Файл: Богданов, В. И. Вычисление гравитационных аномалий от трехмерных тел (графические способы).pdf

где d m — элементарный телесный угол, под которым из начала координат виден элемент площади. Подставляя (43) в (42) и при­ нимая во внимание весь заданный контур, получим известное со­ отношение:

(44)

или, возвращаясь к объемной массе,

(45)

Отсюда легко, в частности, получить выражение (41), заменяя телесный двухграниый угол Дсо=2 к/re плоским углом Дад = п/п. Выражение (45) может быть, по аналогии с выражением (41), использовано для построения объемной диаграммы. Но обобще­ ние способа Г. А. Гамбурцева для трехмерных тел сложнее. Можно непосредственно искать решение в виде разницы эффектов, на­ пример от призм бесконечного и конечного размеров по прости­ ранию, как это было сделано с палеткой К. Юнга. Однако рабочие

•формулы в этом случае получаются громоздкими, и при этом теря­ ется основное достоинство способа Г. А. Гамбурцева — его про­ стота.

Ниже предлагается, не изменяя сущности двухмерного способа, провести дополнительное разделение полупространства в направ­ лении простирания бесконечных призм двухмерной палетки. Из формулы (45) следует, что такое разделение возможно в том случае, если вновь образованные объемные ячейки будут видны из начала координат под равными телесными углами. Поскольку бесконечные призмы палетки Г. А. Гамбурцева образованы пе­ ресечением горизонтальных плоскопараллельных пластин и гра­ нями равных двухгранных углов, определяемых плоскими углами Дер двухмерной палетки (формула (41)), то дополнительное разде­ ление полупространства выполним при помощи конических кру­ говых поверхностей с вершиной в начале координат и общей осью

•симметрии, совпадающей с осью OY. В этом случае на сфере ради­ уса R образуется несколько сферических поясов, вырезаемых коак­ сиальными коническими поверхностями, высоты которых равны между собой и составляют /г.

Выберем h=Az двухмерной палетки и рассмотрим только ниж­ нее полупространство. При делении плоскопараллельной пластины коаксиальными коническими поверхностями на 20 равных частей, видимых из начала координат под равными телесными углами Д ш, гравитационный эффект каждой части составит 2.0 мгл (масштаб 1 : 100 000, о=1.0 г/см3), если принять /г=0.955 км. Значение ра­ диуса R выбирается кратным /г=Дг, например Г? = 10 Дг. Далее

26

ось 0 Y разделяется на равные отрезки /г, через концы которых проводятся прямые, параллельные OZ, до пересечения со сферой радиуса R. Точки пересечения их соединяются с началом координат. При вращении полученных треугольников вокруг оси ОУ нижнее полупространство разделяется коническими поверхностями на равные телесные углы:

в материальную плоскость, проходящую через середину интер­ вала Az, и рассмотрим следы, образующиеся на ней при пересе­ чении с коаксиальными коническими поверхностями. Уравнение конических круговых поверхностей с осью, совпадающей с осью OY , и с вершиной в начале координат запишется в виде:

Всечении с ними плоскости Zk=H образуются гиперболы

я2

с равными мнимыми и переменными действительными осями. При Z —0 из выражения (47) будем иметь

т. е. отношение с/а определяет угловой коэффициент линий пере­ сечения коаксиальных конусов с координатной плоскостью XOY.

Построение гипербол для каждого горизонта Zk производится по осям; отношение da легко может быть определено аналитически пли же графически при построении равных телесных углов А ш. Гиперболы и линии пересечения двухграиных углов Дф, определяе­ мых плоскими углами Дер палетки Г. А. Гамбурцева, с плоскостью Zk образуют площадки равного действия:

зуемся одной плоской гиперболической палеткой для горизонта Zk=4.5 Az и совместим ее с двухмерной палеткой Г. А. Гамбур­ цева. Рассмотрим также изменение ординат одноименных точек гипербол при переходе с одного Zx на другой Z%=dZx. Так как при изменении Z аналогичным образом будет изменяться и X (Х2=

27

гипербол (48) примут вид:

Поскольку изменение Z и X учитывается двухмерной палет­ кой Г. А. Гамбурцева, то для учета изменений Y, прямо пропорцио­ нальных. изменениям Z, достаточно рассчитать для каждого ин­ тервала Аз значения d —Z^IZv В табл. 2 для этих целей рассчитаны коэффициенты 1 //??., пропорциональные изменениям телесных уг­ лов А (о., под которыми на различных горизонтах Z,. видны соот­ ветствующие гиперболические участки плоскости Z=4.5 Az. Рас­ светная формула для этого случая имеет вид:

где г = 1,2,3. . . — порядковый номер плоского угла от оси OZ, определяющего телесный угол Дог, a h. — высота сферического пояса, вырезаемого на сфере радиуса R телесным углом Дш,..

На рис. 11 изображена трехмерная палетка Г. А. Гамбурцева. Нижняя ее часть представляет собой двухмерную палетку (мас­ штаб 1 : 100 000, а=1.0 г/см3, Дз=0.955 км). В верхней части вычерчено семейство гипербол — следов коаксиальных кониче­ ских поверхностей с плоскостью Z=4.5 Аз. Прямые, параллельные оси OY, представляют собой следы пересечения двухгранных уг­ лов Дф с той же плоскостью. В пересечении параллельных линий и гипербол образуются площадки равного действия. Цена деления одной объемной элементарной призматической ячейки, ограничен­ ной в плоскости XOZ трапециями двухмерной палетки, а в плос­ кости XOY — коническими поверхностями, определяется по фор­ муле (50). Для случая, изображенного на рис. И , она составляет 0.1 мгл (т=20, цена деления элементарной призмы двухмерной палетки 2.0 мгл). В нижней части палетки для каждого интервала

Дz выписаны значения коэффициентов d— - ^ - , где к = 0.5, 1.5,

2.5,. . . — середины интервалов Az. В верхней части палетки при­ ведены цены деления объемных ячеек, ограниченных элементар­ ными призмами двухмерной палетки и коническими поверхностями для горизонта Z=4.5 Az.

Процесс работы с палеткой следующий. На разрезе, как обычно, изображается в определенном масштабе вертикальное сечение тела, избыточная плотность которого составляет Дз,

28

Таблица 2

V i

С точкой, в которой определяется гравитационный эффект, сов­ мещается центр палетки, а ось OZ ее ориентируется вертикально вниз. По двухмерной палетке подсчитывается количество площа­ док равного действия, попадающих в контур тела, но только для каждого горизонта Az отдельно. Все трапециалыше площадки*

Коэффициент d

ограниченные смежными радиальными лучами, по этому же направлению проектируются на плоскость Z = 4.5 Az и далее на ось абсцисс.

В верхней части палетки из точек проекции, параллельно оси OY вычерчиваются измененные размеры тела по простиранию. Если проекция на плоскость Z = 4.5 Az осуществлена сверху, то размеры тела по простиранию должны быть увеличены в d раз, если же снизу, то уменьшены также в d раз. Искомый трехмерный эффект равняется сумме эффектов частей тела, отсекаемых плос­ костью XOZ в направлении осей -\-OY и —OY. Эффект каждой части определяется как произведение числа гиперболических по­

30