Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Вопросы теории математической статистики специально не обсуждаются, а используются лишь ее выводы, необходимые при практическом ее применении. Для более глубокого усвоения математической стороны рассматриваемых вопросов следует обра­ титься к обширной специальной литературе. В книге изложены лишь наиболее часто применяющиеся, в гидрологии статистиче­ ские методы и методы, которые (по мнению авторов) особенно це­ лесообразно использовать в гидрологических расчетах и про­ гнозах.

§ 2

краткий очерк развития статистического анализа гидрологических данных

Применение приемов статистической обработки материалов гидрологических наблюдений было связано с выполнением перво­ начальных обобщений, т. е. исторически относится к начальным этапам развития гидрологии. При этом для характеристики гидро­ логических величин привлекались лишь наиболее элементарные параметры статистического ряда: среднее значение, среднее квадра­ тическое отклонение и различные квантили. В этот период, видимо, наиболее полным статистическим описанием ряда являлись эмпи­ рические кривые продолжительности (обеспеченности) стояния уровней (расходов воды) в году. Использовался также в сравни­ тельно небольшом объеме корреляционный анализ.

Начало более широкого использования аппарата теории вероят­ ностей и математической статистики связано с появлением работ А. Хазена [152— 153], впервые применившего теорию вероятности для изучения статистических закономерностей многолетних колеба­ ний речного стока.

А. Хазен для описания статистического распределения ряда речного стока принял кривую Гаусса, которая, как известно, явля­ ется симметричной, простирается в зоне от — оо до оо и характери­ зуется двумя параметрами: средним значением варьирующей вели­ чины и ее средним квадратическим отклонением (или коэффициен­ том вариации). Для определения эмпирической обеспеченности Хазен использовал формулу

где п — число членов ряда; т — порядковый номер данного члена

в ряду, в котором все величины расположены в убывающем (или возрастающем) порядке.

Работы Хазена положили начало построению так называемых клетчаток вероятностей, позволяющих спрямлять кривые обеспе­

9

ченности и тем самым облегчающих их экстраполяцию. А. Хазен построил клетчатку, на которой полностью спрямляется нормаль­ ная кривая распределения (кривая Гаусса).

Следующим важным этапом в применении статистических прие­ мов в гидрологии явились работы А. Фостера [149— 151] и Д. Л. Со­ коловского [131— 132].

А. Фостер установил, что ряды стока обычно не являются сим­ метричными, и поэтому рекомендовал применять для построения

шей мере, чем нормальное распределение, соответствует сущности рассматриваемого явления.

Для возможности широкого практического использования кри­ вой Пирсона III типа Фостер составил таблицу значений этой функции, позволяющую по основным определяющим ее парамет­ рам (среднему значению, коэффициенту вариации и коэффициенту асимметрии) построить всю кривую. Таблица Фостера была не­ сколько уточнена С. И. Рыбкиным [117] и в его редакции получила повсеместное применение при гидрологических расчетах в СССР. В последующем эта таблица была расширена в ГГИ для более высоких значений коэффициента асимметрии (до Cs= 5,2).

Широкое использование гидрологами аппарата теории вероят­ ности и математической статистики в СССР началось с появления работы Д. Л. Соколовского [132], в которой он изложил схему рас­ чета, принятую Фостером с использованием кривой Пирсона III типа. Одновременно Соколовский внес существенно новый эле­ мент в построение Фостера, указав прием определения величины коэффициента вариации по эмпирической формуле для рек, по ко­ торым не имеется данных непосредственных гидрометрических из­ мерений. К моменту появления работы Соколовского уже имелись рекомендации Д. И. Дочерина по определению нормы стока не­

изученных рек.

Таким образом, возникла возможность построения кривой обес­ печенности стока даже для неизученных в гидрологическом отно­ шении рек. Для этого лишь необходимо было принять некоторое нормативное соотношение между величинами коэффициентов вариации (Cv) и асимметрии (Cs). Необходимость такого решения

определилась тем обстоятельством, что величина коэффициента асимметрии (С„) по имеющимся сравнительно коротким рядам стока определяется весьма неточно. Применительно к расчетам величин годового стока различной обеспеченности это соотношение рекомендовалось принимать равным двум (CS — 2CV), что соответ­

ствует нулевому значению нижнего предела рассматриваемой слу­

чайной величины.

В последующем Соколовский [131] распространил исследование применимости кривой Пирсона III типа для расчета максимальных расходов воды различной обеспеченности.

Уже в начале широкого применения кривой Пирсона III типа

10

было обращено внимание на желательность устранения свойствен­ ного ей недостатка, заключающегося в том, что она уходит

вотрицательную область при больших значениях обеспеченности

втом случае, когда коэффициент асимметрии статистического ряда меньше удвоенного значения коэффициента вариации (т. е. при CS<2CV). Отмеченное свойство рассматриваемой кривой приводит

к получению отрицательных значений стока (или иных существенно положительных величин, для описания статистического ряда кото­ рых привлекается кривая Пирсона III типа) при экстраполяции

нижней части кривой обеспеченности за пределы наблюденных данных.

Первую попытку в этом направлении предпринял Г. Н. Бровкович [26—29]. Функцию распределения вероятностей величины, изменяющейся в пределах 0 < х < о о , он представил в форме разло­ жения в ряд по полиномам (многочленам) Лагерра. Первый член

моделью для последующего преобразования путем включения следующих членов разложения.

Предложение Бровковича применительно к использованию трех параметров (среднего значения, коэффициентов вариации и асим­ метрии) было рассмотрено М. А. Великановым [33], который осу­ ществил преобразование кривой Пирсона III типа в более общее выражение путем умножения ординат исходной кривой на так на­ зываемый пертурбационный множитель, имеющий вид многочлена Ao+ A iX+A2X2 + A3a:3H— Однако решение, полученное Великано­

вым, как показал Г. А. Алексеев, не полностью устранило отмечен­ ный недостаток кривой Пирсона III типа.

Путь, намеченный Бровковичем и Великановым, избрал Е. Д. Сафаров [119]. Исходя из общего выражения кривой распре­ деления вероятностей, возникающего при разложении произволь­ ной функции (изменяющейся в промежутке 0, оо) по полиному Лагерра, Сафаров пришел к уравнению кривой распределения вероятностей, тождественно полученному Великановым путем пре­ образования уравнения Пирсона III типа методом пертурбацион­ ного множителя. Применительно к этому уравнению Сафаров разработал стандартные таблицы для построения кривых обеспе­ ченностей при С„, изменяющемся в пределах 0,05— 1,0, и при раз­ личных отношениях Cs/Cv. Одновременно он предложил графоана­

литические приемы определения коэффициентов вариации (Cv) и асимметрии (Cs) применительно к исследуемому распределению вероятностей.

Поскольку указанные преобразования не устранили отмеченного выше основного недостатка кривой Пирсона III типа, а при со­ отношениях Cs 2Cv приводили к мало различающимся резуль­ татам расчета с кривой Пирсона III типа, они не получили широ­ кого применения.

Задача трансформации кривой Пирсона III типа с целью устра­ нения свойственного ей недостатка, заключающегося в простирании

11

ее другой величиной 2 по соотношению 2 = ахь, где а и b — пара­

метры, зависящие от величин коэффициентов вариации и асиммет­ рии эмпирического ряда исходной величины х.

Практическое применение кривой Крицкого—Менкеля, получив­ шей название трехпараметрического гамма-распределения ’, стало возможным после опубликования Д. В. Коренистовым [64] таблиц ординат этих кривых для различных значений коэффициентов вариации (С„) и отношений Cs/Cv. В эти таблицы включены зна­

чения коэффициента изменчивости С„ от 0,10 до 1,20. Е. Г. Блохинов и Н. В. Никольская [24] расширили таблицу до Сг,= 2,0.

Наряду с разработками, направленными на устранение отме­ ченного недостатка кривой Пирсона III типа, велись исследования с целью создания иных схем, описывающих статистические законо­ мерности, свойственные рядам стока. Так, известны попытки пред­ ставить функцию плотности вероятности f(x) величины х, изменя­

ющейся в пределах от —оо до оо, в более общей форме,"чем это описывается законом нормального12 распределения (кривой Гаусса). Такой путь решения был применен М. В. Мялковским [90], использовавшим для этого метод разложения функции f (х)

в ряд Грамм—Шарлье в форме полинома (многочлена) Эрмита. Первый член такого разложения совпадает с выражением нормаль­ ного закона распределения. Следовательно, этот метод, по суще­ ству, сводится к преобразованию (трансформации) исходного нор­ мального закона Гаусса в асимметричное распределение путем включения в рассмотрение членов ряда, зависящих от моментов более высокого порядка, чем моменты, определяющие исходную нормальную кривую.

Указанную операцию трансформации нормального закона с по­ мощью разложения функции распределения величины (х), изме­ няющейся в пределах —оо< х < оо , в ряд Грамм—Шарлье, можно рассматривать как переход от исходной функции распределения (Гаусса) к более общему (в частности, асимметричному) закону распределения путем умножения ординат исходной модели распре­ деления на некоторую функцию / (х), называемую пертурбацион­

шенно не обязательно, как это делают Крицкий и Менкель, связывать понятие кривой Пирсона III типа с условием CS=2C„. В частности, применительно к за­

«Много лет назад я назвал нормальной кривой кривую Лапласа—Гаусса. Эго

12