Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 0
Возьмем конкретный случай, когда I = 4. Используя фор мулу (3.41), получим
Р |
(zi) = |
2' 4 ((кЧъШэ, + |
+ 3qiqiPaQi + 4 qlq3paPi + |
|
+ 5gip2g3g4 + |
6giP2g3p4 + 1qiPiThqi + 4iPzPzPi + 9p1g2g3g4 + |
|||
|
+ 10л?гдз^4 + |
+ 12p1g2p3p4 + ib p ^ p M i + |
||
|
|
+ 14PlP2?3P4 + 15PiP2p3qi + IQPiPzPsPi), |
||
где Pi |
= p |
(at), |
qt = 1 — p,-. |
|
Произведем попарное суммирование членов этого выражения; тогда
Р (z i) = 2_4 [ O'1^а/7з (1 + Р 4) + q ^ P z (3 + Р 4) + 4 \ P i4 z (5 -J-р4) +
+ qiPzPz (7 + p 4) + л ?,?| (9+ p 4) +Piq-iPz (11+ p 4) -r
+Pip2g3 (13+ p d + P iP t f3(15 -fp4)l-
Повторив аналогичную операцию, получим
Р (zi) = 2"4 [?ig2 (1 J\~Pi + 2р3) + g4p2 (5 + р 4 + 2р3) +
+Pi?2 (9 + Р 4 + 2р3) + Р 1Р 2 (13 + Р 4 + 2р3)]. |
|
Суммируем еще раз |
|
Р (zi)= 2”4 [?i (1 + р 4 + 2р3 + 4р2) + Pi (9 + р4 + 2р3 |
4р2)]. |
Окончательно |
|
Р (zi) = j Pi + jA s + -§■ Рз +-^6 Р4 + J q ■ |
|
По индукции для произвольного I найдем |
|
Р (zi)= Y Pi - f \ pz + •••+ -£г Pi + -£г |
|
или |
|
i |
|
p(z1) = 2"/+ S 2 - V |
(3.42) |
/г- 1 |
|
Выражение (3.42) представляет важный случай стохастиче ского преобразования — линейного преобразования вероятность
— вероятность и в этом смысле является обобщением всех линей ных преобразователей с вероятностным выходом. Действительно, заменяя в выражении (3.42) рк на ак, получаем уравнение, анало
гичное |
(3.11) |
для |
ЛПКВ. |
|
|
|
|
|
|
2. Пусть |
р (xj) |
= pj, |
р (a,j) = <0*1 |
и zx = 1, |
когда |
А > Х , |
|||
j = 1, |
2,. . ., |
I. Пусть |
I = |
4. |
Тогда, |
используя |
(3.13), |
получим |
|
|
р Ы = of!? !+ < ^ 2я |
& |
+ c^Wiftgs+ |
+ |
|
||||
|
+ & iq Т a (p i — ?i) g2 |
|
з (pi — gi) ?2?з+ |
1^°4 (Pi |
|||||
12 1
— ?l) (h (M i + f i^ W l (Pa— Я2) Яз + g^ 2g^4?i (Pi — Я2) qz4i +
+ £^3#4?1?2 (Ps - |
?a) ?4 + c ^ W * » (?1 — Qi) (Рз — ?a) Яз + |
||||||||||||||
+ ofi+V+4 (Pi — Я1) (ft — ?2) дз?4 + ^ V * ? 4 |
(Pi — Яд Яз (Рз - |
||||||||||||||
|
— Яз) Pi + |
|
|
|
|
|
(Рз — Яз) (Рз — Яз) Яь + |
|
|||||||
|
+ +1+2+зс+4 (Pi — яд (Рз — ?a) (Рз — Яз) Яь |
|
|||||||||||||
Это выражение иллюстрирует способ записи р ( z f |
для любого I |
||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
i-i |
|
|
|
|
|
|
р (zd = 2 Я1Я2 • • •Я1&1 + |
2 2 Я1Я2 • • • Я]-1 (ру— яд х |
|||||||||||||
|
|
1=1 |
|
I |
1-1 1-1 |
1=2/=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х д/+1 ••• |
|
+ 2 2 2 ?1 •••Як- 1 |
(Рк — Як) Я ш ••' ?/-1 X |
||||||||||||
|
|
|
|
|
(=3/=2А=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
х |
(ру — gy) g;-+i • • •д г + А + у + г Н---------- h (p i — дО х |
|||||||||||||
|
|
X (Р з - Я з )• ' '{Р1-1 — Я 1-дЯ 1^1^ з‘ •-+ V |
(3.43) |
||||||||||||
Общее |
число |
слагаемых |
этого |
уравнения составляет |
|||||||||||
|
|
|
|
(Д- C f J --------- |-Cf = |
2, - 1 . |
|
|
||||||||
3. |
Пусть р (яД = |
р (з2) |
= . . .= р |
(хг) |
= р , |
р |
(ах) = р (а2) = |
||||||||
. . , —р |
(ад = од, |
д = |
1 — р, |
|
(? = 1 — од , |
I = |
5. |
Подставляя |
|||||||
эти величины в |
уравнение (3.43), получим |
|
|
|
|||||||||||
|
p(%) = ^ ( g + g 2 + g3+ g 4+ g5) + ^ 2(p— g)(g + 2g2 + |
||||||||||||||
+ 3g3 + 4g4) -f <fdz (p — q f |
(g + 3g2 + |
6g3) + |
# >4(p — g)3 (g + |
||||||||||||
|
|
|
|
+ 4g2) + |
|
одь (p — g)4 g. |
|
|
|
||||||
Для |
произвольного |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p (zi) = e^g (l + |
g + |
• .. + |
я1 4) + |
S *2(p |
g) g (C l + |
c 2g + •••+ |
|||||||||
+ C U q1-') + ^ |
( p - q f q (Cl + C | g |
+ . . . + C |
^ 3) + |
||||||||||||
|
|
|
|
|
+ . |
|
|
|
(p — g)z_1g. |
|
|
(3.44) |
|||
Запишем последнее |
уравнение |
иначе |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р (z 0 = e P g S i + a f 2g (p — g) |
+ c f 3g (p — g )2 S 3 + |
|||||||||||||
При этом |
|
+ |
. . . + |
^ д ( р - д Г 1£, + . . . |
|
(3.45) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
О |
__ |
^1Г) |
|
г __ 4 |
О |
|
7 |
|
|
|||
|
|
|
°7-+1 — г I |
* 7 — J-1 |
|
■ч *» |
|
|
|||||||
т. е. каждая г + |
1 сумма в выражении (3.45) может быть опреде |
||||||||||||||
лена через r-ю производную от суммы |
геометрической про |
||||||||||||||
грессии |
C i = l + g + g2+ g3+ . . . = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
^ |
|
0 0 > |
||||||||||
122
учитывая, что сумма производных от членов геометрической про грессии равна производной от суммы прогрессии [12].
Подставляя выражения для сумм Sr в уравнение (3.45), полу чаем
ф г~ |
ф |
ф 2 |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|||
р Ы = ~ g [ i + — (р ~ д) + -— (р - д)2+ |
ор |
’ |
||||
|
|
|
|
1 -----у ( р |
— я) |
|
или окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
Р (zj) = |
&q+Qp ' |
|
(3.46) |
||
Погрешность |
формулы (3.46) |
при |
ограничении |
I определим |
||
в виде: Ар (zx) = |
Р р^° р (гх), |
где |
Р р^ |
— вероятность совпадения |
||
чисел А и X (рис. 55).
Эта вероятность, очевидно, оп ределится из соотношения
Pv^ = {gQ)l + C }(g Q )^ p ^ +
+ C*l {qQ)l-*(p<Pf + . . . +
+ C ^ q Q ( p ^ + (pof)l =
- ( g Q + P ^ y .
Таким образом,
Ар (z1) = p ( z 1) (g Q + p ^ )1.
В частности, при р = Q Ар (zx) =
= p ( z 1) (2рд)1. Зависимость •
°(Z,)
Рис. 57. Некоторые нелинейные зависимости, реализуемые ПВВ
получаемая из (3.46) подстановкой
р = Q (представлена на рис. 57 штриховой линией), хорошо аппроксимирует функцию Лапласа
OCq 12
Ф (а0) = 7 7 = } e " ~ d t,
V 2л
часто встречающуюся в инженерных расчетах. Ошибка аппрокси
мации не превышает 0,005 |
при следующем выборе масштаба: |
Р (zl) L^°-0,2 4 = |
Ф (ао) | а « = -1 ,3 4 0,09. |
Причем Ф (а 0) аппроксимируется на участке изменения вероят ностей &/3 от 0 до 0,5 или на симметричном ему участке от 0,5 до 1.
17. Преобразование разложением в степенной ряд
Обратимся к более общему случаю преобразования вероят ность — вероятность, когда логический преобразователь в схеме ПВВ на рис. 58 реализует некоторую произвольную функцию алгебры логики.
123
ДСНФ этой функции z определим в нашем случае следующим образом:
2 = V a № . .. а р х № . .. х?1. |
(3.47) |
Дизъюнкция берется по всем(ах, а 2,. . .,(5,), где z (а х,а 2). . .,|3;) = = 1.
Вероятность того, что 2 = 1, вычисляется как
Р (z) = S Ю р “г («2) ••■А ' («/) Рр‘ А ) рРг А ) . . Г / ' (ж,). (3.48)
Сумма берется по всем наборам, где z ( a lt a 2,. . .,|3Z) = 1.
Пусть, как и ранее (стр. 120), р (ж{) = р (ж2) —. . . = р (xt) = -j
А
|
a2 |
j |
( - |
• |
ч |
|
, 3 |
|
|
РШ |
|
Такты |
ЛП |
|
|||
лГ- * |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 • • |
• |
■ |
|
|
|
|
x i |
|
X
Рис. 58. Функциональный пре образователь вероятность — ве роятность:
Л П — логический преобразователь
Тогда уравнение (3.48) перепи шем в виде
p (z) = 2~1Z p i 'P22 . . . р ? 1, (3.49)
где p t = р (а,).
Для произвольной ФАЛ, реа лизуемой логическим преобразо вателем (рис. 58), каждый /-й на бор из <Дхх, a 2,. . .,а ; >может повториться под знаком суммиро вания (3.49) kj раз, причем
;7с,- ===2', 7 =
= 0, 1, 2, . . . . 2 * - l . (3.50)
Рассмотрим конкретный случай, когда I = 4. Используя фор мулу (3.49) и условие (3.50), получим [72]
Р (z) = 2-4 (91?2?з9А> + ffifc&PA + ?1?2Рз?А + VPhPaPih +
+ <hPi4ifhK + qiPtfapJct + q^ P sQ ih + <hPiPzPiki +
+ А?2?з? А + Ру(ЬЯяРАч + Р-АРзЯih o 'г PPJiPaPiKi +
+ ЛР2?з?Аа +PiPi93P ^ 13-fPi/W /A i 'rPiPzPsPJhb),
где qi = 1 — p t.
Произведем попарное суммирование членов этого выражения,
тогда |
|
|
Р (■z) = 2' 4 {?1929з \К (1 —Р*) + M il + (Р (РР3[*а (1 ~ P i) |
гМ 'з] + |
|
+ |
[*4 (1 —Pt) + Pih\ + QiPiPs [k6(1 —Pd + М Д + |
|
+ Pi929a A (1 — P<) + P A 1 + P i72Ps [*io (1 ~ P i ) + P A i l + |
||
+ P iP 2?s [* j 2 (1 — Pi) + Р А з 1 + P 1P 2P 3 [* u (1 — P J + |
p A 5]}- |
|
124
Повторив аналогичную операцию, получим
Р (z) = 2' 4{qxq2 [р3р 4 (к0 — кх — к2-\- к3) + р 3 (к2 — к0) + р 4 (кх — к0) +
+ ^о1 ~Ь 4хРг [РзРх(Л4— /с5—ке-(- /с7) + Рз (Л8— к4) 4- р4(кь —к4) + Л4] +
+Рх?2IPsPi (^8—Л9 |
Л10+ Л44) г Рз (Лю — Л8) + р4(Л9—Р8) 4 Л8] + |
+ Р1Р2 [РзРх (кХ2— к13 |
к14 -j- к 1Ь) + Рз (А14— Ли) 4~ Рх (Л*з —Л12) + Л12]}. |
Суммируем еще раз
Р (z) = 2~4{<74[р3р4(К — к4—к2 -\- к3) р 2р 4 (к0—кх—к4+ къ) -f-
+ Р2Р3(Л0~Л2—к4+ к6) + р2р3р 4(*!—* 0 + к2—к3+ к4—кь- ке + Л,) + |
|||
+ Рз (Л4 |
Л0) -|-рз (к2—/с0) + р4(/с4—40) -f- Л0] + |
||
+ Рх \PzPi (Л8 |
&9—Л10+ /£44) + р 2р 4 (ks— кд—к12 |
+ к13) + |
|
+ РгРз (Л8—Л10 |
к12 |
+ к14) + Р2Р3Р4(*з + Л9+ Л10— Л44 |
+ Л12—Л43— |
Л14+ Л15) + р2 |
(Р12—Л8) + Рз (Лю — Л8) + /J4(Л9— Л8) + Л8]}. |
||
Произведя |
суммирование последний раз и группируя члены, |
||
окончательно |
получим |
|
|
Р (z) = 2-4 [р4 (к8— к0) + р 2 (к4—к0) + р 3(к2 —к0) + р 4 (кх—к0) + |
|||
+ Р1Р2(Л0+ Л12—к4 к8) + Р1Р3 (ко + к10—к2—к8) + + РхР4(Л0+ Л9— к4—к8) ~\-р2р 3(Л0+ Л6— к2— Р4) +
+ PiPi (Л0+ Л5— кх—Л4) + р 3р4 (к0 + к3 — кх~ к 2) + + РхРгРз (Л24~Л4-(- к84- к14—к0— кв—к10—к12) + +■ Р1Р2Р4(Лх + Л4 4- Л8 4~кхз — к0— кд—кь— к12) + + PiPsPi (Лх + Л2 + к44- Л7 — к0—к3—къ —кв) 4-
-f PiPsPi (Лх + Л2 4- л8 |
4- ЛХ1 ~ к 0 —к3 — |
кд —к10) |
+ р хр 2р ар 4(Л0 4- Л3 4- |
|
4- Л6 4- Лв 4- Л9 4- к |
104~кХ24- Л16 —к4 |
—к2 |
—к |
4—Л7 — к3—кхх— |
|
— Л13 к14) 4-Л0]. |
|
(3.51) |
|
Эта функция может быть записана более компактно, если поло жить
Рх = Рз = Рз = Рх = Р, к3 = кй — кв==кд — к10 = кХ2= г 2,
Тогда |
|
|
Р (z) = 2“4 [4 (х*1—г0) р — 6 (2гх— г0—г2) |
р2 + 4 (Зг7 —г0— Зг2 4- г3) р3— |
|
— ( 4 / - 1 — г 0 — 6 г 2 4 - 4г3 |
— /-4) р 4 + г0]. |
(3.53) |
125