Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

Внашей случае в левой части балки действительной балки момент инерции в 7 раз больше, чей в правой.

Всвязи с этим, эпюру изгибающего момента заданной (действительной) балки на участке ВС нужно перенести как фиктивную нагрузку в 7 раз увеличенной, а эпюру моментов на участке АВ перенести на фиктивную балку без изменений (рис.7.8,в), Найдем прогиб заданной бал­ ки на свободном конце в точке Д, который будет раве моменту от фиктивной нагрузки М<р » деленному на же кость EU балки. Он равен:

Подставляя полученные значения в выражение ( I ) , получим прогиб в заданном сечении: г г

288

Угол поворота на свободной конце будет равен поп речной силе Qtp , деленной на жесткость EJ . Для на­ шего случая будем иметь:

Как видно из рассмотренного примера консольной ба ки согласование краевых условий требует изменения схемы балки, т.е. в этом случае фиктивная нагрузка приклады­ вается не к заданной балке, а к фиктивной. По этой чине стараются избегать использование графоаналитичес­ кого способа для определения перемещений в указанных балках.

Указанный способ широко используется только для простых балок.

Анализ рассмотренных примеров дает возможность ус­ тановить следующий порядок решения графоаналитическим способом:

1. Построить эпюру изгибающих моментов от заданной

нагрузки.

2.Выбрать конструкцию фиктивной балки.

3.Принять эпюру изгибающих моментов заданной ^

4. Определить прогиб в любом сечении от заданной

нагрузки, который будет равен моменту от фиктивной на­ грузки Mf> , деленному на жесткость балки EJ , а угол поворота - поперечной силе О^о * деленной на жесткость Е7 •

289

§ 4.8. Обобщенное (универсальное) уравнение изогнутой оси балки. Метод начальных

параметров

Рассмотренный ранее способ непосредственного ин­ тегрирования предусматривает для каждого участка балки составление выражения изгибающих моментов и затем ин­ тегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки, что является затруднительным.Если балка име

несколько участков (больше двух), то целесообразно поль зоваться методом начальных параметров. В этом случае исключается необходимость в составлении выражений из­ гибающих моментов и последующего интегрирования диф­ ференциального уравнения изогнутой оси балки. Это поз­ воляет независимо от количества участков балки иметь число постоянных не больше двух, так как постоянные тегрирования ( С и Д ) будут одинаковыми для всех уча стков балки. Для вычисления перемещений указанным ме­ тодом достаточно написать лишь одно уравнение для по­ следнего участка балки.Это уравнение пригодно и для л бого участка, опустив из него члены, не относящиеся рассматриваемому участку. Выясним условия, при которых

дифференциального уравнения изогнутой оси. Они состоят в следующем:

Рекомендуется начало координат располагать на левом конце направляют вверх и ось £С - вправо. В этом случае при вычислении момен тов будем рассматривать часть балки, имеющую начало координат.

Если равномерно распределенная нагрузка занимает только часть пролета балки (рис.8.8,а), то ее нужно продолжить до конца балки, но одновременно приложить

290

T

t

: в

Рио.8.8

на свободной части пролета балки нагрузку той же инт сивности и равную добавленной, но противоположного зна­ ка (рис.8.8,б).

На рис.8.8,а показана балка, для которой требует­ ся найти прогиб и угол поворота на ее свободном кон в точке Д.

На рисунке 8.8,6 две добавленные нагрузки показаны пунктиром на участке балки БД.

На рис.8.8,в показан участок о равномерно распре­ деленной нагрузкой, который начинается не в начале ко­ ординат и доходит до конца балки. В этом случае нет обходимости добавлять нагрузки.

Интегрирование дифференциального уравнения должно производиться без раскрытия скобок, т.е. вновь вводимые в последующие участки балки выражения изгибающих момен­ тов должны содержать множитель (CC-CL.) , равный еди­ нице, где CL - означает расстояние от начала координат до сечения, в котором приложен силовой фактор.

Используем последнее условие для балки, нагружен­ ной сосредоточенным моментом /?7 (рис.9.8).

/77

Я

М

1

Рис.9. '

292

Как видно из этого рисунка можно определить опо

нии изгибающего участка для П участка балки (участок КБ на рис.9.8) заданный момент умножаем на ( ) .

Запишем дифференциальные уравнения изогнутой оси балки

после двухкратного интегрирования этого уравнения сле­ дует:

рис.9.8) соответственно будем иметь:

Произведя интегрирование этого уравнения, получим:

c i l )

293

Из рассмотрения этих уравнений нетрудно заметить,

Для определения произвольных постоянных используем условия закрепления балки. В рассматриваемой задаче име­ ем две шарнирные опоры. Поэтому мохно записать:

значения в уравнение (2*) и, учитывая, что Д^ » Д2 • О,

Выведем обобщенное уравнение изогнутой оси балки. Рассмотрим балку, к которой приложены нагрузки различног характера: пара с моментом fr] , сосредоточенная сила

Ри равномерно распределенная нагрузка (h (рис.

Выберем начало координа в точке 0. Причем, все нагрузки, приложенные к балке (рис.10.8) направлены та­

ким образом, чтобы изгибающие моменты от них будут по

жительными.

.294