Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

Последнее выражение аналогично (XIV.4) и, следовательно, сви­ детельствует (с учетом сделанных выше допущений) о правомерности использования для оценки cLметода наименьших квадратов, изло­ женного в предыдущем параграфе. Многочлен

Yo + Yi* + • ’ + Yтх т,

сглаживающий экспериментальные данные, проведенный методом наименьших квадратов, называется линией параболической регрес­ сии порядка т. Интуитивно ясно: чем меньше т, при котором откло­ нения наблюдений от многочлена можно считать чисто случайными, тем лучше. Надо начинать с небольшой степени (т — 1; 2, вряд ли более 3) и увеличивать т лишь при наличии достаточных экспери­ ментальных оснований. Если т = 1, то прямая линия у 0 + у гх называется линией регрессии или линейной регрессией. Если пере­ менная х, характеризующая условия опыта, меняется в небольших пределах, то многие зависимости можно приближенно считать ли­ нейными. Поэтому проведение линии регрессии является одним из наиболее распространенных приемов первичного осмысливания ре­ зультатов эксперимента. Широкое применение линия регрессии находит, в частности, при градуировке шкал измерительных при­ боров.

Укажем оценку для линии регрессии, доверительной зоны этой функции, квадратического отклонения, а также точности ее постоян­ ных коэффициентов при следующих условиях: результаты наблюде­

случайные известные величины, функционально не связанные между

= a (xt — х) + Ь.

Согласно методу наименьших квадратов, эффективные оценки

Здесь а и р — соответственно оценки а и Ь. Доверительные интер­ валы для а и b определяются уравнениями:

431

432

Доверительная зона с прямолинейными границами изображена на рис. 173 штриховыми линиями. Если бы было известно, что а = 2, то произведе­ ние уи—2 (р2, Я) s = 4,947 следовало бы заменить на Усо (р2, Я) а — 3,57. Квад­ ратичное отклонение а и (3 вычисляется по формулам (XIV.13):

4. Оценка точности прибора при линейной градуировочной зависимости

Если градуировочная зависимость (статистическая характери­ стика) прибора линейная, то при условии, указанном в предыдущем параграфе, она может быть аппроксимирована линией регрессии. Однако нередки случаи, когда измеряемая величина X случайная, а ее дисперсия неизвестна.

Рис. 174. Схема включения и характеристики приборов при их проверке по методу трех приборов

Для этого случая в настоящее время известны две методики обработки данных, отвечающие условиям рассматриваемой задачи; метод трех приборов [18] и метод Вальда [79], [180]. Оба метода позволяют оценить дисперсии нескольких приборов, измеряющих одновременно один и тот же параметр х, по сигналам этих приборов, зарегистрированным независимым образом. Математическая модель, используемая в обоих методах, одинакова. Предполагается, что систематические погрешности полностью исключены (или учтены), а полученные отклонения — случайны.

Метод трех приборов заключается в испытании трех приборов, одновременно измеряющих случайную величину X (рис. 174). Для

434

получения искомых оценок запишем два линейных уравнения, свя­ зывающих показания второго и первого, третьего и первого приборов,

где А2 х,-, Азх; — соответственно разница между показаниями при­ боров. Выразим величину показания прибора через ее математи­ ческое ожидание и погрешность: у { = М (г/() + е,, где М (г/,) — математическое ожидание г/(., et — погрешность. Тогда последние уравнения запишутся так:

• С другой стороны статистические оценки тех же моментов равны

Tj ^21^31

1=1

М(А21Ьз1) п