Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

Прогибы балки выражается в си, мм и т.д., а утлы поворота поперечных сечений *f - в радианах.

Для нахождения перемещений в балках существует несколько способов:

1. Интегрирование дифференциального уравнения изог­ нутой оси балки.

2.Графоаналитический способ.

3.Обобщенное (универсальнее) уравнение изогнуто!? оси балки.

4.Способ единичной нагрузки (интеграл Мора) с пр менением метода Верещагина.

5.Графический способ (который мало примег.тется

впоследнее время).

Определение указанных величин одним из упомянутых способов имеет целью вычисление допускаемых значений ремещений, т.е. чтобы максимальный прогиб балки был не больше заданного предела допустимого для проектируемой балки. Кроме того, нахождение этих величин дает возм ность производить расчет статически неопределимых бало

Рассмотрим нахождение перемещений поперечных сече­ ний балки (линейных и угловых) с применением вышепер численных способов в отдельности за исключением графи­ ческого.

Использование указанных способов для определения перемещений в балках позволит выявить существенные не статки и преимущества каждого способа, что особенно но при расчете статически неопределимых систем.

§ 2.8. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки

Из курса высшей математики известна зависимость между радиусом кривизны плоской кривой и координатами СС и ее точек, которая выражается следующим урав-

270

Ив этой формулы видно, что в левой части ее от два знака, которые необходимы для того, чтобы можно б оогласовать знаки левой и правой частей. Так в левой

ти знак устанавливается в аавиоимости ох направления визны изогнутой оои, а в правой чаохи учитывается внв

Из рассмотрения указанных случаев можно заметить, что если ось Ч, будех направлена вверх (рио.2.8,а,й), то знак будех * ® , а еолиУ*осьнаправлена вниз (рио.

2.8, в, г), будех знак 0 Условимся ооь Ч~ направлять вверх, хогда дифферен

циальное уравнение изогнутой оои будех иметь следующи вид:

(2.8)

272

Рио.2.8

£78

Для того, чтобы получить из этого дифференциаль­ ного уравнения угол поворота, надо это уравнение про тегрировать один раз, т.е.:

Интегрируя второй раз, получим уравнение прогибов (уравнение упругой линии) и будем иметь:

(4.8)

Уравнения (3.8) и (4.8) дают возможность опреде­ лить углы поворота и прогибы поперечных сечений бало В этих уравнениях появились произвольные постоянные и тегрирования С и Д, которые определяются из так назы мых гранич ых условий, т.е. условий закрепления балки концам. Таких условий может быть два, которые определ ются по следующей схеме:

Если балка будет иметь на конце заделку, то пр

гиб и угол поворота в заделке будут равны нулю

( y=Oi ч>~о ).

Если балка будет иметь на концах шарнирные опо *о прогиб над каждой из этих опор будет равен нулю

П р и м е р 1.8

Для консольной балки длиной £ , изображенной на рис.3.8, требуется определить угол поворота и прогиб на конце консоли в точке В, нагруженной сосредоточенн силой F.

Решение

Выбираем начало координат в точке А, ось ^ на­ правим вверх, а ось ОС - вправо (рис.3.8). Пользуясь

274

уравнением статики, определяем вертикальную реакцию в точке fl - и момент в заделке равный fif , а именно:

й в

Рис.3.8

Для определения изгибающего момента берем произ­

вольное сечение на расстоянии СС от начала коорди­

нат Мх = P^c-Pd

Для нашего случая дифференциальное уравнение (2.8) запишем так:

Интегрируя это выражение дважды и будем иметь со ответственно:

( I )

(2)

275

Выражения ( I ) и (2) дают возможность определить

углы поворота и прогибы поперечных сечений балки. Для определения произвольных постоянных интегриро­

вания С и Д должны найти сечение в балке, для кото заранее известны величины углов поворота и прогибов. Для нашего случая, такии сечением является опорное с

будем соответственно иметь:

J^TJL * r€J- zev (5.8)

Здесь знак минус указывает, что сечение поверну­ лось по часовой стрелке.

(6.3)

Знак минус означает, что прогиб направлен вниз. Пример 2.8

Для балки, изображенной на рисунке 4.8, требуется

определить прогибы и углы поворота.

Решение

Помещаем начало координатных осей на левой опоре в точке А (рис.4.8) направим ось U вверх и ось-Я?

276

вправо.

t

Рис.4.8 Для определения изгибающего момента возьмем произвол

ное сечение с абсциссой ОС от начала координат и пишем уравнение:

Подставив это выражение в дифференциальное урав ние упругой линии (2.8), имеем: , .

Интегрируя указанное уравнение дважды, получим:

27?

Для нахождения произвольных постоянных С и Д ис­ пользуем краевые условия, при которых заранее известн прогибы, т.е. на концах балки.

I ) при СС~<£ прогибы в опорах балки будут равн нулю, т.е. О i УегО •

Подставив значения С и Д в выражения ( I ) и ( 2 ) ,

Как видно из рисунка 4.8, наибольший прогиб буде

Если подставим значение Э£-—-тг в формулу определения углов поворота, то в этом сечении он бу равен нулю, т.е. *f t j °«

Ыа опорах балки углы поворота определяются из в

278

жеяия ( X ) при ОС - 0 и JC—tt и будут соот-

(8.8)

Из формул (7.8) и (8.8) вытекает, что прогибы над опорами балок будут равны нулю, а углы .зворота не дут рявны нулю. Максимальное значение прогиба будет в середине балки, а угол поворота в этом сечении будет равен нулю. Из рассматриваемого примера видно, что ма симальные зпгчения углоз поворота будут возникать на рах.

Таким образом, определение перемещений при изгибе балок методом непосредственного интегрирования дифферен­ циального уравнения изогнутой оси балки сводится к в полнению следующих операций:

1. Для каждого участка балки составляется уравне­ ние изгибающих моментов.

2.Полученные уравнения изгибающих моментов под­ ставляются в дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (2.8).

3.Дифференциальное уравнение интегрируется дваждк что дает возможность нахождения общих выражений углов поворота и прогибов сечений для каждого рассматриваем го участка балки.

4.Вычисляются постоянные интегрирования, исходя из краевых условий и на опорах балки. Известно, что опорах балки прогибы равны нулю, а в заделке - угол ворота и прогиб равны нулю.

5.Значения постоянных интегрирования подставляет­

ся в общие выражения углов поворота и прогибов сечен v

279