Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА.

ОПЕРАТОРЫ

397

Пусть Lim — алгорифм слабого

предельного

пере­

хода в М,. Построим алгорифм у2

так, что

 

(18)у2(Р, g * 2 3 , Q ) ^ L i m ( E v k № 3 . Q 3 ) .

(19)Если X е= М, и Q — предельное слово, то

 

УЧХ,

£2t>3, Q ) s M ,

и

у2(Х,

£?t2 3,

Q) =

* .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л»,

 

 

и п

В

самом деле, при предельном Q для любого 212

 

 

 

 

 

 

УЧХ,

£2t2 3, Q,

« ) = F ^ .

 

 

 

 

 

Следовательно, у^ № 5

Q —регулярная

последователь­

ность

точек,

сходящаяся

к

X, откуда и следует (19).

(20)

 

Пусть

X е=

 

 

алгорифм

212

прослеживает

мно­

 

 

жество

i? 2

и Q — непредельное

слово,

сцеплен­

 

 

ное

с

X

и

5?2.

Тогда

!у2 (Х, £2t23> Q)

и

 

 

Y2 (X, £9t2 3,

Q J e ^

(см.

определение

17

§

1).

Действительно,

в

 

рассматриваемом

случае

шар

X * V (Q)

имеет непустое

пересечение

с 9?2.

Следова­

тельно

1%(X*V(Q))

 

и

%(X*V(Q))

 

есть

точка

шара

X*V(Q),

 

 

принадлежащая

3?2.

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

X

 

 

 

при

n<V(Q),

 

4{X>^>Q>n)^U2(X*V(Q))

 

 

 

 

 

 

при

 

n>V(Q),

 

?ад

о

является регулярной

 

последовательностью

то­

чек

Ми

 

сходящейся

к

Щ(Х*

 

V(Q)).

 

Отсюда

и

сле­

дует

(20).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим

теперь

алгорифм

91 так,

что для любых

алгорифмов

21,, 212

и

слов

Р,

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21 (Р,

£21,3,

№ 3 . Q ) ^ 2 l , ( Y

2 ( P ,

£2I23, Q)).

 

 

Пусть

 

1 е М „

21, согласует

множество

& ъ

212 про­

слеживает

множество

£2,

3?х

(]2'2=0,

 

Х<^.9?х.

Тогда

(21)если Q — предельное слово, то

 

 

ЩХ,

£2t,3, £2l2 3, Q);

(22)

если

Q — непредельное

слово, сцепленное с X

 

и 2?2,

то

 

 

 

 

1\ЩХ,

£21,3,

£«2 3. Q);

(23)

£21х, £?г,з, №зЗ

есть непредельное слово, не сце­

 

пленное с J

и 9?2-

398

 

КОНСТРУКТИВНЫЕ

 

МЕТРИЧЕСКИЕ

 

ПРОСТРАНСТВА

 

[ГЛ. 9

Утверждение

(21)

 

следует

из

(19),

а

утверждение

(22)

из

(20).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Утверждение (23) непосредственно вытекает из лем­

мы

2 и

(21) — (22).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Строим теперь алгорифм sep так, чтобы

 

 

 

 

(24)

 

sep

(X,

 

£2t23) с* X * V {£&х. Е а д ,

№ 3 3 ) .

 

 

Ввиду (23) алгорифм sep обладает требуемыми

свойствами.

 

 

 

 

 

Множество

 

Я?

назовем

эффек­

О п р е д е л е н и е

13.

 

тивно открытым,

если

 

осуществим

алгорифм

а

(внут­

ренняя

функция

2?),

 

перерабатывающий

 

всякий

эле­

мент X из 2? в

шар

с

 

центром

в X,

целиком

содержа­

щийся

в

2?.

 

 

В

 

слабо

полном

КМП

всякое

со­

С л е д с т в и е

7.

 

гласованное

множество

 

с

прослеживаемым

 

 

дополнением

эффективно

открыто.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Важный

класс прослеживаемых

множеств

образуют

(в

случае

слабо

полных

сепарабельных

КМП)

согла­

сованные

множества.

 

 

 

 

 

 

[1]). В

слабо

полном

Т е о р е м а

9

( М о с к о в а к и с

сепарабельном

КМП

 

всякое согласованное

 

множество

прослеживаемо;

 

точнее

говоря,

 

можно

(при

фиксиро­

ванном

 

исходном

КМП)

построить

алгорифм

tr

так,

что для

 

любого

алгорифма

51

и

множества 9?,

если %

согласует

2?,

то алгорифм

f r ^

прослеживает

2?.

 

Как показал недавно Ю. Р. Вайнберг, если усилить определение прослеживаемости, допустив в нем шары произвольных радиусов (мы рассматриваем лишь шары радиусов вида 2~п при натуральном п), то из просле­ живаемости всех согласованных множеств данного КМП следует сепарабельность этого КМП. (При принятом нами определении прослеживаемости это утверждение

легко

опровергается:

в

качестве контрпримера

можно

взять

подпространство

Н, индуцированное каким-нибудь

неперечислимым

множеством.)

 

 

Теорема

9 вытекает

из следующих

трех'лемм.

 

Л е м м а

3.

Всякое

 

перечислимое

множество

точек

КМП

прослеживаемо.

 

 

 

 

Л е м м а

4.

Всякое

 

сепарабельное

множество

про­

слеживаемо.

 

 

 

 

 

 

СОГЛАСОВАННЫЕ

МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ

399

Л е м м а

5. В слабо

полном

сепарабельном

КМП

всякое согласованное множество

сепарабельно.

 

Лемма 4 следует из леммы 3 и того очевидного об­

стоятельства,

что алгорифм, прослеживающий

плотное

подмножество данного множества, прослеживает и само это множество. Пусть теперь Мх— слабо полное, сепарабельное КМП и 3?— согласованное множество точек Mi с согласующим алгорифмом 91. Обозначим через р алгорифм, перечисляющий плотное подмножество Mt. Построим алгорифм а так, что при любом п

a ( « ) ~ 9 t ( p ( n ) ) .

Очевидно, множество тех натуральных чисел, к кото­ рым применим а, перечислимо (ср. § 3 гл. 1). Построим алгорифм у. перечисляющий это множество. Пусть да­ лее 6 — такой алгорифм, что

9 ( « ) ~ р ( у ( п ) ) .

Очевидно, 0 перечисляет некоторое подмножество 2? (точнее говоря, 0 перечисляет множество точек вида Р(«), принадлежащих & ) . Из теоремы 7 следует, что перечисляемое 0 множество плотно в 3?, чем и закан­ чивается доказательство леммы 5. Осталось доказать лемму 3. Пусть Mi — КМП и алгорифм р перечисляет некоторое множество 3?\ точек Ми Для каждого шара 5 обозначим через 3?s множество элементов 3?\, при­ надлежащих 5. Так же, как и выше, используя согла­ сованность любого шара, можно показать, что все мно­

жества 3?s

перечислимы,

и

построить

такой алгорифм

911, что для

любого шара

S

алгорифм

9ls перечисляет

3?s- Построим далее алгорифм 912 так, что для любого шара S алгорифм 91$ есть стройный алгорифм, пере­ числяющий 3?8 (теорема 7 § 3 гл. 1). Искомый просле­ живающий алгорифм 91 строим теперь так, чтобы

9I(S)~2I2 (S, 0).

Теорема 9 будет использована нами в следующем пункте при доказательстве теоремы непрерывности.

В заключение этого пункта распространим на согла­ сованные множества результаты п. 5 § 1, связанные с теоремой Бэра. (Приводимые результаты ( К у ш н е р

400 КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 9

[10]) представляют собой некоторое усиление результа­

тов М о с к о в а к и с а

[1].)

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

 

10.

Пусть

Mi—

полное

КМП, 9?— со­

гласованное

 

 

множество

и Х е ^ . Для

любого

множе­

ства

первой

категории

9?х можно

найти

точку,

принад­

лежащую

9?, но не принадлежащую

9?i *).

 

 

 

Действительно,

пусть I G S " , 9?I — множество

первой

категории.

 

Построим

последовательность шаров

со так,

что

 

 

 

 

 

 

 

со (п) =

X * п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно

теореме

8 § 1 мы можем построить

после­

довательность

точек

0 так, что при любом

п

 

 

(25)

 

 

 

 

 

 

 

9 (л) е= со (л)

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(26)

 

 

 

 

 

 

 

E(fi)<£2V

 

 

 

 

 

 

Ввиду

(25) при всяком п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9i(X,

 

0 ( я ) ) < 2 - \

 

 

 

 

Поэтому

мы сможем

найти

(теорема

7)

такое /, что

6(/)е= . 2\

Ввиду

(26)

%{1)ф9?1,

 

что и

требуется.

 

С л е д с т в и е

8.

Пусть Mi — полное

 

сепарабельное

КМП.

По

 

всякому

 

непустому

согласованному

множе­

ству

9?

и

 

любому

 

множеству

 

первой

категории

9?\

можно

указать

точку из 9?, не

принадлежащую

9?\.

 

Следствие

8 вытекает

из

теоремы 10 и

следующего

утверждения,

 

доказательство

которого

аналогично

до­

казательствам лемм 3—5: если Mi — полное сепарабель­ ное КМП, то для всякого непустого согласованного мно­ жества можно найти точку, принадлежащую этому мно­ жеству.

С л е д с т в и е 9. В полном

КМП

никакое непустое

согласованное

множество

не

является

множеством

пер­

вой

категории.

 

 

 

 

 

Следующее утверждение доказывается вполне ана­

логично следствию 3 § 1.

 

 

 

 

*)

Напомним,

что Y ф

означает, что при любом Z из

Т\

 

 

р,

(Y, Z)

Ф 0.

 

 

 

СОГЛАСОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПЕРАТОРЫ

401

С л е д с т в и е

10.

Пусть

М\

— полное

 

совершенное

КМП

(см. определение

18 § 1), S — согласованное

мно­

жество точек Mi и Х е ^ . По всякому

 

перечислимому

множеству

2?i

точек

М

можно

найти

точку

из S,

не

принадлежащую

 

Si.

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е

11. Пусть

М\ — полное

сепарабельное

совершенное

КМП.

По

всякому

непустому

 

согласован­

ному

множеству

9?

и

перечислимому

множеству

3?х

можно

найти

точку

3?,

не принадлежащую

 

Sti.

 

С л е д с т в и е

12. В

полном

совершенном

КМП

вся­

кое непустое

согласованное

множество

 

неперечислимо.

Заметим, что принятое нами понятие совершенного

КМП

(определение

18 § 1)

нельзя ослабить

без потери

следствия 12: можно построить полное КМП без изо­ лированных точек, в котором существуют непустые со­ гласованные перечислимые множества.

5. Сепарационная теорема и теорема о прослеживае­ мое™ согласованных множеств позволяют без труда до­

казать непрерывность

алгорифмических

операторов.

Этот результат

вытекает

из

основной

теоремы работы

Ц е й т и н а [5]

(см. также

Ц е й т и н

[3]

и [4]; упо­

мянутая теорема будет доказана в следующем пара­

графе)

и был затем независимо найден

М о с к о в а к и -

с о м

[1]*).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

11

(теорема

Цейтина — Московакиса о

непрерывности

алгорифмических

операторов).

Пусть

Mi

— слабо

полное

сепарабельное

КМП, М2 — произ­

вольное КМП.

Можно построить

алгорифм Нп так, что

для

любого

алгорифмического

оператора

W

типа

Mi -т* М2 ,любых X,

F G J M I

и любого

п

имеет место

 

\)если \W(X),TO

\Hn(£W3,X,

п) и

Н п ( Е ^ З » X,

я)—

шар

с центром

в точке X;

 

 

 

 

 

 

2) если

[Ч?{Х),

V¥{Y) и Уе=Нп ( £ ¥ 3,

X,

п), то

 

 

 

 

 

р2

 

V{Y))<2-n.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Построим алгорифмы 91' и %2 так, что для любых слов Р, Q, алгорифма W и

*) В работах Г. С. Цейтина рассматриваются

не слабо полные,

а полные КМП. Вместе

с тем в приводимых там

доказательствах

фактически используется

лишь слабая полнота.

 

Смотрите также файлы