Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

ной. Эта функция обычно выражается в форме алгебраического

многочлена.

Аналогичным образом можно рассматривать и упомянутую выше операцию преобразования кривой Пирсона III типа с по­ мощью разложения в ряд по полиномам Лагерра.

Решение с использованием кривой распределения Шарлье Мялковский довел до стадии, пригодной для практических расче­ тов. Им были составлены таблицы, позволяющие определить ординаты кривой обеспеченности в зависимости от коэффициентов асимметрии и эксцесса — параметров этой кривой.

Несмотря на указанное, это предложение не получило распро­ странения в практике гидрологических расчетов, так как построе­ ние рассматриваемой кривой опирается на необходимость оценки величин коэффициентов асимметрии и эксцесса, определяемых по эмпирическим рядам с очень малой точностью.

Кроме того, предложенное Мялковским преобразование в неко­ торых случаях не исключает возможности получения отрицатель­ ных ординат при некоторых значениях аргумента. Как показал А. М. Басин [16], кривая Шарлье не обладает каким-либо преиму­ ществом и чисто практического свойства.

Помимо указанного, использование нормальной кривой для решения гидрологических задач связывалось с логарифмическим преобразованием или уравнения нормальной кривой, или исходных величин стока. Очевидно, что логарифмически-нормальное распре­ деление вероятностей может иметь только случайная величина, колеблющаяся в зоне положительных значений (например, расход воды в реке), поскольку отрицательные числа логарифмов не имеют. В первом случае в уравнении нормального закона произ­ водится замена исходной величины х на lgx. Полученное в резуль­ тате такой операции новое так называемое логарифмически-нор­ мальное (лог-нормальное) распределение оказывается асим­ метричным— начинающимся с нуля и не ограниченным сверху. Во втором случае, т. е. при использовании в качестве исходного ряда не х, a lgx, пределы колебания существенно положительной величины 0=^х<оо удается расширить до —o o < lg x < o o , сгладить асимметричность ряда и, следовательно, описать нормальным зако­ ном распределения.

Направление, связанное с логарифмическим преобразованием, опирается на математический анализ, выполненный датским математиком А. Фишером; применительно к расчетам речного стока оно использовано Слейдом [155]. Информация об этом содер­ жится в статье С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля [84].

Возможность использования логарифмически-нормальной кри­ вой для описания статистических закономерностей колебания дождевых паводков исследована американскими учеными Бердоном и Кумпероном.

В СССР вопрос о возможности применения нормальной кривой для оценки повторяемости дождевых паводков в случае преобразо­ вания величин исходного ряда в их логарифмы достаточно

13

подробно исследовал Е. Г. Блохинов [23]. В этой работе Блохинов выдвигает предложение о целесообразности использования так называемых усеченных логарифмически-нормальных кривых. Сле­ дует отметить, что в области гидрологических расчетов более раннее предложение о логарифмическом преобразовании варьиру­ ющей величины принадлежит С. И. Рыбкину [116], который исполь­ зовал его для построения схемы расчета максимальных расходов воды различной вероятности превышения.

Врезультате проведенного анализа Рыбкин пришел к выводу

овозможности описания статистических закономерностей логариф­

мов величин максимальных расходов воды с помощью кривой Пирсона II типа.

Одним из преимуществ этой рекомендации, по Рыбкину, явля­ ется то, что кривая Пирсона II типа ограничена верхним пределом при Р ->0. Однако это свойство указанной кривой, как и других схем с ограниченным верхним пределом, практически оказывается трудно реализуемым, так как установление верхнего предела варьирующей величины всегда связано с необходимостью выполне­ ния достаточно произвольных операций при экстраполяции кривой обеспеченности или при использовании метода композиции.

Помимо указанных схем распределения вероятностей, советские гидрологи рассматривали возможность использования для оценки случайных колебаний речного стока и некоторые другие построе­ ния. Так, Г. А. Алексеев [10] подверг детальному анализу кривую Гудрича. Он рассмотрел теоретико-вероятностную схему, отвечаю­ щую принятому Гудричем закону распределения, и разработал стандартные таблицы нормированных ординат, позволяющие строить кривую обеспеченности на основании оценки трех пара­ метров: среднего значения, коэффициентов вариации и асимметрии. Г. А. Алексеев показал, что кривая Гудрича, в отличие от кривой

келя кривая Гудрича не получила распространения в практике гид­ рологических расчетов для экстраполяции кривых обеспечен­ ностей.

В последнее время Г. Г. Сванидзе и Г. Л. Григолия [44, 124] исследовали возможность применения распределения Джонсона, которое ограничено сверху и снизу. Для оценки параметров дан­ ного распределения используются первые четыре момента. Верхний и нижний пределы данного распределения определяются по мини­ муму критерия согласия %2 при различных пределах распределе­

ния. При этом устанавливается влияние пределов на параметры

распределения (х, Cv, Cs) и коэффициент корреляции между смеж­

ными членами ряда.

Большое внимание в гидрологической литературе уделяется выяснению обоснованности использования различных статистиче­ ских схем (в частности, кривых Пирсона III типа и трехпарамет-

14

ричесхого гамма-распределения) для оценки гидрометеорологиче­ ских характеристик редкой повторяемости, т. е. в зонах экстрапо­ ляции кривых.

Сущность этих исследований заключается в том, что теоретиче­ скими построениями нельзя доказать соответствие законов распре­ деления рядов речного стока тем или иным статистическим схемам. Такое заключение с той или иной степенью достоверности можно получить лишь на основании анализа имеющихся статисти­ ческих рядов изучаемой величины.

Проверку соответствия теоретических кривых эмпирическим по материалам наблюдений в отдельных гидрометрических створах производил еще Соколовский [132] при изложении метода Фостера. Однако вследствие очень небольшой длительности периодов на­ блюдений в отдельных створах, особенно во время выполнения Соколовским указанной работы (или существенной ограниченности выборки в статистическом смысле), такое сопоставление не могло рассматриваться как достаточно надежное обоснование приме­ нимости теоретических схем кривых распределения случайных величин в гидрологии.

Поэтому в 1941 г. Г. Н. Бровкович и Г. Н. Великанов [30] пытались расширить возможности метода непосредственного сопо­ ставления аналитических и эмпирических кривых обеспеченности путем использования для построения эмпирической кривой обеспе­ ченности данных о расходах воды по нескольким створам, сведен­ ных в одну совокупность (метод годостанций). При этом в одну совокупность сводились ряды расходов воды, имеющие мало раз­ личающиеся величины коэффициентов вариации. В результате

а также предложенного ими трехпараметрического гамма-распре­ деления для оценки случайных колебаний речного стока. В резуль­ тате этого анализа, выполненного с использованием метода годо­ станций и некоторых статистических критериев однородности, было установлено, что кривая Крицкого и Менкеля является схемой, пригодной для описания статистических закономерностей колеба­ ний речного стока. В равной мере это относится и к кривой Пирсона III типа при CS^ 2 C V.

Г. П. Калинин [58] попытался разработать новую модель стати­ стического распределения случайных колебаний годового и макси­ мального стока. Выполненное им исследование завершилось со­ ставлением таблиц ординат обобщенных кривых обеспеченности средних годовых и максимальных расходов воды. Эти таблицы представляют собой некоторые частные случаи кривых Пирсона III типа в пределах сравнительно узкого диапазона величин коэффи­ циента асимметрии. Следовательно, результат этого Исследования

15

можно рассматривать лишь как еще одно подтверждение (на эм­ пирическом материале) возможности использования кривых Пир­ сона III типа для описания случайных колебаний годового и мак­ симального стока.

Крицкий и Менкель много внимания уделили вопросам стати­ стической оценки точности выборочного определения параметров кривых распределения [78, 79].

До появления работ Крицкого и Менкеля при определении слу­ чайных ошибок выборочных оценок статистических параметров рядов гидрологических величин использовались зависимости, выве­ денные для совокупностей, подчиняющихся нормальному закону распределения Гаусса. Крицкий и Менкель [78], опираясь на метод моментов и исходя из биномиального закона распределения при CS = 2CV, получили выражения случайных ошибок определения

среднего квадратического отклонения (стандарта), коэффициентов вариации и асимметрии, эксцесса и ординат кривой обеспечен­ ности.

В 1968 г. Крицкий и Менкель [79] опубликовали уточненные формулы стандартной ошибки выборочной оценки коэффициента вариации и ординат кривой обеспеченности Пирсона III типа, по­ лученные с учетом корреляции между выборочными оценками среднего и стандарта (среднего квадратического отклонения).

Дальнейшее развитие исследования в области оценки точности выборочной оценки параметров кривых распределения, как и ре­ шение ряда других вопросов, относящихся к области выяснения статистических закономерностей, свойственных рядам гидрометео­ рологических характеристик, связано с внедрением в практику гидрологических и водохозяйственных расчетов так называемого метода Монте-Карло (математического моделирования). Впервые в наиболее полной форме основы этого метода были изложены в работах Г. Г. Сванидзе [123].

Опираясь на метод Монте-Карло, Е. Г. Блохинов [18], используя возможности численного эксперимента на ЭВМ, получил выраже-

. ния для случайных ошибок с поправкой на смещенность выбороч­ ных оценок параметров кривых распределения при CS = 2CV.

А. Ш. Резниковский [37, 98] на основе метода математического моделирования (Монте-Карло) рассмотрел вопрос о влиянии кор­ реляционной зависимости между членами статистического ряда на величину случайных ошибок определения параметров статистиче­ ских рядов гидрологических характеристик.

В работах Г. Г. Сванидзе [120—129] и И. В. Хомериди [141]

способе двойной выборки: водности года и реально наблюденного гидрографа (фрагмента). При этом учитываются стохастические связи между стоком различных периодов.

В настоящее время предложено достаточно большое число спо­ собов статистического моделирования гидрологических рядов, из которых наибольший интерес представляет так называемая унифи-

16

цированная методика, основанная на нормальном законе распреде­ ления с последующим переходом к заданному распределению [125]. Этот путь статистического моделирования является наиболее пер­ спективным при групповом моделировании гидрологических рядов с заданной матрицей парных коэффициентов корреляции. При этом может также учитываться внутрирядная корреляция.

В 1941 г. Крицкий и Менкель [77] выдвинули предложение об использовании для оценок статистических параметров рядов гидро­ логических величин метода наибольшего правдоподобия, матема­ тические основы которого разработаны английским математиком Р. Фишером. Возможности использования метода наибольшего правдоподобия в гидрологических расчетах детально рассмотрены Е. Г. Блохиновым [22]. Полученные им решения доведены до воз­ можного практического использования применительно к схеме трехпараметрического гамма-распределения.

Заканчивая краткий обзор применения теоретических кривых распределения в практике гидрологических расчетов, заметим, что подобное статистическое описание гидрологических данных исходит из предположения отсутствия каких бы то ни было закономерно­ стей в последовательности изучаемых случайных величин.

Однако эта концепция является недостаточно строгой, по­ скольку еще в работах П. А. Ефимовича [54] было показано нали­ чие внутрирядной корреляционной связи в статистических совокуп­ ностях величин годового стока. Наличие автокорреляционной связи, в частности в рядах величин годового стока, не опровергает воз­ можность использования теоретических кривых распределения в гидрологии, но определяет необходимость учета этого обстоятель­ ства, особенно при рассмотрении следующих задач:

1)при изучении циклических колебаний речного стока, включая исследования группировок маловодных и многоводных лет;

2)при разработке методов прогнозирования характеристик

речного стока с большой заблаговременностью (год и более) на основе использования автокорреляционных функций и метода ли­ нейной множественной корреляции;

3) при изучении закономерностей пространственно-временных колебаний речного стока.

Особенно интенсивная разработка указанных направлений на­ чалась в последние два десятилетия и продолжается в настоящее время. Это связано с развитием теории случайных функций и глав­ ным образом с широким использованием электронных вычисли­ тельных машин.

Математическое описание многолетних колебаний речного стока опирается на следующие основные гипотезы, обсуждение которых нельзя считать законченным к настоящему времени.

1. Гипотеза полной независимости многолетних колебаний реч­ ного стока. Применительно к исследованию колебаний годового стока, и особенно группировок маловодных и многоводных лет, эта гипотеза, как правило, отвергается, а в отношении совокупностей Других гидрологических характеристик (

I ОС. г б " И Ч Н - ! Я

2 Зак. № 88

ЭКЗЕМПЛЯР