Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

При совместных измерениях при переходе от одного уравнения

После подстановки в исходную систему уравнений результатов прямых (или косвенных) измерений и проведения необходимых пре­ образований получаем ряд уравнений, содержащих лишь искомые величины и числовые коэффициенты

fr (»!, . . vm ) = О, г = 1 , . . п.

Эти уравнения называются условными.

Для того чтобы рассчитать значения искомых величин, достаточно иметь т уравнений, т. е. провести ровно столько опытов, сколько имеется неизвестных (п = т). Тогда результаты измерений и дове­ рительные границы их погрешностей можно найти методами обра­ ботки результатов косвенных измерений. Однако при этом величина погрешности результатов обычно бывает значительной. Для умень­ шения погрешности необходимо увеличить объем информации об искомых параметрах, увеличив для этого число опытов так, чтобы п было больше т. Поскольку определить однозначно в этом случае

значений измеряемых величин является метод наименьших квадра­ тов. Метод наименьших квадратов в общем случае не обеспечивает получения наиболее эффективных оценок, однако его применение оправдывается как простой вычислительной схемой, так и тем, что в ряде случаев этот метод действительно дает наилучшие оценки. Рассмотрим один из подобных случаев на примере двух величин х и t, связанных функциональным соотношением

х — f {t, vlt . . ., vm ).

Предположим, во-первых, что измеренные значения аргумента t не случайны и известны точно, во-вторых, будем считать, что при измерении значений функции х отсутствуют систематические ошибки, а случайные ошибки подчиняются нормальному закону с т = 0 и

где ф (t) — заданные функции. В том случае, когда параметры vt входят в уравнение нелинейно, для упрощения вычислений его приводят предварительно к линейному выражению.

В методе наименьших квадратов искомые постоянные опреде­ ляются так, чтобы сумма квадратов разностей между левыми и пра­ выми частями условных уравнений

427

Сумма 5 является функцией неизвестных параметров vt, поэтому для выполнения условия (XIV.4) необходимо обращение в нуль всех первых производных от 5 по vt, т. е. выполнение равенств

Система (XIV.5) называется системой нормальных уравнений, содержит т уравнений, т. е. столько же сколько неизвестных па­ раметров V(.

Если заменить неизвестные значения vt их оценками, то матема­ тические ожидания случайных величин 8Г станут функциями уг, от которых будет зависеть и функция правдоподобия L. Согласно общим правилам для составления функции правдоподобия необхо­ димо перемножить ординаты плотности вероятности б, взятых при

Функция правдоподобия обращается в максимум, когда показатель степени у е имеет наименьшее по модулю значение, т. е. когда 5 = min. Таким образом, для рассматриваемого случая метод наи­ меньших квадратов следует из метода максимального правдоподобия. Выпишем нормальные уравнения для данного случая. Дифферен­ цируя (XIV.4) по vK, имеем

где коэффициенты vt заменены их оценками, поскольку система нормальных уравнений определяет оценки этих параметров. Сокра­

тив (XIV.6 ) на 2 и оставив в левой части только слагаемые, содер-

л

Эта система уравнений является линейной относительно искомых оценок vr. Для упрощения ее записи введем обозначения:

= Е Фi (tr)Фк (Q ; Ук= Е Фк(Q хп Г=1

428

где diK — неслучайные числа, симметричные относительно своих индексов; VK— нормальные случайные величины, поскольку они

являются линейными комбинациями нормальных величин xr. С уче­ том принятых обозначений система нормальных уравнений может быть переписана так

т^

S d i f l ^ V i , 1= 1 , . . . , т. i=i

Из последней формулы следует, что оценки у,- являются нормаль­ ными величинами, так как они равны линейным выражениям, обра­ зованным из нормальных случайных величин Vt (определитель Д и алгебраические дополнения А 1к не содержат случайных величин). Эти оценки также являются несмещенными, а для определения их

Оценки коэффициентов vt с различными индексами не являются независимыми, так как, находя корреляционный момент выражений (XIV.7) с различными индексами, путем несложных преобразований можно получить формулу

которая при i = k переходит в выражение (XIV.8 ).

для оценок vt, поскольку их математические ожидания равны vt.

Если дисперсия а* неизвестна, то ее состоятельная и несмещен­ ная оценка определяется формулой

22^ш1п

п— т ’

где Smin — значение суммы квадратов 8Г (XIV.4), в которую вместо

коэффициентов v{ подставлены их оценки vt.

429

В заключение отметим, что рассмотренный случай относится

к равноточным измерениям. Если измерения хг неравноточны, то, поделив предварительно обе части условных уравнений (XIV.3) на ог

(квадратичное отклонение хг в каждом опыте), получим равенства, левые части которых будут обладать одинаковыми дисперсиями. Следовательно, к преобразованным таким образом уравнениям уже применимы формулы, полученные для равноточных измерений.

3. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Линейная регрессия

Сглаживание обычно имеет две цели: 1) поточнее определить экспериментальные данные за счет освобождения от случайных ошибок, допущенных в каждом отдельном опыте; 2 ) редуцировать большое количество экспериментальных данных к немногим коэф­ фициентам многочлена [128]. Надо сказать, что эти задачи часто могут быть с тем же успехом (или неуспехом) решены без использо­ вания методов математической статистики путем проведения на глаз плавной кривой. Однако при этом нельзя судить о точности проведения этой кривой, т. е. о соответствующих доверительных интервалах для истинных значений наблюдаемой функции в разных точках. Поэтому математическим методам сглаживания измерений всегда отдается предпочтение.

Положим, что многочлен

пока считается известной. Примем следующую модель для резуль­

где 8 г — независимые нормально распределенные случайные вели­ чины с параметрами 0 и о. Требуется по результатам наблюдений определить коэффициенты многочлена. Введем векторы:

\к _ 2 оС/Х/) =б2-

430