Файл: Тверской, В. И. Дисперсионно-временные методы измерений спектров радиосигналов.pdf

Сделанное допущение о том, что дисперсия линии по­ стоянна, точно на практике не реализуется. Однако при определении принципиальных особенностей методов из­ мерений оно является вполне правомерным. В дальней­ ших рассуждениях будем полагать, что указанным свой­ ством обладает некоторая гипотетическая идеальная ДЛЗ. Для такой линии

Здесь он — минимальная частота рабочей полосы пропу­ скания линии, .в которой фазовая характеристика опреде­ ляется (1.1.4); 2а — величина дисперсии линии, a fli—• величина задержки на этой частоте. За coi может быть принята любая из частот в участке линии, где дисперсия постоянна.

Экстраполируем условия (1.1.4) и (1.1.5) для идеаль­ ной дисперсионной линии задержки на всю частотную ось. Подставив (1.1.2), (1.1.4) и (1.1.5) в (1.1.1) и изме­ нив порядок интегрирования, получим

Внутренний интеграл в (1.1.6) можно преобразовать сле­ дующим образом:

Z(t — X) = ехр £]Ч (/ — Я) -|— ~~ (t — a, — Я)2] X

—Ы,

где ы, = wi y ra -f-(t — ах— Я)/2|/а (здесь для определен­

ности принимаем а > 0 ).

Так как время прихода сигнала на выход линии не может быть меньше ее начальной задержки ai, то вели­

чина Mi^coi У а. Как будет ясно из дальнейшего изложе­ ния, имеет смысл рассматривать лишь случай « 1^>1. Тогда, учитывая, что функция f(X) отлична от нуля толь-

10

ко в интервале времени [0, d\, из (1.1.6) и (1.1.7) с точ­ ностью до l/2«i находим

®(t) =coi/+ (t—ai)2/4a.

Рассмотрим полученный результат. Если выполнено

^(O*Re{/Co/'(Q)exp[j0(O]/yr& (1.1.П)

Аргументом спектральной функции F { Q), играющим роль текущей частоты, является величина й, линейно связанная со временем. Таким образом, за счет прохож­ дения сигнала через ДЛЗ осуществляется его «спек­ тральное разложение во времени». Параметры спектра отображаются временными характеристиками отклика на выходе линии. В частности, зависимость от времени оги­ бающей выходного отклика

определяет зависимость модуля спектра входного сигна­ ла от частоты. Связь между осью времени и осью частот, определяющая частотный масштаб изображения спектра, описывается формулой (1.1.9) и зависит от величины дисперсии и начальной задержки линии.

Рассмотрим фазу сигнала (1.1.11). Если фазовый спектр сигнала ЧДЙ) равен нулю, мгновенная частота выходного отклика равна Й, т. е. совпадает с текущей частотой в соответствующем участке спектра.

Выясним смысл условия (1.1.10). Для спектров ра­ диоимпульсов можно ввести некоторый характеристиче­ ский идтерэад частот Ащ=2л[(1, в пределах которого мо-

11

дуль спектральной функции F (со) является либо моно­ тонной функцией частоты, либо имеет не более одного (максимум два) экстремума. Вводя Дсой в неравенство (1.1.10), получаем d/2\a>k\а \ <С 1/я. Время групповой за­ держки в линии на частоте со равно (co)]/g?co. Отсюда с учетом (1.1.4) следует, что произведение 2 а\А®к опре­ деляет изменение времени задержки в интервале частот Асйй. Условие (1.1.10) можно интерпретировать как тре­ бование малости длительности импульса по сравнению с указанной величиной изменения времени задержки.

Ширину эффективной полосы спектра выразим через величину характеристического интервала Аа=ГкА(»к- Коэффициент г/г зависит от характера радиоимпульса.

Для радиоимпульсов прямоугольной формы с посто­ янной несущей частотой величину rh можно положить равной, например, 4 или 6.

При количественных оценках погрешность измерения спектра за счет конечной длительности отклика целесо­ образно выразить через функции, связанные со спектром сигнала.

Разложим множитель exp(jA,2/'4a) в ряд exp(jX2/4a) = ^ 1+jA,2/4 a + (1/2) (jAa/4a)2+ . . .. Подставив его в (1.1.8),

проведем почленное интегрирование (это можно сделать, так как ряд, полученный в подынтегральном выражении, равномерно сходится) и, воспользовавшись очевидным соотношением

Выражение (1.1.14) связывает погрешность измере­ ния с формой спектра, что позволяет оценить точность анализа конкретных сигналов и правильно выбрать пара-

12

метры ДЛЗ. Очевидно, чем больше а, г. е. электрическая длина линии, тем выше точность анализа.

Оценить слагаемые ряда (1.1.14) можно с помощью следующих очевидных неравенств:

d/2

Я">(Ш )< J \ X * f ( l) \ d X < ( ± d ) nS„, (1.1.15)

—d/2

d! 2

где 5И= J | f(X) ] dX—площадь импульса.

—d/2

Используя их, построим для (1.1.14) мажорантный ряд

S W s y " ' * 5 '-

k = \

Он сходится в функции

определяющей верхнюю границу погрешности измере­ ния. Иногда оценку целесообразно проводить несколько иным способом. Очевидно,

<rf/2

\F M (w)\< \f(X )\max J \l-\dX = \f(l)\max 4 7 ; i f

—d/2

(1.1.17)

и для (1.1.14) может быть построен мажорантный ряд вида

00

*= 1

При выполнении условия (1.1.10) ряд (1.1.14) сходит­ ся быстро и точность анализа зависит, главным образом, от соотношения между модулем спектральной функции сигнала и ее второй производной. Чем больше отношение i (со) | /Я (со), тем больше относительная погрешность измерений для данного со.

В дальнейшем мы будем оперировать относительной погрешностью, которую определим как отношение абсо­ лютной ошибки в точке со к максимальному значению модуля спектральной функции.

13

1.2.Анализ спектров при помощи линии задержки

снепостоянной дисперсией

Для измерения спектров радиоимпульсов можно так­ же применить и линии задержки с непостоянной диспер­ сией, у которых групповое время задержки зависит от частоты строго монотонно (т. е. дисперсия в рабочей по­ лосе частот не обращается в нуль). При прохождении радиоимпульса через такую линию, во-первых, наруша­ ется линейность зависимости между частотой в спектре входного сигнала и временем в выходном отклике, вовторых, энергия сигнала, заключенная в одинаковых частотных интервалах спектра, распределяется на неоди­ наковые отрезки времени в выходном отклике, за счет чего нарушается соответствие между огибающей отклика и модулем спектральной функции радиоимпульса. Мо­ нотонность зависимости задержки от частоты обеспечи­ вает однозначность соответствия точек огибающей вы­ ходного отклика частотам в спектре сигнала. Поэтому, используя результаты работы [8], зная свойства линии, можно при достаточно большой ее длине по форме от­ клика оценить спектр сигнала.

Отклик на выходе ДЛЗ можно рассчитать по общей формуле (1.1.1). Если величина изменения задержки линии в полосе спектра много больше длительности радиоимпульса, то при плавном изменении функции К (ю) с частотой для вычисления интеграла (1.1.1) следует использовать метод стационарной фазы. За медленно меняющийся сомножитель примем функцию F(a>)K{со). Длительность сигнала, определяемого преобразованием Фурье функции Р(оз)К (а), должна быть значительно меньше длительности сигнала, определяемого преобразо­ ванием Фурье функции expfj (3 (со)] {16]. Это условие вы­ полняется, так как первый сигнал представляет собой отклик цепи с коэффициентом передачи К (со) на анали­ зируемый импульс, а длительность этого сигнала при плавном характере К (со) лишь на немного превышает длительность импульса. Второй сигнал может быть опре­ делен как отклик линии на дельта-импульс, а его дли­ тельность не меньше величины изменения задержки в ее рабочей полосе частот.

И