Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Имеет место приближенная

формула

 

 

m(Q) =

с3

(q — с3) та (Q,

k,

ci) +

С

V

 

С1

 

 

 

1

k2

 

 

 

 

 

с3

 

 

+

СО

С1

mb(Q, k, q)

(XIII.11)

к2

где

ma и ть — некоторые функции, зависящие только от Q,

k и

съ

М — критерия

Бартлетта, который используется следующим

образом. Вычисленное по формуле

(X III.9)

значение М сравни­

вается с табулированными значениями функций та и ть. Значение Q

выбирается заранее.

Если при всех значениях

сг, имеющихся в таб­

лице, та «с; М, то

гипотезу Я 0 о равенстве

дисперсий следует

от­

вергнуть; если при тех же условиях М <: ть,

то Я 0 не отвергается.

В

случаях, когда

шах та > М ^

min ть, следует вычислить

сг

по формуле (XIII. 10) и найти по таблицам та (Q; k\ сг) и mb (Q; k\ q);

если та (Q;

k\ сх) ^

М, то Я 0 отвергается, если же

М <

mb (Q;

k\ Ci), то Н 0

не отвергается. При та (Q; k\ сг) >

М

mb (Q;

k\

сх)

следует вычислить т (Q) по интерполяционной

формуле (X III

.11).

Если т (Q) sc; М, то

Я 0 отвергается, если же

М <

т (Q),

то Я 0

не отвергается.

 

 

 

 

 

Технику применения критерия Бартлетта рассмотрим на сле­ дующем примере.

При сравнении точности результатов экспериментов в четырех лабораториях

для неизвестных дисперсий были вычислены несмещенные оценки sf, приведенные в табл. 36. Воспользуемся критерием Бартлетта для ответа на вопрос: свидетель­

ствует ли различие выборочных дисперсий s/

о различии истинных дисперсий а ;?

Имеем

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

242,02

 

 

 

 

In

Е

In

1,4115.

 

 

 

59

 

 

 

 

£=1

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

Т а б л и ц а 36

 

 

 

 

 

 

 

Значения несмещенных оценок s. для неизвестных дисперсии

 

 

и результаты расчетов критерия Бартлетта

 

 

■?

v<

 

l/v (.

V?

in s?

v. in S2

1

1,13

2

 

0,5000

2,26

0,1222

0,244

2

4,05

7

 

0,1429

28,35

1,3987

9,791

3

6,38

21

 

0,0476

133,98

1,8532

38,917

4

2,67

29

 

0,0345

77,43

0,9821

28,481

 

Е

59

 

0,7250

242,02

—

77,433

 

 

 

 

 

422

Поэтому по формуле (XII 1.9) М = 59-1,4115 — 77,433 = 5,85. Согласно табл. 4.3а [16] полученное значением < / trij, (5%; 4 ,^) при любых с*. Следовательно- с уровнем значимости 5% различие выборочных дисперсий следует признать незна

чимым. Если бы оказалось, что, например,

М = 8,60,

то для проверки гипотезы Я 0

нужно было бы вычислить сJ. В данном случае с1 = 0,725 — 1/59 = 0,708. Линей­

ной интерполяцией находим:

 

 

та (5%; 4; 0,708) = 8,24 +

0,42 -0,39 =

8,40 < 8,60;

ть (5%; 4; 0,708) = 8,00 + 0,42.0,17 = 8,07.

Иными словами, величина М = 8,60 свидетельствовала бы о значимости различия между дисперсиями. Наконец, если бы найденное значение удовлетворяло нера­ венствам 8 , 0 7 < / 8,40, то для проверки гипотезы # 0 потребовалось бы вычис­ лить с3. В данном случае с3 = 0,128, поэтому согласно формуле (XII 1.11)

т (5%) = М 0 (0,7 0 8 - 0,128) + М 7 (0,128 — 0,022) =

О,bob

Если М ^-8,35, то # 0 отвергается.

Критерий Бартлетта, как правило, используется для проверки равноточное™ более двух серий измерений. Для проверки равно­ точное™ двух серий измерений пользуются критерием дисперсион­ ного отношения. Пусть по результатам обработки эксперименталь­ ных данных двух серий измерений получены оценки дисперсий sf

иsi. Требуется проверить, согласуются ли полученные значения sf

иsi с некоторой гипотезой Н 0, согласно которой дисперсии выборок находятся в заданном отношении к. Когда с гипотезой Н 0 конку­ рирует гипотеза Н ъ согласно которой af/a|> -/c, то в качестве

критического

значения для

отношения sf/sl

выбирают

функцию

kF (Q; vp, v2), где Q — заданный уровень значимости,

выраженный

в процентах,

Если

sf/sl

kF (Q; vp v2),

то гипотезу

Н 0 следует

отвергнуть. При этом вероятность отвергнуть

гипотезу

Н 0,

когда

она верна, будет равна Q/100. Функция F определяется по таблицам

с входными параметрами

Q,

v b v 2.

 

 

 

 

 

Рассмотрим пример использования F -критерия.

 

 

 

При многократном измерении двумя приборами одного и того же линейного

размера были получены оценки для дисперсии: sf =

0,10

мм при п 1 =

10 (vt = 9)

и sf = 0,02 мм

при п2=

30 (v2 =

29). Отношение

выборочных дисперсий

равно

 

 

 

F = si/s2 = 5.

 

 

 

 

 

Проверим последовательно две

гипотезы: Н 01 — о

том,

ЧТО c f / c r f ^

2 и

# 02 —

■ о том, что erf/af

4. Из таблиц [16] находим

 

 

 

 

 

k F(Q; vx;

 

 

( 4,4458

при к =

2;

 

 

v2) = kF(5%; 9; 29)

 

при к =

4.

 

 

 

 

 

 

| 8,8916

 

 

Так как sf/sf^> 4,4458, то гипотезу # 01 следует отвергнуть. Вероятность ошибоч­ ного решения в этом случае равна 5%. Гипотеза же Я 02 принимается.

С помощью критерия дисперсионного отношения F можно ре­ шить и задачу о доверительных пределах для истинной величины

423

отношения неизвестных дисперсий o \ l o l . Нижний доверительный предел для crf/al, соответствующий коэффициенту доверия 1 — 0 ,0 1 Q,

t

S?

_

_______ 5

1

4 F (Q; v I;

v2)

Верхний доверительный предел при том же коэффициенте доверия

f __ S\ F (Q:

v2,

v i)

/2 —

2

■•

Г Л А В А

XIV

КОСВЕННЫЕ, СОВОКУПНЫЕ

ИСОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

1.Косвенные измерения

Ккосвенным относятся измерения, результат которых полу­ чается на основании прямых измерений нескольких величин, свя­ занных с искомой величиной определенным уравнением. Другими

словами,

косвенные измерения

представляются функцией Y =

= тр (X!,

. . ., Х п) случайных параметров Х ъ . . ., Х п, обладаю­

щих одинаковыми или различными законами распределения.

Оценка погрешности косвенных измерений сводится главным

образом к определению дисперсии

Y, а оценка действительной вели­

чины Y — к отысканию ее математического ожидания.

Для точного определения этих числовых характеристик необхо­

димо

на

основании законов

распределения

случайных величин

Х ъ .

. .,

Х п определить закон

распределения

Y. В теории вероят­

ностей событие, рассматриваемое как результат сложного испыта­

ния, состоящего в измерении всех

величин Х ъ

. . . .

Х п,

часто

интерпретируется точкой «-мерного

пространства

(Хх, . .

., Х п)

или случайным вектором X {лг1? . . .,

хп\.

Если

случайный

вектор

имеет плотность распределения /

( Х ъ

. . .,

Х„),

то

искомая

функ­

ция распределения [39 ]

 

 

 

 

 

 

 

ф (у к)= J---

•••.

xn)dx1, . . . ,

dxn,

(XIV. 1)

J D

 

 

 

 

 

 

 

где D — область интегрирования. Плотность распределения ф (у) определяется дифференцированием Ф (у):

Ф (У) = Ф' (У)•

Трудность вычисления кратного интеграла (XIV. 1) резко возрастает с увеличением п. Поэтому точным методом пользуются для опреде­ ления закона распределения Y лишь в сравнительно простых слу­ чаях. Ограниченность применения этого метода объясняется и тем, что не всегда известны законы распределения аргументов. Поэтому

424

практически ограничиваются приближенными методами отыскания числовых характеристик распределения Y по числовым характе­ ристикам распределения случайного вектора X. Для этого обычно используется разложение функции в ряд Тейлора.

Если функция Y = ф (хи . . ., хп) мало изменяется в пределах некоторой области, то поверхность, характеризуемая этой функцией, аппроксимируется плоскостью, касательной в точке с координа­ тами М (х{), М (Y). Поэтому, пренебрегая членами разложения второго порядка, получим

П

У™'Ф(*ъ хп) -|- 2Д ^ ^ ' ^ ^ -

т а 1

С учетом общих теорем о математическом ожидании и дисперсии имеем:

М (Е) «=* ф [М (х), . . ., М (хп)]\

D(u) ^ 't i (wr)l°*i + 2 2

i=1 ft, (=1

(Ш)

c o v ( x ‘-’ * к ) -

Индекс нуль у частных производных указывает на то, что произ­ водные берутся в точке с координатами М {х), М (F). Очевидно,

oy = V D [ l 7J-

Если х 1у . . ., хп ■— независимые случайные величины (как это часто и бывает при обработке результатов измерения), то

cov {xt, Ху) = 0 .

Заметим, что линеаризация недопустима, если хотя бы одна из первых производных ф в точке М (х) обращается в бесконечность.

Во многих случаях при обработке физического эксперимента х{ являются аргументами функций одной переменной, которые входят в выражение функции ф в виде сомножителей и делителей. В этом

случае проще вычислять не производные

входящие в формулу

для дисперсии, а производные от логарифма функции ф {хх, . . ., хп) [118]. Дальнейшие рассуждения проведем для независимых xt.

Обозначим

со (хъ . . ., хп) = In ф (хъ . . ., хп)

и выразим производные^-^г)0через производные ^

• Продиф­

ференцировав последнее

равенство по xt,

получим

 

/ дсо \ _

1

/

Зф \

 

Vdxi Jo ~

ф [М (jfi)........М (х„)]

\

dxi )о ’

 

425

т. е.

(-&). = *!"<*>......М^ Ш ) о'

Подставляя это значение в выражение для D (Y), находим

D [Y] ~ Г № (хг), . . . , М (хп)1 £ (-g-)* ах2.

г=1

Рассмотрим пример, поясняющий применение последней формулы. Пусть необходимо определить квадратичное отклонение случайной величины, выраженной следующей формулой:

Y = В-

1

л2

< Г < П ,

 

Х ,

1Х.

 

V +1

л г + 2

 

где В и ск — постоянные коэффициенты. Логарифмируя данное вы­ ражение, получим

ГП

СО = In (К) = In В + Cl In xi —

X ci Jn xi-

i= 1

i = r + 1

Дифференцируя последнее равенство, находим

ск

при

М (хк)

( — ) = Vдхк Jo

f~-r при К > г .

М (хГ)

Подставляя эти значения в

выражение для D [К], получим

искомый результат

 

Oy = VD[Y] = Y-

1 2

■Оу,

 

М ( X i )

 

i=1

2. Совокупные и совместные измерения

Эти виды измерений характеризуются тем, что значения искомых величин vt, i = 1 , . . ., т рассчитывают по системе уравнений, связывающих их с некоторыми другими величинами xt-, / = 1 , . . ., к, измеряемыми прямыми или косвенными методами. Каждая комбина­ ция X, полученная в одном опыте, позволяет записать одно уравне­ ние. Система уравнений, содержащая всю информацию об искомых величинах, имеет вид

/V

(^1> • • •>

■* м

> х

1г> •

•

•>

X j r , • * *,

% k r)

(XIV.2)

 

 

 

Г =

1 ,

.

. .,

п,

 

 

где

fr — символ

функциональной

 

зависимости

между

величинами

в г-м опыте; п — число

опытов.

 

 

 

 

 

426

Смотрите также файлы