Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

отображения f. Однако если f есть взаимно однозначное отобра­ жение Е в F, то для подмножеств X, X' из Е справедливо ра­

Это отображение называется композицией отображения f на g и обозначается: h — g of.

мент из G) для существования f(g(y)) должен быть элементом множества Е. Операция f°g, вообще говоря, не коммутативна-, она неотделима от порядка, в котором она производится. Кроме того, отметим, что символы fog, g ° f должны читаться справа налево.

Если Еі, Е2, . . . , Еп — заданные множества, /і — отображе­ ние Е1 в Ег, /2 — отображение Е2 в Ез, . . . , /п_і — отображение Еп- і в Еп, то тем самым определена композиция отображений

свойство справедливо, очевидно, для любого конечного числа отображений.

Если f есть отображение Е в F, g есть отображение F в G и

Если f — взаимно однозначное отображение £ на F и g —• взаимно однозначное отображение F на G, то gof будет взаимно однозначным отображением Е на G.

Множество X называется счетным, если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение множества N на мно­ жество X.

Определение. Последовательностью называется отображение множества N в некоторое заранее заданное множество Е.

Об о з н а ч е н и я . Итак, последовательность есть отображе­ ние / множества N во множество Е. Если элементы множества N обозначены через п, р, q, k, .. ., то значение f есть f(n) и яв­ ляется элементом множества Е. Как уже говорилось (§ 1), переменное, называемое индексом или параметром, может при записи располагаться по-разному, и в частности, можно писать fn.

Однако, из соображений удобства, значение последователь­ ности п е УѴ обозначается через х„, где х означает элемент, характеризующий Е.

Сама последовательность обозначается через (х п) или, для большей точности, через (х„)/ге=лг- Это соглашение не включает обозначения, принятого для функций.

Чтобы отметить, что последовательность принимает значения в Е, говорят также: «последовательность в Е», «последователь­ ность элементов из Е» или «последовательность из £».

Значение хп называется членом с номером п, членом с ин­ дексом п, п-м членом.

Имеется еще один способ записи последовательности, по­ зволяющий выделять любые конкретные значения: (хи х%, ...

. . . , хп, . , .).

М н о ж е с т в о з на че ний . Пусть X есть множество значе­ ний последовательности из Е, которое не следует смешивать с понятием самой последовательности. Множество значений мо­ жет быть конечным или счетным. Если в Е задано конечное или счетное подмножество X, то можно многими способами опреде­ лить последовательность, для которой X было бы множеством значений (необходимо предположить, что X состоит по крайней мере из двух элементов, ибо в случае одного элемента опреде­ ляемая последовательность будет постоянной). Таким образом, если X счетно, то существует, по определению, по крайней мере одно взаимно однозначное отображение множества N на мно­ жество X ; это отображение и есть последовательность (хп). Возьмем теперь перестановку множества N, т. е. взаимно одно­ значное отображение N на N: п - * р п- Композиция этих двух отображений дает новую последовательность [xpr) neN->множе­

ством значений которой снова будет X; эта последовательность,

вообще говоря, отличается от первой, так как две последова­

из Е. И пусть задано строго возрастающее отображение множе­

чений двойной последовательности является конечным или счет­ ным подмножеством из Е.

З а м е ч а н и е . Иногда называют конечной последователь­ ностью в Е отображение конечного подмножества из N в Е.

§ 7. Операции над семействами множеств

Мы ограничимся несколькими указаниями, достаточными для дальнейшего изложения.

Пусть имеется множество S и множество tP(S) его подмно­ жеств. И пусть, с другой стороны, задано множество /, называе­ мое множеством индексов. Рассматривается отображение мно­ жества / во множество £P(S), и для i е I соответствующий эле­ мент из !?(S) обозначается через Еі. Множество, состоящее из Еі, где і е / , обозначается (Е{) или (£ j)ie=/ *) и называется се­ мейством подмножеств множества S . Если I' есть подмножество из /, то Еі, где і е /', составляют подсемейство предыдущего семейства.

Нам часто будут встречаться счетные семейства (Еп), кото­ рые, в соответствии с терминологией § 6, являются последова­ тельностями элементов из {?(S).