Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

ционала, переводящего каждую целочисленную функ­

Из определения функционалов Гжегорчика вытекает их непрерывность (в бэровской метрике): при фиксирован­ ных натуральных аргументах значение вычислимого функционала на данных функциях fь ..., fn опреде­ ляется некоторым начальным отрезком значений этих функций. Используя это обстоятельство и всюду опре­ деленность вычислимых функционалов, Гжегорчик до­ казал с помощью теоремы Бореля о покрытиях, что вычислимые в его смысле действительные функции вы­ числимо равномерно непрерывны на каждом сегменте. Идеи Гжегорчика развивались затем немецким матема­ тиком Клауа; полученные Клауа результаты суммиро­ ваны в его монографии [4].

Начиная с 1955 г. преимущественно в докладах Французской Академии наук был опубликован ряд ра­ бот Лакомба, Крайзела, Шёнфилда и Фридберга (см. также труды симпозиума Constructivity in Mathematics

[1]—[2] была доказана вычислимая непрерывность эф­ фективных функционалов над бэровским пространством

22 ВВЕДЕНИЕ

(источником такого рода конструкций может служить построенный К л и н и [2] пример бесконечного дерева с конечным ветвлением, все общерекурсивные пути ко­

то обстоятельство, что их авторы интересуются в основ­ ном кругом проблем (2) (п. 1) и не связывают себя никакими специфическими концепциями в основаниях математики. В определениях и доказательствах свобод­ но используются понятия, методы и результаты теоре­ тико-множественной математики. Преимуществом такой позиции является большая гибкость, позволяющая, в частности, получать весьма интересные результаты, ха­ рактеризующие отношения между вычислимыми и не­

тики. Вместе с тем критика, которой подвержен теоре­ тико-множественный стиль мышления, переносится и на эти результаты, что делает данный путь малоприемле­ мым для исследователей, интересующихся кругом проб­ лем (1) (т. е. изначальным «замкнутым в себе» построе­ нием конструктивного анализа). Следует отметить, что во многих случаях теоретико-множественные методы мо­ гут быть элиминированы, что позволяет использовать значительную часть достижений традиционных систем вычислимого анализа и при последовательно конструк­ тивном подходе. Однако дело не всегда обстоит так просто: например, определение вычислимой по Гжегорчику действительной функции настолько пронизано тео­ ретико-множественными концепциями (арифметическая функция, действительное число), что даже формулиров­ ка содержательных аналогов этого определения, не го­ воря уже о теореме равномерной непрерывности, в рам­ ках нетрадиционной системы анализа (скажем, развивае­ мой в данной книге) представляется нетривиальной.

Параллельно с рассмотренными работами предпри­ нимались также попытки построения нетрадиционных систем вычислимого анализа. Здесь следует прежде

вая относящаяся сюда статья Гудстейна, сданная в пе­ чать в 1941 г., увидела свет в 1945 г.; исследования Гудстейна собраны в двух его монографиях [1] и [2], объединенных в русском переводе в одну книгу). Харак­ терной чертой подхода Гудстейна является стремление

курсивной арифметики или, точнее, на основе разрабо­ танной им оригинальной аксиоматической теории не­ которых классов арифметических функций (исчисление равенств Гудстейна; за подробной общей характеристи­ кой как исчисления равенств, так и подхода Гудстейна вообще мы отсылаем читателя к статье Ш а н и н а [8]). Объектом рассмотрения являются рекурсивные (чаще всего примитивно рекурсивные) функции над полем рациональных чисел с рациональными значениями, а также рекурсивные последовательности таких функций, задаваемые двухместными рекурсивными функциями. При построении анализа последовательно используются аппроксимативные методы, причем объекты, обычно воз­ никающие в анализе из аппроксимаций в результате предельных переходов, как правило, не вводятся. На­ пример, у Гудстейна фактически отсутствует понятие рекурсивной действительной функции, хотя читатель, владеющий какой-нибудь концепцией действительной функции, без труда обнаружит приводящие к таким функциям последовательности рациональных приближе­ ний. Достоинством этой методики является логическая простота используемых понятий, вместе с тем она не ли­ шена, по мнению автора, и некоторых недостатков — по мере накопления никак не обозначенных предельных переходов растет громоздкость (но не сложность!) определений и формулировок теорем. В целом анализ приобретает очень необычный вид, что существенно за­ трудняет математику, интересующемуся кругом проблем

24 ВВЕДЕНИЕ

Следует отметить, что в работах Гудстейна, по-ви­ димому, впервые были систематически изучены с точки зрения точной теории алгорифмов теоремы о среднем значении и был предложен плодотворный подход к уста­ новлению рекурсивных аналогов этих теорем, при ко­ тором вместо объекта, придающего функции требуемое значение, отыскивался рекурсивный объект, придающий требуемое значение с некоторой наперед фиксированной точностью. Такого рода е-варианты теорем существова­

доклада Бишопа на Московском международном кон­ грессе математиков). Конструктивный анализ Бишопа занимает промежуточное положение между интуицио­ нистским анализом и системами, использующими точ­

мами конструктивизма за счет конкретной математиче­ ской активности». Им отвергаются как интуиционист­ ские теоремы типа брауэровской теоремы о веере, влекущей равномерную непрерывность интуиционист­ ских действительных функций, так и претензии точных концепций алгорифмов на полное выражение сущности вычислимого (тезисы Чёрча, Тьюринга, принцип нор­ мализации). И то и другое содержит сверхматематиче­ ские, а потому неприемлемые предположения. Бишоп развертывает свой конструктивный анализ, доводя из­ ложение до глубоких результатов, относящихся к тео­ рии функций комплексной переменной и функцио­ нальному анализу, на основе интуитивной концепции конструктивности, предполагающей, в частности, перво­ начальную интуицию натуральных чисел и их арифме­ тики и трт взгляд, что любое математическое утвержде­