Файл: Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 131
Скачиваний: 2
б) при уравновешивании по углам |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
flgs - |
"'yr |
2 тВ |
К (N—S) |
2 й |
|
|
||||||
|
|
|
|
Pigs |
3 |
уг N (К-г) |
|
(11.16) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
"'уг |
|
2 |
„ |
К (N—S) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
- а ■ |
~ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
м |
Ра |
3 ,П*Г N (К-г) |
|
|
|||||||
где N — число всех измеренных величин (направлений или углов); |
||||||||||||||||
К — число |
измеренных |
величин |
в упрощенной |
сети; |
|
|||||||||||
S |
— число |
избыточных |
измерений (число условий) в сети; |
|||||||||||||
г |
— число |
избыточных |
измерений в |
упрощенной сети; |
|
|||||||||||
п |
— число |
фигур в упрощенной сети. |
|
|
|
|||||||||||
Для сети, изображенной на рис. 11, при уравновешпваиип по |
||||||||||||||||
направлениям |
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда |
|
|
|
N = 22, |
ЛГ=18, |
S = 8, г = 4, |
п = 4, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M fg EU = |
f |
/П|=апр 22 П » - 4 ) |
2 |
R = |
l t l m Hanp 2 |
R ■ |
(IL 1 ? ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
4 |
|
Если принять, что A = 90°, В = 45°, то каждое R = 4, а |
||||||||||||||||
= |
||||||||||||||||
= 16 единицам шестого знака логарифма. При туг = |
±1",5 |
1 |
||||||||||||||
будем |
||||||||||||||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
= |
п,уг = |
ч- 1" 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
” *'напр — |
У2 |
|
^ |
|
|
|
|
|||
Подставляя |
|
эти |
значения |
в |
формулу |
(11.17), находим |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
М lg EH — ± 4,6 |
|
|
|
|
|||||
единицы |
шестого |
знака |
логарифмов. |
получить |
|
|
||||||||||
Теперь |
по |
формуле |
(11.12) |
легко |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
МЕН _ о |
о М 1еЯН— |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
EH |
|
|
1Q0 |
|
94ООО' |
|
|
|||
Эта величина |
получена |
без |
учета |
ошибки |
исходной |
стороны AB |
||||||||||
18(22— 8)
■EH 3 ""наир 2 2 (1 8 -4 ) 4 = 4,4лі'папр*
Учитывая, что пітпр = 1", 1, получаем
Ма = ± 2",3.
Л Е Н
Среднюю квадратическую ошибку определения взаимного поло жения пунктов Е и Н можно определить по формуле
M B. n = Ym l + ( ^ S ) \ |
(11.18) |
54
Прн S |
4 км для нашего случая получим |
||||
|
nls |
|
4000 |
+ 0,042 м; |
|
|
— 94 000 |
||||
|
|
||||
|
?ганапр |
с _ |
1,1 ■4000 |
і: 0,022 м. |
|
|
р |
° |
— |
200 000 |
|
|
|
||||
■Следовательно, |
|
М в. п = ± 0,047 м. |
|||
|
|
|
|||
Относительная ошибка |
|
|
|
|
|
|
М„ |
|
0,047 |
1 |
|
|
|
S |
|
4000 |
85 000 ‘ |
Эквивалентные формулы обратного веса с некоторым допущением можно применить и для оценки сетей, имеющих два или несколько
базисов. |
|
|
|
сетей |
п |
|
|
Пункты заполняющих |
|
|
|||||
обычно |
определяют |
вставкой |
|
|
|||
одиночных пунктов или группы |
|
|
|||||
пунктов. В этом случае резуль |
|
|
|||||
таты измерений |
целесообразно |
|
|
|
|||
уравновешивать |
по методу по |
|
|
||||
средственных наблюдений. |
|
|
|
||||
Для оценки |
точности |
опре |
|
|
|||
деления |
координат |
пунктов |
|
|
|
||
применяют строгий метод при |
|
|
|||||
помощи весовых коэффициентов. |
|
|
|
||||
Для |
оценки |
точности опре |
|
|
|||
деления |
положения |
одного |
|
|
|
||
пункта |
с пунктов более |
высо |
|
|
|
||
кого класса (рис. 12) |
можно применить формулы [37]: |
|
|||||
|
М |
_ тауг |
Л Г |
__ |
а2б2-|_а2с2+Ь2с2 |
|
|
|
|
Ь2 sin2 ß + с- sin2 у |
|
||||
|
|
р |
У |
о2 sin2 а + |
|
||
|
т |
|
/ |
|
Ь2 sin2 ß + с2 sin2 у |
(11.19) |
|
|
|
|
а2 sin2 а + |
Ь2 sin2 ß-[ с2 sin2 у |
|||
|
|
|
|
|
|||
Для оценки точности определения положения пункта из тре угольника, опирающегося на исходную сторону, можно рекомендо вать формулы проф. К. Л. Проворова [37]. Формулы (11.19) не учитывают ошибок исходных данных.
Результаты наблюдений, выполненных для сгущения сети путем вставки группы связанных между собой пунктов, обычно уравнове шивают методом посредственных измерений. Для строгой оценки проекта вставки группы пунктов применяют метод весовых коэф фициентов .
55
Рассмотрим ^строгий метод оценки определения положения пунк тов 1 и 2, изображенных на рис. 13.
Для уравновешивания результатов наблюдений методом посред ственных измерений надо написать четыре уравнения вида:
[ай] 6«! + [ай] бг/j + |
[ас] öz2 + |
[ad] 8у2+ |
[а/] = О |
|
||
[ай] 8хгН- [йй] 8у1+ |
[йс] 8х2 |
[ftd] 8у2+ |
[й/] = |
О |
|
|
[ac] öarj. Д- [йс] |
+ |
[сс] ба:а -}- [cd] буа + |
[cZ] = 0 ' |
( ^ ^ О ) ' |
||
[ad] 8хг+ [ftd] 8уі + |
[cd] бх2 + |
[dd] 8у2+ |
[dl] = |
О |
|
|
Здесь 8xlt 8уг, 8х2 и 8у2 — искомые поправки в предварительные значения координат пунктов 1 и 2.
Коэффициенты а и й вычисляют по формулам
— psina a = — —
, |
р cos a |
(11.21) |
|
Имеются специальные таблицы, составленные по формулам
(а) = |
р sin а |
|
|
10 •1000 |
( 11.22) |
||
|
|||
|
р •cos а |
||
(*) = 10-1000 |
|
||
56
С использованием этих таблиц коэффициенты а и b получим
а |
(а) |
|
км |
||
S |
||
Ъ |
(11.23) |
|
(Ь) |
||
S |
км |
Для оценки точности определения координаты х пункта 1 надо в системе уравнений (11.20) вместо неизвестных 8хг, 8г/4, 8х2 и 8у2 подставить весовые коэффициенты с соответствующими индексами, вместо свободного члена первого уравнения поставить — 1, а во всех трех остальных уравнениях нули.
Получим
[aa] QV14- [ab] @4.2 + [ас] Q1S + [ad] @Ь4— 1 = 0
[ab] Q u + [bb] @1-2 + [bc] Q13 + [bd] @4.4 + 0 = 0
[ac] @1Л + [bc] QU + [cc] <?!.3 + [cd] @4.4 + 0 = 0 [ad] Q1.1-j- [bd] Qi,2+ [cd] Q1è3+ [dd] @4.4 + 0 = 0
Для оценки точности получения остальных неизвестных надо составить еще три группы уравнений, подобных (11.24). Вторая группа будет иметь вид
[aa] @2Л + [ab] Q2.2+ [ac] Q2.3+ [ad] @2.4 + 0 = 0
[ab] @2Л + [bb] Q2'2+ [bc] Q2_3 + [bd] @2.4— 1 = 0
[ac] |
+ [bc] (?2.2 + [cc] (?2.3 + [cd] (?2.4 + 0 = 0 |
[ad] @2Л + [bd] @2,2 + [cd] @2.3 + [dd] @2.4 + 0 = 0
Нетрудно проследить, что в том уравнении, где при квадратич ном коэффициенте первая и вторая цифры индекса у величины Q одинаковы, свободный член принимается равным единице с минусом, а во всех остальных уравнениях — нулю.
Из решения систем уравнений определим коэффициенты @Ь1, (?2.2>
Q 3-3 И @ 4.4-
Вес определения абсциссы пункта 1 будет
= |
<IL26> |
Среднюю квадратическую ошибку определения абсциссы пункта 1 вычислим по формуле
Я+= танапрі/<?1.1. |
(11.27) |
Если т.наПр выразить в секундах, S — в километрах, а коэффи циенты (а) и (b) взять из таблиц, то тх будет выражена в дециметрах.
Величину 7Пуі определяют по формулам
тУі т нзпр V Qi-i- |
(11.28) |
57
Подобным же путем получим
Wv^Waanpl/Ca.S. (11.29).
«Ь/2 = «^напр ~V Q4*4. |
(II. 30) |
Коэффициенты при неизвестных во всех четырех группах соот ветственно одинаковы, поэтому решается только одна группа урав нений с четырьмя самостоятельными столбцами свободных членов.
Для контроля в процессе решения следует иметь в виду, что
(?і-2= (?2-ы Q1 .s~Q 3 .it Qi.4 ~ Qi.it Q-i.s — Qs.it
Qil = Ql-2 П Qä-l — Qi- 3-
Ошибку определения положения пункта можно подсчитать по формуле
Му= Vtnlt-T-ml,. |
|
(Н.31). |
|
Ошибку определения длины |
стороны S |
подсчитывают по |
|
формуле |
|
|
|
mj,., = ^lanp {cos- а1-2 {Qu - f <?33 |
2@4g)-f-sin- Кі2(@2о @44 |
2@24) ~Ь |
|
+ 2 sin а12 cos а12 (<?12 — <?i4— <?23 + |
<?34)}. |
(11.32) |
|
Для вычисления ошибки определения длины дирекционного угла |
|||
стороны £ 1-2 можно применить |
формулу |
|
|
т%.„ = ягіапр {«12 {Qu + <?зз— 2(?13) + Ъ\г (<?22 + Qu — 2<?24) — |
|||
— 2a12ö12 (@12— Qi4— Q2 3 + (Рзі)}- |
(II. 33). |
||
При построении геодезического обоснования нередко встреча ются случаи, когда триангуляционная сеть 3 класса сгущается пунк-
58
тами 4 класса путем вставки большой группы пунктов, связанных между собой.
Выведем формулы для приближенной оценки точности опреде ления координат таких пунктов.
Предположим, что при наблюдениях с исходного пункта А на определяемый пункт П направление получено с ошибкой туг (рис. 14). Повернутое на туг направление АП' отсечет на линиях, параллельных осям координат, отрезки dy и dx, которые будем рассматривать как изменения приращений координат, происходя щие за счет ошибки туг. Опустим перпендикуляр из точки Л на направление АП' и обозначим величину этого перпендикуляра через Д.
Учитывая, что величина А по сравнению с длиной стороны три ангуляции S мала, можно написать
(11.34)
Р
Если дпрекционный угол направления АП обозначим через а, то
dx — sin а
А
dy-
cos а
Принимая во внимание (11.34) с учетом знаков величин dx и dy,
получаем
5 dx = — туг рsin а
dy = туг р cos а
От приращений перейдем к средним квадратическим ошибкам
іп% = т%г(----- £— У , |
’ |
||
* |
уг \ p sin a |
J |
|
т1 — т\г ( — - — |
1" • |
|
|
у |
\ р cos а |
I |
|
Согласно формулам (11.21) напишем
т |
х = |
т |
у |
ѵ |
У |
^ |
|
|
|
|
|
|
(11.35) |
Щ |
= |
т |
у |
г |
Y |
w |
Из способа наименьших квадратов известна формула общего вида для средней квадратической ошибки
т |
(11.36) |
59