р
в Н
U t i U
8
Рис.10.8
Следует заметить, что распределенная нагрузка не доходит до конца балки (на участ! ДЕ). Поэтому для получения равенства постоянных интегрирования добавля ем положительную нагрузку до конца балки и такую же рицательную нагрузку. Эти нагрузки на рисунке (10.8) показаны пунктиром.
Напишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки для последнего участка (ДЕ) и затем проинтегриру ем дважды, используя при этом условия, при которых о печивается равенство произвольных постоянных
Интегрируя это уравнение дважды, получим:
ByXugfc&gfi US*/- *%$ск*> (*)
Выясним физический смысл постоянных С и Д из рас смотрения изогнутой оси участка балки OA (рис.10.8). Из рисунка видно, что на первом участке балки (ОЙ) н грузка отсутствует. В этом случае дифференциальное урав нение изогнутой оси будет иметь вид:
~3xza^ проинтегрировав это уравне ние дважды, получим:
1
£ 7 j | « £ , (а) • ЭД-^Д *^
( в )
Обозначим тангенс угла наклона касательной и изог нутой оси в начале координат через , а прогиб в том же сечении через ^е> . Используя уравнения перво го участка балки (а) и (б), находим углы наклона каса тельной и прогиб при — 0, получаем:
£УУе>*% (13.8)
Из этих выражений (12.8) и (13.8) следует отметить следующее:
Постоянная С есхь тангенс угла наклона касательной к изогнутой оси в начале координат, умноженной на жес
кость балки а постоянная Д - прогиб в начале координа
г
умноженный на эту же величину жесткости.
Подставим полученные значения произвольных постоян ных С и Д в уразнения ( I ) и (2) и, учитывая, что ука ные нагрузки, действующие на балку, могут встречаться неоднократно, эти уравнения будут иметь вид:
Следует отметить, что угол поворота может быть та же получен путем дифференцирования уравнения прогибов,
(15.8)
Уравнения (14.8) и (15.8) называются обобщенными универсальными уравнениями изогнутой оси, где CL « В ' •
С. % d - обозначают соответствующие расстояние от на чала координат до сечения, где приложен силовой фактор
|
|
|
|
|
- угол поворота в начале координат; |
Ua - началь |
ный прогиб, т.е. в начале координат. |
* |
Нагрузки p-s. Q0 |
и |
М^-Мо , приложенные к |
левому концу (там, где начало координат) |
и соответствую |
щие перемещения fo |
и |
<£о |
э^ого конца называются на |
чальными параметрами. Пс*1 ому уравнения (14.8) и (15.8) иногда называют уравнениями метена начальных параметров.
Пользуясь этими уравнениями при вычислении прогибов и углов поворота, нужно учитывать только вое нагрузки (опорные реакции и внешние нагрузки), расположенные сле ва от рассматриваемого сечения.
Как правило, начало координат размещают в том се чении, для которого значения ^ 0 и ^ известны.Если начало координат будет совпадать с местом заделки для
защемленной балки, то в неизвестные превра щаются в нуль, так как в указанном сечении угол пово та и прогиб будут равны нулю.
Если балка лежит на двух опорах (без консоли ил с одной консолью), тогда нужно определить только одно известное ^ 0 , так как прогиб на левой опоре (где р ложено начало координат) будет равно нулю. В этом слу ^Р0 находят из условия равенотва нулю прогиба над п вой опорой.
Для балки, лежащей на двух опорах, имеющей консо ли с обеих концов, необходимо вычислять две неизвестны величины и У>0 • которые находятся из условия ра венства нулю прогибов над опорами.
Пример 5.8
Определить прогиб и угол поворота в начале коорд нат для таврового сечения станины электродвигателя цент рифуги (см.пример 3.7).
Решение
Начало координат поместим на левом конце балки (рис.II.8) - ось направляем вверх и ось ОС - вправо.
£*/oo*r
£*50LM
РисII.8
Напишем универсальное уравнение (15.8) для раосматривае-
мой задачи:
z 3
В этом выражении не будет двух последних членов, так как отсутствует распределенная нагрузка.
По условию задачи М— 9<Ю K R M • G-^ iООк/Г
значения которых подставив в наше выражение, иыеем:
Угол поворота заданного сечения можно получить путем дифференцирования уравнения прогибов, т.е.:
при СЕ *» £ss52?<vy-угол поворота в заделке (см.рис.
I I . 8 ) будет равен нулю и тогда выражение (б) |
запишетс |
в следующем виде: |
g . |
|
Но из примера 3.7 имеем $*£Z£ |
см^ , а |
<у4*- |
Подотавив в это выражение числовые значения^ |
и U, |
получим: Фа о.ОООУ/"&- |
|
|
'Г в переводе на градусы
Зная, что прогиб в заделке равен нулю, т.е. при cCs= i.iS'SOcM и подставляя значение в
выражение (а), получим:
8 н а к ИИН
« -0102.СН = -Ю12н^ У° Указывает,
что прогиб направлен вниз.
Пример 6.8
Вычислить прогиб и угол поворота сечения балки
под точкой приложения веса редуктора и трансмиссии н соса (для перекачки мезги) Pf~ /ООкГ: (см.пример 5.7).
Решение Поместий начало координат па левой опоре А (ри
12.8), т.е. ось |
направим вверх и ось-Я? - вправо. |
А |
|
|
|
|
|
|
|
Pi'foour^ |
|
|
|
|
Р-15ОХР |
|
|
|
|
Еуч. |
Шуи. |
(Eyv. |
' |
|
<7,з- |
0,Ь- |
• 0,1- |
0,4- |
|
|
|
X - |
|
|
|
|
|
Рис.12.8 |
|
|
|
Напишем универсальное уравнение |
(15.8) для послед |
него (четвертого) участка балки, т.е.: |
3 |
Следует заметить, что в начале координат (на оп А) прогиб будет равен нулю, т.е. < ^,= 0« Окончательно наше выражение перепишется так:
i'^irttr |
# |
я |
3J |
-> |
<а> |
Подставим в выражение |
(а) вместо |
СС * |
130 см, по |
лучим, что |
• 0 (на опоре В), т.е.: |
|
|
