

С .

О тсю д а получаем следствие:

С л е д с т в и е .

Д л я л ю б о й

абсол ю т н о н е п р е р ы в н о й

ф у н к ц и и

F

имеем

X

F ( x ) = I

D F ( t ) d t + C .

а

З а м е ч а н и е .

В

п р е д ы д ущ и х

ф орм ул ах

D F

означает

ф ун к ­

цию , р а в н ую почти всю д у производ ной ф ункц ии F .

П у с ть

теперь

F

—

п роизвол ьная

во зра стаю щ а я

ф ун кци я

на

интервале [а, Ь].

П у с ть

/о —

ее производ ная

и п усть F 0 —

ф ун кци я , определен ­

ная

к а к

X

F 0 ( x ) = j

f 0 (t)dt +

C .

а

Ф ун кц и я

F о — а б солю тно

непреры вная

во зра стаю щ а я

ф ункция .

Т а к ка к

в силу теоремы 2, §

3,

п. 1,

при х s=: x '

X е

F 0(x ') —

F 0 ( x ) =

J

f 0( t ) d t ^ F ( x ' ) - F ( x ) ,

X

то

ф ункция F i =

F

—

F 0 возрастает,

но

ее

производ ная

почти

всю ду равна

нулю .

О тсю да получаем теорему.

Т е о р е м а

3. В с я к а я

возр а ст а ю щ а я

ф у н к ц и я

F

н а

[а, b]

предст авим а

как

сум м а

абсолю т но н е п р е р ы в н о й

возр а ст а ю щ ей

ф у н к ц и и

F 0 и

в озр а ст а ю щ ей

ф у н к ц и и

F ь

и м е ю щ е й

почти

в с ю д у