ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 203
Скачиваний: 0
226 |
Фредерик Ароновиц |
Для фурье-компонент поля рассеяния принимаем, что часть rt поля Ег рассеивается в направлении распростра нения другой волны с приращением фазы ег, т. е.
Е2(с»4 + |
?2) |
Еі Ы + <Рі). |
ri ß i (tüi^ + 9 1 + |
ei)^- |
- + r 2E2(w2t + <p2 + £г)- |
Тогда фурье-компоненты поля рассеяния могут быть запи саны в виде
E s n = ГJ71-^1n COS (Ѳ1п £1 n) 'T ^2n^2n COS (0 -n -j- S2n),
(47)
ESn |
^щЕщ sin (Öjn T" sin) "b t~2n^an sin (Ѳ2п s2n)‘ |
Подставляя выражения (45) — (47) в уравнение (44) и приравнивая коэффициенты при sin Ѳ1п. и cos6ln нулю, получим четыре уравнения, определяющие амплитуды и частоты встречных бегущих волн:
Е1п+ (ш/2Qn) Елп = |
(ш/4е0) (Cln- S ln) - |
|
|
|||
— (°sl2eo) Г2пЕ2п cos (<!»„ + е2ге), |
|
(48а) |
||||
Д2п+ |
(W2Qn) £ 2п = |
(ш/4е0) [(Sln — Cln) sin <]>п - |
||||
|
(’^ln'T^'ln) COS фп] |
(os/2Sq) Г}ПЕіп COS (<рп |
£in)’ |
|||
|
|
|
|
|
|
(486) |
(%П— Öln) Eln = |
(со/4г0) (Cln + Sln) + |
|
|
|||
+ |
( V 2eo) hnE2ns i n |
(<|>Л + e 2J , |
|
(4 8 b ) |
||
(^2k ^2n) E 2n — (to/4 s0) [(Cln |
S ln) cos |
|
|
|||
( V "b Сщ) sin фп] |
(°j/2sq) rlnEin sin (<]>„ |
em)? |
||||
где |
|
|
|
|
|
(48r) |
|
|
|
|
|
|
|
фп = |
б2п — Ѳщ = |
К |
— ® і) * + (?2 — |
<Рі) |
48д) ( |
|
—медленно меняющаяся функция времени.
В уравнениях (48) частоты Q „ резонатора без активной
среды заменяются частотами
Лазерные гироскопы |
227 |
Ö.n = 2B+ \ * К пс\
(49)
Qi» = а» - -j -
Уравнения (48) являются основными уравнениями, определяющими амплитуды и частоты волн, генерируемых в кольцевом лазере.
Расщепление частот противоположно направленных волн резонатора без активной среды определяется выражением (49) и согласуется с выражением (9). Дисперсионные эф фекты активной среды заключены в фурье-компонентах поляризации.
Расчет фурье-компонент поляризации является вторым этапом анализа уравнений. При рассмотрении поведения атомов активной среды во внешнем поле используется квантовомеханический подход и метод матрицы плотнос ти. Матрица плотности вычисляется путем разложения ее в ряд по взаимодействию поля со средой [48]. {ля ка чественного анализа дисперсионных эффектов достаточен учет членов третьего порядка. Учет членов пятой степени необходим для исследования устойчивости [74].
5. 3. Учет обратного рассеяния света
Анализируя уравнения (48), можно заметить, что в их правой части имеются члены, которые не зависят от усиления среды. Эти члены обусловлены обратным рассея нием и отображают свойства резонатора без активной сре ды. Подставляя уравнения (48в) и (48г) в уравнение (48д), взяв производную и пренебрегая поляризационными чле
нами, получим следующее уравнение для |
частоты биений: |
Ф= 2 + (V 2eo) fo (£2/£ i) sin (ф + |
ea) + |
+ П (EJE2)'sin (ф — ej], |
(50) |
где Q — расщепление частот резонатора вследствие вра щения. Уравнение (50) идентично уравнению (23) при на личии обратного рассеяния только в одном направлении
8*
228 Фредерик Ароновиц
и с учетом того, что проводимость среды, обусловленная обратным рассеянием, определяется выражением
as/2e0= c/L.
Таким образом, синхронизация частот получена более формальным способом, причем в первом приближении оказывается, что она не зависит от усиления среды. Без/- словно, усиление среды является необходимым условием генерации, а обратное рассеяние лишь приводит к тому, что часть энергии лазерного излучения не теряется, а рас сеивается назад в резонатор.
В приближениях более высоких порядков влияние
усиления среды |
проявляется |
двояко. |
Во-первых, |
для лазерных систем с низким |
усилением |
появляются |
|
члены, сильно зависящие от коэффициента усиления и содержащие отношение интенсивностей волн (см. разд. 6.2). Во-вторых, зависимость полосы синхронизации от усиления возникает вследствие изменения поляризации [3, 46, 77]. При выводе уравнений (48) предполагалось, что имеется ненулевое поле рассеянного назад излучения волны с противоположным направлением распространения, кото рое рассматривается как источник в уравнениях Максвелла. Однако вклад этого поля в поляризацию атомов не учиты вался. Если учесть это поле при вычислении поляризации, то возникнут дополнительные обусловленные обратным рассеянием члены, описывающие взаимодействие полей, причем эти члены оказываются пропорциональными уси
лению. |
малым коэффициентом |
усиления g « |
Для лазеров с |
||
« 0,01—0,1, таких, |
как Не—Ne-лазер с |
излучением на |
X = 0,633 мкм или 1,15 мкм, величина этих членов на одиндва порядка меньше, чем величина членов уравнения (50). Для систем с высоким усилением (например, Не—Ne-ла зер с излучением на X = 3,39 мкм) члены более высокого порядка, содержащие коэффициент усиления, имеют дос таточно большую величину, и приближенная модель, с помощью которой учитывается обратное рассеяние при выводе уравнения (48), уже не годится. Для грубой оценки порога синхронизации в лазерах с X = 3,39 мкм, по-ви димому, достаточно заменить коэффициент обратного рас сеяния г на rexp(g').
Лазерные гироскопы |
229 |
Следует отметить, что в некоторых работах при рассмот рении синхронизации [46, 47] пренебрегали вкладом низ ших порядков рассеяния в уравнение типа (48), что давало заниженную величину порога синхронизации.
5. 4. Теория в первом приближении. Порог генерации и затягивание мод
При использовании теории возмущений в первом при ближении [48] были вычислены фурье-компоненты поля ризации в следующих предположениях: активной средой служит газ и усиление среды мало. Линия излучения лазер ного перехода уширена вследствие движения атомов (доп плеровское уширение) и вследствие конечного времени жизни состояний. Рассматривались только такие столкно вения, которые приводят к резкому изменению фазы излу чающих атомов [76]. «Мягкие» столкновения, которые изме няют распределение атомов по скоростям и приводят к фазовым сдвигам, дающим асимметрию линии усиления и смещение энергетического уровня, не рассматривались
[31, 75, 76].
Самосогласованные уравнения (48) можно записать в следующем виде (пренебрегая для простоты членами, обус ловленными обратным рассеянием):
(2L/C) Éj/Ej = 'J.J, |
(51) |
||
wj “I"" ¥j = |
/ |
— 1» 2, |
(52) |
где |
|
|
|
о,- = GZt tlßlz, (0) - |
Ту, |
(53) |
|
oj = (cl2L)GZr(tj)lZt (0). |
(54) |
||
Как и для линейного лазера, теория в первом прибли жении позволяет получить пороговое условие генерации. Из уравнения (51) следует, что пороговые условия генера ции для каждой волны независимы. Из уравнения (53) видно, что величина ау равна разности коэффициента усиления и коэффициента потерь для каждой волны. Z{ и Zr — мнимая и действительная компоненты дисперсион ной функции плазмы [32]:
230 |
Фредерик Ароновиц |
|
Z (Е) = |
2i J exp (— X2 — 2tjx + 2t'Ex) dx, |
(55) |
|
о |
|
где lj = (coy — cod)IKu характеризует степень отклонения частоты генерации от центральной частоты wd линии из лучения и -г\=уаЬ/Ки — отношение величины однород ного уширения (сумма естественного уширения и уширения за счет столкновений) к допплеровскому уширению.
Для случая 7j < 1 разложение уравнения |
(55) |
в ряд по |
||
7j дает |
|
|
|
|
Z* (Е) = У Т |
ехр ( - Е2) — 2yj[1 — 2EF (Е)] + 0 |
(т?) |
(56а) |
|
и |
|
|
|
|
Zr(Е) = - |
2F (Е) + У Ѵ Ъ-Пехр (-. Е2) + |
0 №), |
(566) |
|
где F(g) определяется равенством
5
F (Е) = ехр (— Е2) J ехр х2с/х « Е(1 — 2Е2/3) при Е< 1. (56в)
о
Из уравнений (52) и (54) видно, что частота генерации смещена относительно частоты резонатора без активной среды на величину сг, которая является мерой аномальной дисперсии активной среды. Затягивание частоты равно нулю в центре линии излучения и увеличивается с увели чением отклонения частоты генерации от центра линии излучения. Смещение частоты генерации происходит всег да к центру линии. Это явление носит название эффекта затягивания. В кольцевом лазере интерес представляет не само явление затягивания мод, а разность величин сме щения частот встречных волн. Уравнение для масштабного коэффициента, аналогичное уравнению (13), можно получить из уравнений (52) и (54):
2, (Е) |
1 + |
Л*- |
(5) |
. (57) |
Ф= 2 1 + (c/2L) (G/ Щ 2,(0) |
|
|||
2 4 \ К и ) Zr {%) |
||||
В уравнении (57) для разности дисперсионных функций Zr противоположно бегущих волн выполнено разложение
в ряд Тейлора (до кубического |
члена по £2—|і) вблизи |
средней частоты g = (іі+ іг )/2 . |
Разность частот g2— |
Лазерные гироскопы |
231 |
—gi равна QIKu._ Из уравнения (57) видно, что масштабный коэффициент содержит нелинейные члены. Они имеют ма лую величину даже для очень высоких скоростей вращения лазера. Для скорости вращения 10е град/ч нелинейная по правка к коэффициенту составляет ІО"9. Однако диспер сионная поправка в первом члене разложения не являет ся малой.
|
452 200 |
|
|
452 100 |
|
S |
452 000 |
|
•& |
||
451 900 |
||
•Ѳ- |
|
|
Я) |
451 800 |
|
О |
||
fed |
|
|
э5 |
451 700 |
|
3 |
|
|
X |
451 600 |
|
ІО |
||
cd |
|
|
н |
451 500 |
|
|
ed
S
-в
Ѳ
-8
|
|
|
|
8 |
8 |
|
|
400 |
_!_____I__: I |
I------- |
1------- |
1------- |
1 |
||
300 |
200 |
100 |
0 |
-100 |
-200 |
-300 |
|
Напряжение, В
Фи г . 17. Зависимость масштабного коэффициента от частоты генерации кольцевого Не—Ne-лазера с % = 1,15 мкм.
Состав смеси изотопов 1 : l=:80Ne : 22N e. Максимуму мощности соответствует мини мум коэффициента. Вращение Земли не учитывалось.
Производная дисперсионной кривой |
Z / |
имеет коло |
||
колообразную форму, выпуклую вверху. |
Поэтому Z /< 0 |
|||
в большей |
части области |
генерации. |
Таким образом, |
|
масштабный |
коэффициент |
имеет меньшее |
значение по |
|
сравнению со значением для резонатора без активной среды. Вблизи центра линии излучения это уменьшение для коль
цевого |
Не—Ne-лазера с длиной волны излучения %= |
= 1,15 |
мкм и 0,633 мкм составляет 8-10"3 при коэффи |
циенте усиления 5% и 1% соответственно. |
|
На |
фиг. 17 приведена зависимость масштабного |
коэффициента от частоты генерации кольцевого Не—Ne- лазера с периметром резонатора 40 см [45]. Изменение частоты генерации достигалось перемещением одного из зеркал, установленного на пьезоэлектрическом элементе. Соответственно по оси абсцисс отложено напряжение на