Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

случаев попадания расхода воды в каждую градацию. Очевидно, что сумма случаев по всем градациям равна общему числу лет на­ блюдений. Составленная таким образом таблица называется табли­ цей эмпирического распределения, или таблицей абсолютных ча­

стот. Выражая абсолютные частоты в процентах от общего числа случаев, получаем распределение относительных частот (строка 2 табл. 1.2), последовательно суммируя которые, получаем абсолют­ ные и относительные накопленные частоты (строки 3 и 4 табл. 1.2).

а м 3/с

пра у пгт Лоцманской Каменки наблюдаются в диапазоне 1500— 1700 м3/с; с уменьшением и увеличением расходов воды число случаев закономерно уменьшается, не считая отдельных отклоне­ ний от этого правила, которые могут быть отнесены к случайным колебаниям (флуктуация).

Данные табл. 1.2 можно представить в виде графика (рис. 1.1), на котором по оси ординат отложены принятые градации расходов воды, а по оси абсцисс в виде прямоугольников — относительные частоты. Здесь же в форме плавной кривой показано нарастание от­ носительных частот. Нарастающая сумма частот относится к боль­ шему значению каждого интервала.

Полученный график относительных частот называется гисто­ граммой, а график относительных накопленных частот — огивой, или кумулятивной кривой. Табличное и графическое изображение частот называется- эмпирическим распределением, в данном случае

годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки.

29

Площадь отдельного элемента гистограммы равна произведе­ нию размера градации на относительную частоту, а общая площадь гистограммы — сумме этих произведений.

Кумулятивная кривая представляет собой график, показываю­ щий повторяемость расходов воды выше заданного значения.

Допустим, нас интересует, как часто наблюдается среднегодо­ вой расход воды выше 1900 м3/с? При этом расходе снимаем с куму­ лятивной кривой значение повторяемости, равное 44,5%. Это зна­ чит, что величина расхода воды 1900 м3/с и больше наблюдается в 44,5% всех случаев. Если же нас будет интересовать вопрос, ка­ кова повторяемость непревышения данного расхода воды, то ответ на него будет: 100% — 44,5% =56,5%.

В гидрологии кривая относительных накопленных частот назы­ вается эмпирической кривой обеспеченности. И поэтому говорят,

что величина расхода воды, равного или больше 1900 м3/с, обеспе­ чена на 44,5%, а величина расхода воды 1900 м3/с и меньше — на

56,5%.

Разделив относительную (или абсолютную) частоту расхода воды на длину интервала, получим соответственно относительную (или абсолютную) плотность распределения (строки 5 и 6 табл. 1.2). Плотность распределения особенно целесообразно использовать, когда необходимо по тем или иным причинам принимать неравно­ мерные градации. Площадь, оконтуренная осью абсцисс и линией, характеризующей относительную плотность распределения, равна единице, если относительные частости определены в долях от еди­

поверхности сфагново-кустарничково-соснового болотного микро­ ландшафта был назначен профиль, по которому через 10 см опре­ делялось превышение поверхности болота над условным уровнем.

Результаты этих наблюдений (по данным П. К. Воробьева) по­ мещены в табл. 1.3, в которой также приведены рассчитанные эмпи­ рические кривые распределения.•

Относительные частоты, или, как их иногда называют, относи­ тельные частости, на рис. 1.2 отнесены к середине интервала, и по­ лученные точки соединены прямыми линиями. Подобное представ­ ление статистических данных называется полигоном (многоуголь­ ником) распределения (частот). Наиболее часто повторяются

превышения поверхности болота над уровнем грунтовых вод,'-соста­ вляющие 15—20 см. Кривая обеспеченности построена так же, как и в предыдущем примере.

Из приведенного на рис. 1.2 полигона частот следует, что по обе стороны от этого значения относительные частоты убывают.

Приведенные построения показывают, что уже основные элемен­ тарные обобщения позволяют представить исходные статистиче­ ские данные в более наглядной и компактной форме. Одновременно можно отметить, что рассмотренные формы обобщения статистиче­ ского материала, относящегося к существенно различным гидроло­

30

гическим характеристикам, позволяют обнаружить некоторые об­ щие статистические закономерности. Вместе с тем распределение годовых расходов воды и высот поверхности болот имеют свои ин­ дивидуальные особенности, которые могут быть описаны с помо-

н см

Рис. 1.2. Полигон распределения и кривая накопленных частот высот микроландшафта (Н) болота Ламмин-Суо.

щью использования некоторых дополнительных понятий, к рассмот­ рению которых и перейдем.

§ 3

понятие вероятности

Наиболее абстрактное и вместе с тем наиболее полное понятие вероятности дано А. Н. Колмогоровым; оно основано на пяти аксио­ мах, базирующихся на теории множеств. Не останавливаясь на ак­ сиоматике Колмогорова, так как при этом потребовалось бы допол­ нительно изложить некоторые понятия теории множеств, перейдем

краскрытию смысла понятия вероятности по схеме Колмогорова.

1.Предположим, что имеется совокупность условий S, которая

может повторяться бесконечное число раз. Под условием S будем, например, понимать факторы, формирующие наибольший в году расход воды, которые с течением времени протекают однородно, т. е. не обнаруживают направленных изменений во времени.

2.Под воздействием условий S формируется в нашем случае совокупность максимальных расходов воды (<3Ма к с ) за достаточно

длительный период времени.

31

Т а б л и ц а 1.3

Сгруппированные данные высот поверхности болотного микроландшафта

3. При соблюдении некоторых условий каждому расходу воды, который мог наблюдаться или не наблюдаться за время п лет, мо­ жно ассоциировать определенное вещественное число P(QMакс), на­ зываемое вероятностью появления рассматриваемой величины.

Число P(Qмакс) имеет следующие свойства:

1) при повторении условий S достаточно большое число раз от-

ГП ~

носительная частота — расхода Умакс в заданных интервалах бу­

дет незначительно отличаться от вероятности P(QMакс) - Здесь пг обозначает число случаев появления расхода QManc в п повторениях условий S;

2) если значение вероятности P(QMaKC) очень мало, то с очень небольшим риском можно утверждать, что при однократном осу­ ществлении условий S данное значение QMaKc не должно появиться.

Классическое определение вероятности о.сновано на принципе равных возможностей. При этом обычно приводятся ставшие уже тоже классическими примеры с подбрасыванием монеты (выпаде­ ние «орла» или «решки») и игральной кости (выпадение какой-либо стороны из шести возможных). В первом случае вероятность выпа­ дения «орла» или «решки» равна 1/г, а во втором случае вероят­

32