Файл: Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 129
Скачиваний: 2
Пункты А и В — исходные, сторона CD — выходная сторона базисной сети; при уравнивании по направлениям возникает 15 условных уравнений, из которых 10 — условий фигур, 4 — условия полюсов и 1 — условие базисов. Для получения ожидаемых сред них квадратических ошибок определения длины и дирекциопиого угла стороны ЕН к условным уравнениям следует добавить выраже ние весовых функций этих величин.
Пользуясь углами треугольников GBA, HBG и EHG и длиной выходной стороны AB, можно написать для длины стороны ЕН
тртт_ A B sin (3 —2) sin (19 —17) sin (И — 10)
|
sin (13— 12) sin (21— 20) sin (25 —23) |
|||
|
Следовательно, весовая функция для длины стороны ЕН будет |
|||
|
■^ig E H = Дз-2 (3) |
Аз-o (2) — Аіз_і 2 (13) -f- А13_12 (12) -|- |
||
|
Н"Діѳ-17 (19) |
А19-17 (17) — А2і _2о(2 1 ) + А2і_2о(20 ) -f- |
||
|
“ЬАц-ю (11) |
Дц-ю (Ю) А28_2з (25) + А05-2З (23), |
||
где |
— изменение |
логарифма синуса угла, полученного как |
||
|
разность направлений і и к, с изменением этого угла |
|||
(2 ), |
на 1 |
|
|
направления. |
(3) и т. д. — поправки в соответствующие |
||||
|
Весовая функция |
для |
дирекционного угла |
стороны ЕН будет |
= (19) — (15) Н- (22 )— (20).
Выражения для весовых функций присоединяют к условным уравнениям сети и решают совместно по способу наименьших квад ратов. В результате по формуле
1 |
|
[«/Г- |
[Ь/D2 |
[с/213 |
(П.5) |
Р р |
1УЛ |
[оа] |
[ЬЫ\ |
[сс2] |
определяют обратные веса искомых функций.
Вычисление средней квадратической ошибки весовой функции можно значительно упростить, применяя двухгрупповой способ уравновешивания.
Уравнение весовой функции в этом случае следует включить последним во вторую группу условных уравнений.
Коэффициенты при неизвестных для второй группы можно преобразовать по способу Крюгера — Урмаева или по способу Ла рина.
Средние квадратические ошибки функции после этого вычисляют
по формуле |
|
тр'= ѵ - ] / ' т ^ ’ |
-(п -6) |
где и — средняя квадратическая ошибка единицы веса, равная ошибке измеренного угла или направления в зависимости от того, как уравнивалась сеть (по углам или направлениям).
50
Средние квадратические ошибки угла и направления при оценке
проектов триангуляции |
следует принять: |
±1",1 |
||||
для |
сети |
3 |
класса |
тут = ±1",5, |
тпнапр = |
|
для |
сети |
4 |
класса |
туг — ±2",0, |
т напр = |
±1",4. |
Строгая оценка проекта требует больших вычислений, поэтому часто применяют упрощенные приемы, которые для свободных сетей
дают приемлемые результаты. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Рассмотрим триангуляционную сеть с одним базисом (рис. 10). |
||||||||||
Наиболее |
слабо |
определяется |
сторона |
DE. Длину этой |
стороны |
|||||||
от базиса |
AB можно по |
|
|
|
|
|
||||||
лучить дважды: по ряду I, |
|
|
|
|
|
|||||||
состоящему |
из |
треуголь |
|
|
|
|
|
|||||
ников GBA, |
CGA, DGC и |
|
|
|
|
|
||||||
EGD, и по |
ряду |
II — че |
|
|
|
|
|
|||||
рез |
треугольники |
GBA, |
|
|
|
|
|
|||||
IIBG, EHG и DEG. |
квад |
|
|
|
|
|
||||||
|
Если |
среднюю |
|
|
|
|
|
|||||
ратическую ошибку опре |
|
|
|
|
|
|||||||
деления |
|
длины |
стороны |
|
|
|
|
|
||||
DE, |
полученную |
по ряду |
|
|
|
|
|
|||||
I, |
обозначим через |
М ѵ а |
|
|
|
|
|
|||||
по |
ряду |
II — через Мп , |
|
|
|
|
|
|||||
то |
веса |
этих определений |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- |
Iя2 |
|
|
|
р2 |
|
|
|
Рис. 10 |
|
|
|
|
М \ ’ |
р ™ ~ |
М \г ’ |
|
|
|
|
|||
где р. — средняя квадратическая ошибка единицы веса. |
|
|||||||||||
|
Результативный |
вес определения |
длины стороны |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Р = Рі + Рп = |
_р2_ |
Р2 |
..2 Щ + Щі |
(Н.7) |
|||
|
|
|
|
|
М \ |
Mf, |
^ |
Mj-Mfr ’ |
||||
а средняя квадратическая |
ошибка длины стороны DE |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
М2- Р2 |
Щ - Щ I |
(II.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
AäTf+ Af?! ■ |
|
||
Для простоты вычисления весов обычно выбирают р = 1, учи тывая возможность произвольного установления ее величины.
Средние квадратические ожидаемые ошибки определения лога рифма стороны DE можно подсчитать по известным в геодезии фор мулам:
а) при уравновешивании по направлениям
М |
3 |
,,гнапр _4 |
т. |
|
п |
(П.9) |
|
2 |
А + &В "Г б А&В ) |
||||||
|
IS s |
3 |
напр |
|
|||
где бд |
и 6в — перемены логарифмов синусов связующих углов А |
||||||
|
|
и В треугольников при изменении их на одну секунду; |
|||||
|
ніиапр — средняя |
квадратическая ошибка направления; |
|||||
4* |
51 |
б) при уравновешивании |
по углам |
|
2 |
п |
п |
M \ g S — '^ У - |
™ у г 2 |
" I - & А & в ) — Y т у г 2 |
где туг — средняя квадратическая ошибка измерения' угла. Величины R в единицах шестого знака логарифмов даны в табл. 10.
Таблица 10
Связующ ий угол, А°
^Свпзуга угол, I
vO |
|
|
|
|
|
іП |
|
Ю |
о |
irt |
о |
о |
ш О |
іа |
0 |
іГЭ |
О |
ѵЩ |
О |
ѵП |
О |
іГ5 |
О |
О |
ю о |
о |
—и |
01 |
С4 |
СО |
СО |
||||||
СО |
«■Я* |
|
ш |
Ю |
со |
СО |
Г- |
fr- |
00 |
00 |
О) |
о |
|
|
|
|
|
|
35 |
27 |
23 |
20 |
1S |
16 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
10 |
9 |
9 |
8 |
8 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
||
40 |
23 |
19 |
16 |
14 |
12 |
11 |
10 |
|
9 |
|
8 |
7 |
7 |
6 |
6 |
6 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
45 |
20 |
16 |
13 И 10 9 7 7 6 5 5 4 4 4 4 3 3 3 4 4 |
|
|||||||||||||||||||
50 18 |
14 |
И 9 8 7 6 5 4 |
4 |
3 3 3 3 2 2 2 2 3 |
|
|
|||||||||||||||||
55 |
16 |
12 |
10 |
8 |
7 |
5 |
5 |
|
4 |
|
3 |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
60 |
14 |
И 9 7 5 |
4 |
4 |
|
3 |
2 2 2 1 1 1 1 1 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
65 |
13 |
10 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
|
2 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
70 |
12 |
9 |
7 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
2 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
75 |
11 |
8 |
6 |
4 |
3 |
2 |
2 |
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
80 |
10 |
7 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
10 |
7 |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
9 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 |
9 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
8 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
8 |
5 |
4 |
2 |
2 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
7 |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115 |
7 |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
7 |
5 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
7 |
5 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130 |
7 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переход от ошибки определения логарифма стороны к относитель |
|||||||||||||||||||||||
ной |
ошибке |
осуществляется |
|
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ms |
|
М[gs |
|
|
|
|
|
|
|
|
(II.И) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
M iü k ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
М — 0,4343 — модуль |
десятичных |
логарифмов; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
к |
— порядковый номер знака логарифма, в единицах |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
которого |
|
выражены |
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как — = |
2,3, то формуле (11.11) можно придать вид |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M s |
|
|
2,3M\S s |
|
|
|
|
|
|
|
(11.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
— |
|
io* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
52
Для предвычислеиия средней квадратической ошибки определе ния дирекционного угла стороны DE по каждому из рядов следует
применять |
формулы: |
|
|
|
по направлениям |
|
|||||||
|
а) при |
|
уравновешивании |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= 4 * ; |
т . |
|
т напр |
3 |
■тп.напрП, |
(Н.13) |
||
|
|
|
|
Ра |
|
Ра |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) при |
|
уравновешивании по углам |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1,1 уг |
|
2 |
т*гп, |
(11.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
~лГ |
|
||||
|
|
|
|
|
Ра |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
где |
п — количество треугольников. |
|
|
|
|
||||||||
|
Результативная ошибка будет вычисляться по формуле (II.8). |
||||||||||||
|
Если |
триангуляционная |
|
сеть |
|
|
|
|
|||||
проложена в |
виде ряда |
с диаго |
|
|
|
|
|||||||
нальными направлениями (рис.11), |
|
|
|
|
|||||||||
то |
для |
приближенной |
оценки |
|
|
|
|
||||||
можно применить формулы обрат |
|
|
|
|
|||||||||
ного эквивалентного |
веса, |
пред |
|
|
|
|
|||||||
ложенные проф. А. И. Дурневым |
|
|
|
|
|||||||||
16]. |
|
|
следует |
упростить |
|
|
|
|
|||||
|
Для этого |
|
|
|
|
||||||||
сеть путем исключения некоторых |
|
|
|
|
|||||||||
.диагоналей, |
без |
которых |
остав |
|
|
|
|
||||||
шаяся сеть будет состоять из |
|
|
|
|
|||||||||
•треугольников, по форме наиболее |
|
|
|
|
|||||||||
приближающихся |
к равносторон |
|
|
|
|
||||||||
ним, пли из треугольников, у ко |
|
|
|
|
|||||||||
торых связующие углы |
дают на |
|
|
|
|
||||||||
именьшую |
погрешность |
геомет |
|
|
|
|
|||||||
рической |
|
связи, т. е. наименьшие |
|
|
|
|
|||||||
значения |
|
R. |
|
пунктов |
в |
упрощенной |
сети должно |
остаться |
|||||
|
Определяемых |
||||||||||||
столько же, сколько их в запроектированной сети с дополнитель ными диагоналями.
Среднюю квадратическую ошибку определения логарифма и дирекционного угла стороны ЕН можно подсчитать по формулам:
а) при уравновешивании по направлениям |
|
||||||
М Igs: |
m°апР_ |
4 |
|
г |
К (N — S) |
.R |
|
Piss ~ |
3 |
/?1папр |
N {К — г) |
||||
|
(11.15) |
||||||
мъ- |
â a n p _ 4 |
2 |
К (N — S) |
|
|||
Ра |
|
3 |
" ‘'напр N ( К - г ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
53