Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf

Деление стохастических переменных с помощью следящего интегратора особенно удобно в том случае, когда оно выпол­ няется на заключительной стадии вычислений и его результат является окончательным. При этом цифровая форма представле­ ния результата облегчает его вывод из машины. Если же такой необходимости нет, можно отказаться от датчика случайных чисел и исключить из схемы компаратор. Упрощение схемы основано на том, что для выполнения алгоритма деления после каждой операции достаточно знать лишь знак промежуточной разности и не определять ее величину. Поэтому нет необходимости охваты­ вать обратной связью все разряды счетчика. Достаточно учиты­

функция

п — содержимое счетчика. Рассмотрим изменение состояния счетчика в двух последова­

тельных тактах t — 1 и г для случаев, когда в такте t в счетчике оказывается записанным число п 1, предполагая, что на входы схемы поступают некоррелированные и стационарные случайные последовательности, представляющие стохастические переменные М (х) и М (у). Это имеет место в следующих четырех случаях:

Переходя к вероятностям, получаем

Вустановившемся режиме

Р(п, t) = P(n, t — l) = P(n).

Тогда

Р (n) — q (z) P (У) P (n + 1 ) + [p (x) p{y)-{-q {x) q(y)]P {n) -f

+ p { x )q {y ) P { n — 1).

1 6 2

Предполагая емкость счетчика неограниченной, просуммируем правую и левую части последнего равенства по всем состояниям от п до оо;

Произведем в необходимых местах замену индексов суммиро­ вания:

00 со со

После приведения подобных членов остается

О = - q ( x ) p ( y ) P (в) + р (я) q (у) Р (п — 1).

Таким образом, для всех п ^ 1 справедливо следующее рекур­ рентное соотношение:

Вернемся к анализу состояний счетчика в двух последователь­ ных тактах для п (t) — 0. В этом случае возможные ситуации определяются следующими условиями:

5) n (t — 1) = - 1 ; я = 1; y = l

Тогда

Р (0) = q (х) р (у) Р (1) + \р (я) р (у) + q (я) q (у)} Р (0) +

+ [р (*) q (у) + р Ф) р (у)] р ( — !)•

Но р(у) + 9(у) = 1, а Р ( 1) = т Ш ы _ р ( 0)-

ина величину Ап = р (х), если п (t — 1) = —1. Усредним Ап по всем значениям п

М (Ап)*=р(х)Р (—\) + \p(x)q(y)—q(x)p(y)\ [1 —Р (—1)].

В установившемся режиме

М (An) —М [п (t)\ —M [п (г — 1)] = 0.

Поэтому

Подставляя последнюю формулу в (4.15) или (4.16), находим

Поскольку наборов входных переменных, приводящих] к п < —1, не существует, то в соответствии с (4.13)

М (г) = р (г) = Р (В & 0) = 1 - Р ( - 1 ) ~ ^ « - £ | г Г .

Таким образом, рассматриваемая схема в установившемся режиме выполняет операцию деления стохастических перемен­ ных, однако для обеспечения такого режима необходимо, чтобы математическое ожидание п было конечным.

По определению

СО

М (п) = ] £ п Р (п) = 2 пР (п)— Р ( — 1) =

(«)п=0

1.64

Слагаемые оставшейся суммы образуют геометрическую прогрес­ сию со знаменателем и первым членом, равным а, а сама сумма

,p W ; (у)

ч (х) р (у ) *

Следовательно, для конечности суммы необходимо выполнить условие

р ( « ) я (у )

ч (х) р (у ) ^

или

М (х) с М (у).

Стохастическая переменная М (z) = М (х)](М (у) не может принимать значений, превышающих единицу, и, следовательно, выполнение полученного условия обеспечивается соответствую­ щим масштабированием входных переменных. Тогда, используя

165

формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрес­ сии, получаем

Как видно из этой формулы, значение М (п) стремится к беско­ нечности при р (х) -*■ р (у) и при р (z) — р (x)Jp (у) = const тем больше, чем меньше р (у).

t

Рис. 76. Граф переходов схемы, изображенной на рис. 75

Практически важно знать вероятность переполнения счет­

Как можно видеть, эта вероятность быстро убывает с увеличе­ нием I даже при значениях р (z), близких к единице, и может быть уменьшена до пренебрежимо малой величины увеличением разрядности счетчика и масштабированием переменных.

Вторым важным фактором, определяющим точность стохасти­ ческих вычислений, является автокорреляционная функция вы­ ходной последовательности. Вывод аналитического выражения этой функции связан со значительными трудностями. Однако, если под рукой имеется даже не очень современная ЦВМ, неслож­ но получить численное решение задачи, используя жесткую вероятностную модель, представленную в виде графа на рис. 76.

166