ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 146
Скачиваний: 0
сопоставлены с экспериментальными данными по геометрии моле кул — результатами рентгеноструктурных, электронографиче ских и микроволновых исследований. Если потенциальная по верхность имеет лишь один минимум (а такие случаи нередки — в ароматических системах, как правило, имеется лишь одна рав новесная конформация), то, выбрав произвольную начальную
точку |
в пространстве геометрических |
параметров, мы найдем |
|
его, применяя один из описанных ниже методов |
минимизации. |
||
2. |
Поиск глобального минимума. |
Молекулы, |
обладающие |
внутренним вращением, обычно имеют не один, а несколько или даже очень много локальных минимумов. Если глобальный, т. е. самый глубокий, минимум существенно глубже локальных, то можно ожидать, что конформация, соответствующая ему, будет присутствовать в равновесной смеси с наибольшим весом и имеет большие шансы реализоваться и в кристалле. Количество ло кальных экстремумов обычно быстро растет с увеличением числа параметров, описывающих внутреннее вращение. Так, в открытых цепях насыщенных углеводородов число минимумов, грубо гово ря, равно Зл' \ где п — количество атомов углерода главной цепи. В циклоалканах количество минимумов меньше, поскольку усло вия замыкания цикла накладывают серьезные ограничения на потенциальную функцию. Очень велико число локальных мини мумов для белков: если принять, что каждый остаток имеет три
формы: R, В и L (см. гл. 8), то число минимумов для |
молекулы |
|
лизоцима, содержащей 129 остатков, будет близким |
к З129. |
ми |
К сожалению, эффективного способа поиска глобального |
||
нимума нет и для существенно многоэкстремальных задач, повидимому, в принципе быть не может. Ситуация в этом случае аналогична положению слепца, попавшего в горную местность и обладающего лишь одним прибором — высотомером: чтобы най ти самую глубокую или самую высокую точку, ему требуется обойти, «прощупать» всю местность. Один из наиболее эффектив ных методов, позволяющих быстро проходить по местности (по потенциальной поверхности) — это описанный ниже метод овра гов. И все же если число локальных минимумов очень велико — порядка 100 и более — то любой метод, в том числе и метод овра гов оказывается бессильным.
3. Определение средних характеристик. В многоэкстремаль ных задачах основной интерес представляют не положения от дельных минимумов, а некоторые средние характеристики, пока зывающие распределение по конформациям. Во-первых, это мо гут быть средние размеры макромолекул и распределение по раз
мерам, |
которые |
определяются экспериментально. |
Вычисление |
( /г2 ) |
и ( s2 ) |
— среднего квадрата расстояния |
между конца |
ми цепи и среднего квадрата радиуса инерции является предметом конформационной статистики олигомеров и полимеров. Во-вторых, средней характеристикой является конфигурационная энтропия локального минимума. Широкий минимум, вообще говоря, яв
124
ляется более выгодным, чем узкий — если эти минимумы оди наковы по глубине, то свободная энергия широкого минимума меньше. Свободная энергия может быть рассчитана усреднением функции в области локальных минимумов, для чего использует ся как метод построения равномерной сетки, так и метод МонтеКарло.
4. Поиск путей изомеризации. Пути изомеризации — это кратчайшие пути, соединяющие локальные экстремумы. При низ ких температурах оптимальные пути проходят по дну оврагов*
ипредставляют собой «борозды» на потенциальной поверхности. Самые глубокие овраги обычно выходят из локальных минимумов
иведут в другие минимумы,преодолевая на пути ^седловую точку, соответствующую переходному состоянию. Энергия в этой точке
является барьером интерконверсии и может быть сопоставлена с измеряемыми на опыте барьерами. Простейшим примером ин терконверсии является внутреннее вращение в этане и его галогензамещенных: как было показано в предыдущем параграфе, овраги идут таким образом, что валентные углы при интеркон версии меняются, и значения функции в седловых точках нахо дятся оптимизацией геометрии. Значительно сложнее найти овраги и седловые точки для существенно многомерных задач с сильным взаимодействием геометрических параметров. Автома тическая процедура поиска, позволяющая проследить за измене нием геометрии в процессе интерконверсии и вычислить значение энергии в седловой точке, описана ниже.
Остановимся подробнее на методе вычисления потенциальной функции и методах решения сформулированных задач конформа-
ционного анализа.
Процедура вычисления потенциальной функции может быть оформлена двумя способами: 1) Задают 3N декартовых коорди нат атомов (N — число атомов в молекуле), затем, исходя из них, находят длины связей, валентные и двугранные углы и под ставляют полученные значения в выражение для энергии напря жения, например, в (2.93). При поиске равновесной конформации в качестве независимых переменных используют все 3N декарто вых координат. 2) Сначала выбирают независимые геометрические параметры, описывающие геометрию молекулы — длины свя зей, валентные углы и углы вращения. Затем через них выражают декартовы координаты атомов, находят расстояния между ато мами и, используя потенциалы невалентных взаимодействий, вычисляют энергию напряжения. Минимизация в этом случае проводится по внутренним параметрам — валентным и двугран ным углам; связи можно считать жесткими.
* Строго говоря, это утверждение не всегда верно: оптимальный путь зависит как от распределения нормальных колебаний, т. е. от начального импульса, так и от особенностей потенциальной поверхности.
125
Первый способ действий удобнее второго в том отношении1 что он не требует подготовительной работы, связанной с выбором внутренних координат и выражением компонент потенциальной функции через эти координаты. Но за простоту программ прихо дится платить машинным временем. Чтобы найти равновесную конформацию молекулы циклобутана (см. рис. 3.3), требуется ми нимизировать потенциальную функцию по 36 координатам, и даже, если учесть симметрию С2а, то размерность задачи сведется лишь к 21. При втором способе действий, приняв некоторые упрощаю
щие предположения, можно обой тись значительно меньшим числом независимых переменных. Так, в том же циклобутане можно принять ва лентные связи абсолютно жесткими и допустить, что углы НСН делят пополам углы ССС цикла. Тогда всего лишь четырех параметров — двугранного угла а, одного угла
ССС и двух углов НСН — будет достаточно для описания геомет рии.
Итак, выбор внутренних коор динат в качестве независимых пара метров выгоднее, поскольку, во-пер вых, число параметров, по которым должна быть проведена минимизация
потенциальной функции, меньше, чем при выборе в качестве исход ных параметров декартовых координат атомов, и, во-вторых, в потенциальную функцию легко могут быть введены необходи-
мые упрощения.
Рассмотрим, как в общем случае декартовы координаты могут быть выражены через внутренние. Выберем в молекуле главную
цепь, состоящую |
из узлов |
(рис. 2.17), |
и пусть |
параметры /12, |
||
/ 23, •••» ^£, г+1» •••» |
1,£V (ДЛИ Н Ы |
СВЯЗеи), СХ2, 0^3, |
••», CCj, |
. . . , |
||
(валентные углы) |
и <р12, ф23, |
..., |
ср,-, i+i, |
•••, <Pw-i, n |
(углы |
враще |
ния) определяют конформацию главной цепи. Предположим, что координаты атомов в системе, связанной с (г + 1)-ым узлом, уже известны. Обозначим их через X i+i и переведем в систему, свя занную с предыдущим узлом г. Для этого применим ортогональ ное преобразование [где А — матрица (3 X 3), В — вектор]
Х{ = |
A |
(2.95) |
“—cos a i+i |
—sin а ;+1 |
О |
■Фчг — sin a i+1 cos ф^г+г |
—cosa;41cos ф/д+i |
—sin ф1>£-н i (2.96) |
sin a Hl cos <p/ji+1 |
—cosaw ,sin<p(-ji+1 |
cosqyil+i_ |
|
h,i+i |
|
Вi+i — 0 0
126
Действительно, это преобразование соответствует повороту связи (г, г + 1) на угол <pif i+1, который дается матрицей вращения
|
"1 |
0 |
0 |
“ |
ДЧ’ = |
0 |
COS ф |
—-sin ф |
(2.97) |
|
_ 0 |
sin ф |
cos ф _ |
|
дальнейшим поворотом на угол, дополнительный к валентному
углу (я — а), дающемуся матрицей поворота |
|
||
■cos а |
—sin а |
0 |
|
sin а |
—cos а |
0 |
(2.98) |
0 |
0 |
1 |
|
и, наконец, трансляцией вдоль связи |
li)i+i на ее длину. Таким |
||
образом |
|
|
|
Дт |
= Л ? +1. ^ |
+1 |
(2.99) |
Аналогичным способом |
координаты атомов |
переводятся из |
|
i-ой системы в (г — 1)-ую. Если в г-ой системе атомы имели коор
динаты Х г, |
то, перейдя в систему, связанную с первым атомом i, |
||
получим |
X 1 = A X i + B |
|
(2.100) |
где |
|
||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
А — A iA %.. .А( — |~”| Ak |
|
( 2. 101) |
|
fe=i |
/г-1 |
|
|
I |
( 2 . 102) |
|
В = В2 + |
АцВ3+ A 3A 3Bt + • • • + А 2А 3. . .Ai^xBi — 2 |
П |
|
|
k —2 s—2 |
|
|
Для разветвлений, отходящих от главной цепи, применяется тот же метод последовательных преобразований. На рис. 2.17 показано разветвление у г'-го атома. В нем тоже можно выбрать главную цепь и, обозначив ее атомы через (г, 1), (г, 2), ..., провести преобразование по вторым индексам. Поскольку у каждого атома бывает не более двух разветвлений (при этом мы исключаем из рассмотрения многовалентные атомы и атомы, образующие боль шое число координационных связей), то универсальная програм ма расчета координат атомов может быть применена для любых органических молекул.
Описанный выше алгоритм был предложен Эйрингом [164] для вычисления координат атомов полимерных цепей. В работах 1165—168] рассмотрены его модификации, позволяющие умень шить вычислительную работу в некоторых конкретных случаях. Надо сказать, что не всегда универсальная программа лучше
программы, написанной |
специально для |
данной |
молекулы, |
ad hoc. Универсальная |
программа обычно |
требует |
больше ма |
шинного времени; кроме того, в нее нелегко ввести дополнитель
127
ные сведения о геометрии (симметрию и упрощающие предполо жения). Писать ли множество мелких программ или создавать универсальную программу — это определяется вкусом програм миста и машинным временем, которое имеется в его распоряжении. По-видимому, наилучшим должно быть некоторое компромиссное решение: программы не следует делать универсальными, но в то же время они должны быть пригодными для описания геометрии большого класса молекул.
Определенные трудности представляет расчет координат атомов циклических систем. Если считать валентные связи растяжимыми, то никаких проблем не возникает: применяя алгоритм Эйринга,
находим координаты N-го атома в системе, |
связанной с атомом 1 |
|||
(см. рис. 2.17), |
и, вычислив lN<1, составляем выражение энергии |
|||
|
|
N |
|
|
напряжения, в |
которое |
входит ^ -ц - |
При жестких |
ва- |
лентных связях |
можно вычислить расстояние lNf х и ввести «стя |
|||
гивающий» потенциал |
— /о)2> где |
К — большая по |
ве |
|
личине константа (подобным образом в работах [113, 169; |
170, |
|||
с. 120] рассчитывались конформации циклических пептидов). Введение «стягивающего» потенциала в таком виде приводит к появлению дополнительной переменной в потенциальной функ ции: вместо 2N — 6 переменных (N — число узлов цикла) их становится 2N — 5; кроме того, эта дополнительная переменная при минимизации «забивает» другие переменные потенциальной функции, и требуется принимать специальные меры для подбора значений К в процессе минимизации.
Простой выход из этого затруднения был предложен А. А. Луговским и В. Г. Дашевским 1171]: стягивающий потенциал вво дится лишь на первом этапе минимизации, когда атом 1 (см. рис. 2.17) может «не дотянуться» до атома N. Затем при соблю дении ряда условий этот потенциал «выключается» и минимиза ция ведется по 2N — 6 независимым переменным. Более сложные условия замыкания цикла, позволяющие проводить вычисления для фиксированных длин связей и валентных углов, были найдены в работе 1172].
Перейдем теперь к рассмотрению методов поиска локальных минимумов. Будем считать, что нулевое приближение с некоторой точностью известно (действительно, во многих практических ин тересных случаях его удается оценить из соображений структур ной химии, и роль конформационного расчета сводится лишь к некоторому уточнению). Например, мы знаем, что в молекуле 1,2-дихлорэтана одна из устойчивых конформаций соответствует углу вращения около 60° (гош-форма), а валентные углы близки к тетраэдрическим. Проведя минимизацию потенциальной функ ции, найдем равновесное значение <р, равное 64° [159] и валент ные углы, отличающиеся от тетраэдрических на 2—3°. При этом
128