Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
Замечая, что коэффициенты при р я г иредставляют собой значения биномиальных коэффициентов, приведем уравнение (3.53) к виду
Р(г) = 2~4 [С\ (|С\гх—г0)р — С\ (С\гг — С\г2—г0) р 2 +
+С\ (С\гх — С\г2+ С%г3 —г0) р 3— С\ 0С\гх —С\г2 +
+С\г3 —С\г4—г0) р4 + г0].
По индукции для произвольного I
P(Z) = 2-J { i < : r [ l - ( l - O n - ^ ] ( - l ) n+1Pn+ ^ } • (3.54)
Отметим, что показатель величины г, получаемый при вычис лении бинома (1 — г)п в формуле (3.54), следует понимать как индекс при г.
Обратим теперь внимание на аналогию в вычислении суммы
по формуле (3.54) и суммы степенного ряда |
|
ф (X) = с0-f- с4Х + с2Х 2-f- . . . -\-спХп+ . . . -\-CiX1, |
(3.55) |
что указывает на принципиальную возможность использования вероятностного преобразователя в качестве функционального преобразователя входящей последовательности (ФПВВ).
Для этого необходимо потребовать совместное выполнение системы равенств
со — Г01
сп = 4 - = |
С?[ 1 - (1 - г)"- r0] (—l)n+1 (/г = 1, 2, . . ., I), |
|
|
|
ьп |
|
|
|
|
где с'п — числитель, |
а с"п — знаменатель сп — re-го члена |
степен |
||
ного ряда (3.55). При этом функция ф (X) моделируется с |
мас |
|||
штабом 2“ |
|
|
|
|
Однако |
условия |
(3.56) не являются достаточными, |
так |
как |
они в принципе допускают получение нецелых значений коэф фициентов r 0, rlt. . ., rt.
Рассмотрим примеры. Пусть ф (X) = 1 — е~х . Для] вычисле ний используем первых четыре члена разложения функции в ряд Маклорена
1 |
е |
~ |
1 ! |
2 ! |
‘ |
3 1 |
4 ! * |
Система уравнений |
(3.56) |
в |
данном |
случае |
имеет вид |
||
го = со> |
|
|
|
|
|
|
|
4 (О — г 0) = |
C i, |
|
|
|
|
||
—6 (2/*i |
г0 |
|
г2) = |
с2, |
|
(3.57) |
|
4 (Зт-Х — г 0 — З г 2 + г 3) = с3,
— (4гх —г0 —6г2 + 4г„—г4) = с4.
126
По условию левые части уравнений должны быть целыми числами, а потому необходимо преобразовать систему (3.57):
r0 = Rc0,
4(*1 —Го)=ДС1,
—6{2r1 —r0 —r J = jRc2,
|
4 (3rt —r0 —3r2+ r3) = Rc3, |
|
|
|
|
|
||||
|
— (i r i —r0~ |
6r2+ 4r3 —r4) = Дс4, |
|
|
|
|||||
где i? — наименьшее общее кратное числовых |
коэффициентов сп |
|||||||||
и С? (п = 1, 2,. . ., Z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При решении системы получаем: |
|
|
|
|
|
|||||
|
г0 — 7?с0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ri = |
|-(4с0 + |
с1)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 = |
R |
|
Зс4 + с2)I |
|
|
|
(3.58) |
||
|
-g- (6с0 + |
|
|
|
||||||
|
г3 = |
— (4с0 -|-3сг + 2с2 + с3), |
|
|
|
|
|
|||
|
r i — R ( С0 + С1 + С2 + С3 + С4 )- |
|
|
|
|
|
||||
В нашем случае 7? = |
24, после чего, подставляя в |
уравнения |
||||||||
системы |
(3.58) значения |
коэффициентов: с0 |
= |
0, |
|
Л |
с%= |
|||
= |
||||||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
определяем |
г0 = |
|
0, гг — 6, |
||
= — 2~р * Сз==“зТ ’ |
с4 —— 41— |
|
||||||||
г2 = 10, |
гз = 13, г4 |
~ 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, четырехвходовой вероятностный преобразо |
||||||||||
ватель реализует на |
выходе зависимость вида |
и (1 — е”г ), |
где |
|||||||
х = 1,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что система (3.58) |
может быть |
записана |
|
более |
ком |
|||||
пактно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г0 = 7?с0, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
rn = - £ n '2 iC tk , |
П = 1,2, |
3 , 4 |
|
|
|
||||
|
|
1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
или для |
произвольного |
I: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0= RCqi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
(3.59) |
|
|
rn = - § fC ^ c i~ici, |
п = 1, 2, . . |
I. |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
127
Т а б л и ц а 12
Р а сч етн ы е дан н ы е д л я п остр оен и я ч еты р ех ти п ов Ф П В В
Функ |
1 |
г 0 |
ГI |
Гг |
Гг |
Г4 |
|
Го |
Гг |
S |
УС |
ция |
|
||||||||||
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
|
3 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
|
4 |
0 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
0 |
0,75 |
s in X |
5 |
0 |
6 |
12 |
17 |
20 |
|
|
|
1 |
0,75 |
|
6 |
0 |
24 |
48 |
70 |
88 |
101 |
|
|
2 |
0,9375 |
|
7 |
0 |
120 |
240 |
354 |
456 |
541 |
606 |
|
4 |
0,703 |
|
8 |
0 |
720 |
1440 |
2136 |
2784 |
3362 |
3852 |
4241 |
6 |
0,615 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,25 |
|
3 |
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
0,25 |
|
4 |
6 |
8 |
11 |
16 |
|
|
|
|
2 |
0,1875 |
е * |
5 |
24 |
30 |
38 |
49 |
65 |
|
|
|
3 |
0,1875 |
|
6 |
120 |
144 |
174 |
212 |
261 |
326 |
|
|
4 |
0,2343 |
|
7 |
720 |
840 |
984 |
1158 |
1370 |
1631 |
1957 |
|
5 |
0,3515 |
|
8 |
5040 |
5760 |
6600 |
7584 |
8742 |
10112 |
11743 |
13700 |
7 |
0,3076 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,25 |
|
3 |
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
1 |
0,25 |
|
4 |
3 |
4 |
6 |
12 |
|
|
|
|
1 |
0,1875 |
( I - * ) ' 1 |
5 |
12 |
15 |
20 |
30 |
60 |
|
|
|
2 |
0,1875 |
|
6 |
10 |
12 |
15 |
20 |
30 |
60 |
|
|
1 |
0,1562 |
|
7 |
60 |
70 |
84 |
105 |
140 |
210 |
420 |
|
3 |
0,1171 |
|
8 |
105 |
120 |
140 |
168 |
210 |
280 |
420 |
840 |
3 |
0,1025 |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
|
3 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
1 - е - * |
4 |
0 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
0 |
0,75 |
5 |
0 |
6 |
10 |
13 |
15 |
|
|
|
0 |
1,5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
6 |
0 |
24 |
42 |
56 |
67 |
76 |
|
|
2 |
0,9375 |
|
7 |
0 |
120 |
216 |
294 |
358 |
411 |
455 |
|
3 |
1,38 |
128
Теперь потребуем повышения точности вычисления, для чего
используем |
первые пять членов |
разложения |
функции |
1 — е~А. |
||||||||||||||
Тогда |
с0 = |
0, |
|
с1 = |
1 |
|
|
1 |
„ |
|
1 |
|
|
„ |
‘ |
1 |
||
|
1! |
|
|
2 ! |
|
|
3! |
|
|
Сл— - |
4 ! |
|||||||
|
1 |
и, |
следовательно, |
R |
|
120. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя эти величины в уравнения (3.59) при I— 5, полу |
||||||||||||||||||
чим г 0 = |
0, |
rj = 24, г2 = 42, |
г3 = |
56, |
г4 = |
67, |
г5 |
= |
76. |
Четыре |
||||||||
последних коэффициента пре |
|
|
а , |
а2 |
0} |
"«j |
|
|
|
|
||||||||
вышают |
по величине |
предел |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в 25, |
установленный |
соотно |
Такты |
|
|
Л П |
|
|
|
|
P(Z) |
|||||||
шением (3.50), что противо |
|
Л |
* |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
речит условию существования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
требуемой ДСНФ логической |
|
|
г , |
Г 2 |
Л; |
|
*5 |
|
|
|
|
|||||||
функции ЛП . |
|
|
|
|
Рис. |
59- |
ФПВВ, |
воспроизводящий за- |
||||||||||
Проблема может быть ре |
|
|
|
|
|
р |
, . |
= |
120 .. |
Х\ |
||||||||
шена за счет введения допол |
|
впснмость вида |
|
12о(1 — е |
) |
|||||||||||||
нительных |
s входов в систе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ме входов {х г, |
х 2, . . ., xt} |
(рис. 58), |
что позволит изменить усло |
|||||||||||||||
вие (3.50) на |
иное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
о |
:k i |
рг+s |
|
J- |
0, |
1, 2, . . ., 2f — 1. |
|
|
(3.60) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Соответственно |
изменится |
вид |
зависимости (3.54) |
|
|
|
|
|||||||||||
Р (Л = |
2'-d+s) |
1^1 |
СГ[1 - ( 1 - г ) " - r0] ( - l ) ”+1pn+ |
r0 |
, |
s |
=0, |
1 , 2 , . . . , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.61) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая теперь предстает в окончательной форме. Количество дополнительных входов s определится из условия (3.60).
Взаключение отметим, что при аппроксимации функции 1 —
—е~х пятью членами степенного ряда, для ее реализации необ
ходимо использовать структуру, представленную на рис. 59,
120
п р и ч е м т е п е р ь к = - j - ^ - .
В табл. 12 приведены параметры ФПВВ, воспроизводящих некоторые нелинейные зависимости, рассчитанные с учетом использования первых I членов разложения функций в степенной ряд в соответствии с уравнением (3.55).
18. Вопросы синтеза схем ФПВВ
Перейдем к вопросу структурного синтеза функциональных преобразователей вероятность — вероятность, основанных на по линомиальных приближениях исходных функций. В рамках дан ной работы эту задачу отождествим с нахождением ДСНФ ФАЛ, реализуемой логическим преобразователем ЛП (рис. 58).
9 В. В. Яковлев |
129 |