Файл: Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие.pdf

Тогда уравнение (25) переписывается в виде:

1i,i

(27>

9 = -

Ах ■{Pl , i + p i + l , i + p f , i - l + p 'г,7+1, —4 о?

4 In

9 =

СУ;, I Ах

др*

■

W

др2

др2

(28)

Ах

дх

-О '

дх

+0

ду -О

ду

1 0

4 In

+

.

решения на (к +

2)-м временном шаге используются значения давлений на

(А + 1)-м шаге по

времени и т. д. При достаточно малых

временных

шагах

такая линеаризация на каждом временном слое приводит к

решению

задачи

1

,

1

, 1 , 1

, 1

, 1

,

k+i

,*+т

,Л+т 2й+т , *+т

2ft+T

ft+-

(31)

o.

i

P

\

+ i , i - h , i

P l ,f

+®.

i

Л -

i j

= - V t , i

Здесь

t+T ’ /

l _T ‘ 7

l

2v,Vf,/. (Ax)2____

Л _ _ £

2 .

ft+ 2

fe+ 2

k +

2

1

1

r

/

,

=ff

, + 0f.

.H--------- Ц-i---Ц:----

(

z

dp j i j

’

*•'

+T ’

J

‘ ~ T ’ '

'

x z i,

i

P { , i

fe+—

ь

2Vi,/

(Ax)2

,,

p(.( /

2

a h

x

+

a k

x

= fffe

1

1

X

(32)

i,/ +T

l ’ , +

T

1 , i -

t

,/

2

2

P tj

Предполагаем, что нелинейные члены на

+ -i-^-м временном слое уточ­

пример,

(s)fe+4-

под величиной pit f будем понимать значение давления в точке (г, j)

в ^A: -f-

момент времени, вычисленный в результате s-й итерации. При s=0

принимается

P U

' Pi, / ’

т. е. в первом приближении давление на

-м временном слое, необхо­

димое для уточнения нелинейных членов,

принимается равным давлению в А-й

момент времени. Найденное в результате

(П 1

поле давлений принимается за p fy

(S)ft+ 2

(S—1) h

2

Sg 8

max

Pi. I

- P u t

(33)

i,

i

Согласно изложенному,

уравнения (31)

и (32)

могут быть написаны в виде:

(S) ь+—

, 1

2L

fc + -

(S+1) , + 2

(S+l)„ft+ 2

(S) k + ~

(S)ft+— CS+1)

( S ) h + T

(34)

г .

Pt+l,j

~ \

l

P i i

+ a i

- Ь /

-■-Vi. I

1 + Т > '

А,- ;

= a .

1

.- -«)ft+i

2vj./ (As)g

(,

<S)k +

2

(S) h +

2

O'.

1

„

fc+i „

b + i

V '

a ' <*р Л ,/

’

t,;

‘ +T

’ ;

(S)

2 <S) " ' 2

T zi, /

Pl, i

<S) k+ 2

ft.

lP ? ,/+ l -

1

+

^ .

2v/, / (Дг)2

P‘ , /

= CT, .

X

(35)

J’ ; + T

l,1+~

h ! ~ T

(S) h +

2 (S) fe+ 2

T

zi, /

*<•/

/

— 552— \ i

X \

*

Daft.

!

l

v 2 h

d p I t , !

Pi, / Т ” .

t u ~ T

s = 0,

1,

2, . . .

(34)

представляет теперь систему линейных

алгебраи­

Система уравнений

порядковый номер 0 (i =

0). Соответственно для самых «нижних» узловых точек

принимаем j =

0.

Самые крайние

(на строчках) узловые точки будем нумеро­

вать через п (i

—

re),

а

самые

«верхние» — через

т (j = т).

Решение системы уравнений (34) отыскиваем с использованием следующего

рекуррентного соотношения:

,

1

Т

г

k+—

cs+d 'k+T

(36)

1

=Di+1,j

Pi+i, /

+Ei+l,i-

Чтобы представить рекуррентное соотношение (34)

в виде (36),

необходимо

(S+1)l>_*+ 2I

(S+l )

9

1 S + 1 )

k+±-

'

9

из (34) исключить

p f^

•. Согласно

(36),

р?_х

выразим через р?

у

“ . Тогда

(S+l) k + 2

(s+l)

Ai

(37)

P l 1, /

= Dt,j

P i ,/

2 + E itj.

Подставив (37)

в (34),

получаем

_i

(S)

ft+ T

(s+i ) h+T

2 — а

=

P li

(s)h + 2

.

(S+l)_ft+

-2

(S) h+—

(S) h +

2

= CT

1

"2

a t

-

l - , i

E t ‘ l-

(38)

i + T , l

Pf+Ui + 1 4 ,!

1

. . h+—

(S)

2

<У. 1 .

&i+1> i — _

«+ т > /

(39)

(S) h + -

.^t,/

h

i

—a. i

i

,

1

(S) h+—

(S)h+T

H i

‘ 4

^ '

(40)

Ei+1, / =

+

ftf —

4

/

-

a

. 1

1

( S + 1 ) В + 2

( S + 1 ) „ Т

•

(41)

Po,i ~

Pi,i

С учетом рекуррентного соотношения (37) получаем

— U

E i,} = 0.

(42)

(S+1)

ь

-L

ь

—

В+ 2

(S+1) Й+ 2

(43)

Р п - 1 , /

=

Р п , !

( S + l > 4 + 2

вычисляется по формуле

Тогда значение Рп_х у с учетом (36)

(S+1) к

i_

2

Еп,

i

(44)

3

1— Dn, j

„

(S+1) fe +

2

(s+1)

ft+

2

<s+l>

+

2

Последующие

значения p „ _ 2

у>

Pn-з

/

» •• •> Pi

/

вычисляются с ис­

4q In

Аж

Д£1Ф.= (£>;,,•-2)'S+1)',(‘*т) J, (S+1)on2 (* +т )

(S) К-)

pf.i

1 рс+1,1 +

+ E 4 + P !,h i - 4 i + P

l l +v

(45)

D /+1,/ = 2

(46)

4q In

Дг

Лс, ф

E i ’ i + p £ i - i - 2 Р и2 + p t i + i ~

«)

k+T

E,i+1 ,j~

ii i

(47)

-D4

Итерационный процесс на временном слое к +

продолжается до выпол­

нения неравенства (33).

которые для (к +

1)-го момента времени имеют следующий вид:

cs)B,i .

(s+i)

fc+l

(s) fc+1 (s+i)

гы-i

(s)ft+1 .

(s+Dfe+i

CSJ fc+1

(48)

+

P ii+ i - Ъ

*

Pi,j"2

1~

"

P|, j - l —

— ■H't,1

’

(S) ft+1

IS) ft+1

(S) ft+1

2Vi,/(A*)2

(

lS\l

\krl

(49)

l i,j

=(Тг, j +i

+

j- 4 - +

'

(S) k+l «) k+l

V

^ dp )i, j

>

zi,j

Pi,j

(S) k + l

fe+

-

2

fe+-

fe + i

O'.

1

.+

cr.

X

P i j = ai+±о ' ^

“

l

(S) h+1 (S) fe+1

г

+—

, 3

г---- , 3

L

2

2 ’

T

zi,3

PiJ

p

(S) ■\fe+ll

k+—

д+—

k+—

X 1-

dz

2

2

(50)

z

dp

^ 1 - 1

, P

<s+D„fe+l

: - Di, /+

(s+i) fe-f-x

(51)

P i 5

*4, j + 1 + ^ tf j+1>