Файл: Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие.pdf

Методика решения и все отмеченные особенности, характерные для систем (4)

и(5), остаются в силе и для систем алгебраических уравнений (7) и (8).

А. А. Самарским показано, что аппроксимация уравнения (6) разностными уравнениями (7) и (8) справедлива как в классе переменных, так и разрывных коэффициентов о и v .

Подобного обобщения для метода Д. Дугласа не имеется. Однако экспери­ ментально показано, что метод Д. Дугласа дает хорошие результаты при пере­ менных коэффициентах а и v.

Необходимо отметить, что при использовании метода А. А. Самарского имеют значение процесс организации прогонки и момент вывода результатов на печать. Решение систем разностных уравнений начинается с одной серии прогонок, например по оси х. Затем выполняются дважды прогонки по оси у, дважды прогонки — по оси х и т. д. Перед выводом результатов на печать производится лишь одна серия прогонок по оси х. При выполнении этого пра­ вила расчет дает правильные не только количественные, но и качественные результаты. Если это правило не выполняется, то при верных, например, зна­ чениях забойного давления получается некачествненной карта изобар, постро­ енная по всей совокупости узловых точек области интегрирования.

Определение показателей разработки месторождений природного газа при газовом режиме в общем случае сводится к интегрированию нелинейного диф­ ференциального уравнения в частных производных параболического типа

г = 1, 2, . . ., п.

В результате решения задачи (9)—(12) требуется найти изменение во вре­ мени пластового давления и давления на забоях эксплуатационных скважин.

Для решения задачи (9)— (12) воспользуемся методом Д. Дугласа из тех соображений, что расчетные формулы для метода А. А. Самарского получаются как частный случай из разностных уравнений для метода Д. Дугласа. Из при­ водимого ниже изложения видны особенности применения численных методов.

Ранее отмечалось, что при решении задач разработки газовых (нефтяных) месторождений приходится сталкиваться с понятием фиктивной скважины (см.

§8 данной главы).

Вусловии (12) в качестве контуров si примем соответствующие контуры фиктивных скважин радиусом Лс. ф = Rc + 0,208 Дгг1. Следовательно, за пре­

151

Тогда ввиду относительной малости R c, ф условие (12) с незначительной погрешностью может быть записано в виде:

Условие (13) означает, что дебит укрупненной скважины принимается рав­ ным дебиту реальной газовой скважины. В связи с малыми запасами газа в пре­ делах области с радиусом Rc. ф это допущение выполняется с высокой степенью точности.

При решении задачи (9)—(11), (13) методом конечных разностей удобно ввести следующие безразмерные переменные:

152

В дальнейшем звездочки для простоты будем опускать.

Область фильтрации G с внешней границей Г покроем сеточной областью с шагом Ах = Ау, как это изображено на рис. 46. Внешнюю границу Г аппрокси­ мируем сеточной границей Г'. Тогда область фильтрации G заменится сеточ­ ной областью (?'. Центры квадратов будем называть узловыми точками. Пред­ полагается, что каждая г-я скважина с контуром si попадает в узловую точку. Этого всегда можно добиться соответствующим перемещением сеточной области до наилучшего совпадения места расположения скважин с узловыми точками и некоторым «сдвигом» скважин.

Используя идею метода Д. Дугласа, уравнение (14) аппроксимируем сле­ дующими двумя системами разностных уравнений (при Ах = Ау):

сверхсжимаемости газа при пластовом давлении рЬ*/1; значения величин, вхо-

и т. д.

153

Чтобы сформулировать разностную задачу, соответствующую краевой задаче (14)—(17), необходимо условия (16) и (17) записать в разностном виде. Условие (15) при решении задачи учитывается без затруднений: при к = О

все р?, / = 1.

Граничное условие с Г будем непосредственно переносить на границу се­ точной области Г' без соответствующей интерполяции, так как число пригра­ ничных узловых точек на порядок и более меньше общего числа узловых точек, аппроксимирующих G. Поэтому считается, что погрешность в решении опреде­ ляется главным образом погрешностью уравнений в основных узлах, число которых является подавляющим.

Использование данного условия на ступенчатой линии Г' при рассмотре­ нии систем (18) и (19) приводит к совпадению направления нормали с направле­ ниями координатных осей. Поэтому условие (20) для системы (18) дает следу­ ющие конечно-разностные уравнения (со вторым порядком точности для гра­ ницы, проходящей по середине расположения узловых точек):

Здесь индексы «л» и «п» означают принадлежность к приграничным узловым точкам соответственно на левой и правой границах области G' (см. рис. 48).

Так же условие (20) при рассмотрении системы (19) дает следующие конечно­

Здесь индексами «в» и «н» помечены «верхние» и «нижние» приграничные узловые точки.

Рассмотрим конечно-разностные аналоги граничных условий по скважинам. Пусть некоторая скважина находится в узле (г, /). Тогда, согласно формуле Дюпюи, для дебита фиктивной скважины можем записать относительно при­ нятых обозначений следующее уравнение:

Здесь^ р — среднее давление на контуре г = Ах; pit у- — давление на забое фиктивной скважины; а/, / — значение параметра сг в узловой точке (i, ;').

Очевидно, что величина р2 может быть принята равной среднеарифмети­ ческой величине от квадратов давлений в соседних узловых точках, т. е.

_ |

154