дишь одна сила ?2 в I (рис.15.8).
Рис.15.8
Перемещения, вызванные единичными силами и моментом, будем обозначать буквой с? в отличие от перемещений, вызванных силами или моментами не равными единице - через Л •
Исходя из принятых условий, будем обозначать пере мещение указанной системы по направлению единичной силы
в первом состоянии, вызванное силой Р£ = I через
а в
Szt » перемещение по направлению единичной силы Pj во втором состоянии - сР/2. • Итак, первый индекс
указывает на направление перемещения, а второй - причин его вызвавшую.
Пользуясь формулой (16.8) для рассматриваемых си стем, можно записать:
В этом выражении известно, что Р2 = Рт = I , тогда
наше уравнение примет вид;
6
(Р/7.~6г/ С)
Вслучае действия любых единичных сил уравнений
(б)можно переписать в следующем виде:
< 1 7 - 8 >
Формула (17.8) называется теоремой Максвелла. Из этой теоремы следует, что перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной сил равно перемещению по направлению второй единичной сил вызванное первой единичной силой.
§ 7.8. Определение перемещений о помощью интеграла Мора
Формула интеграла Мора пригодна для определения перемещений любых брусьев: прямолинейных, криволиней ных и прочих брусьев малой кривизны.
С этой целью рассмотрим брус произвольной формы, нагруженной внешними нагрузками Р и ^ (рис.16.8,а), при этом требуется определить перемещение любой точки
(0) этого бруса в заданном направлении, т.е. в направ лении S . В этом случае снимаем с бруса все внешн нагрузки и к точке, перемещение которой нужно найти,
прикладываем силу S |
в направлении S , как изобра |
жено на рис.16.8,б. |
n |
Предварительно |
обозначим: |
d$5 |
- перемещение точки (0) в направлении S от |
силы S . Здесь первый индекс указывает направление перемещения, а второй индекс - причину, вызвавшей ука занное перемещение, т.е. ^^причина,
Ssp- перемещение точки в направлении 5 от внешних оил Р.
Мрг изгибающий момент в любом сечении бруса от вн них сил Р.
М$ - момент изгибающий в любом сечении бруоа от де ствия силы S.
Рис.16.8
Пользуясь теоремой о взаимности работ внешних сил рассмотрим работу силы S на перемещениях от внешних сил Р, которую в дальнейшем будем называть "работой си на чужом перемещении". Как видно из рисунка 17.8 эта бота будет равна площади прямоугольника а Веек.
Это условие
|
будет справед |
|
ливо при после |
|
довательном ста |
|
тическом нагру- |
|
жении. Определим |
|
выражение работ |
|
внутренних уси |
|
лий на "чужом |
|
перемещении". |
|
Под действи |
|
ем силы S" |
|
внутри бруоа на |
|
ходится работа |
у |
внутренних сил |
|
или потенциаль |
|
ная энергия, |
Рис.17.8 |
равная площади |
|
треугольника |
обе. Далее приложим к брусу, н~ который действует си $ , внешние силы Р. Они изогнут брус и в его сечен
возникнут изгибающие моменты Мр , которые создадут ра |
боту на перемещении fp , равную площади Aide |
, |
так как они прикладываются постепенно, статически. |
|
В этот момент, когда были -приложены силы Р |
, с |
ла S существовала и совершила работу на перемещения |
вызванных внешними силами Р. |
|
Как ранее указывалось, работа этой силы $ |
на п |
ремещениях от внешних сил будет равна площади прямоу
|
|
|
ника af>CSK |
. Рассмотрим эту внутреннюю энерги |
Работа внешней силы S |
, равная S'$gp , пере |
дет в потенциальную или в работу внутренних сил упру ти или будет равна JMsd^P
Если деформация бруса совершенно упруга, то работ внешних сил будет численно равна работе внутренних у лий в сечениях, т.е. /7 — U .
Таким образом, можно записать это равенство в сл дующем виде:
S^sp-J^s^1? |
где ^5".^ выражает |
работу внешней силы Р; |
^M^ctf* - работу внутренних |
сил упругости, где интеграл распространен на всю длин бруса.
Вспоминаем, что элементарный угол поворота равен: d^—^Bd^C . Подставляя значение <Ы<р
под знак интеграла в выражение (а), получим:
s i - /
или это уравнение можно переписать так:
Обозначим ~s*"-^ » т.е. момент, вызван ный силой равной единице. Тогда наше выражение (б) будет иметь следующий вид:
Уравнение (18.8) будет выражать сокращенную форму лу интеграла Мора. Из этой формулы следует, что пер мещение любой точки бруса в любом направлении от вн них сил равно интегралу от произведения единичного м
мента на момент от внешних сил, деленный на жесткость бруса.
Из формулы (18.8) видно, что выражение работы мо ментов на "чужих перемещениях" отличается от формулы потенциальной энергии (19.7), т.е. работы на "собствен ных перемещениях"тем, что в этом выражении отсутствует
множитель и произведена замена квадрата изгибающего 2
момента на произведение моментов, вызванных разными си лами.
Следовательно, аналогично можно написать выражение работы поперечных сил на "чужом перемещении", которая будет равна:
В этой формуле вводится поправочный коэффициент К учитывающий неравномерность распределения касательных на пряжений по площади поперечного сечения.
Поэтому, полная работа внутренних сил на "чужих п ремещениях" может быть выражена суммой этих интегралов, т.е.:
где первый интеграл выражает величину перемещения, выз ванного моментами (т.е. изгибом), второй интеграл - вели чину перемещения, вызванного действием поперечных сил (т.е. срезом). Обычно, второй член этого выражения мал в сравнении с первым, а поэтому им часто пренебрегают применяя при этом сокращенную формулу интеграла Пора (18.8).
Используем формулу интеграла Мора для определения перемещений в следующем примере.
Пример 7.8
Для бруоа, изображенного на рис.18.8,а, требуется определить перемещение точки С по вертикаль ному и горизонтальному перемещению, а также угол поворота сечения, в котором приложена сила Р.
|
Решение |
|
Чтобы составить выраже |
|
ние изгибающих моментов |
|
для произвольного оече- |
|
ния бруса воспользуем |
|
ся полярными координата- |
Рис.18.8,а |
ми, которые дают возмож |
|
ность фиксировать поло |
жение этого сечения, в частности полярным углом как показано на рис.18.8,а. Предварительно условимся,
что момент, увеличивающий кривизну бруса, будем считат положительным.
Как видно из рисунка 18.8, можно составить уравн ние изгибающего момента М/о от заданной нагрузки, ко торое будет иметь вид:
Мр~РвЪ ( I ) , НО 8Ъ = |
* *огда |
выражение ( I ) перепишется так: |
|
Для определения перемещения согласно принятому по ложению снимаем с бруса внешние нагрузки и прикладыва к точке С единичную силусилу равной единице, (рис. 18.8,6).
Находим соответствую щий вертикальный момент в произвольном сечении, который будет равен:
но из рисунка
тогда:
Заметим из рисунка (18.8,а), что
Учитывая, что по форму-
Рис. 18.8, б
ле Мора ддя бруса малой
кривизны производится замена элемента длины с/2Г в п интегральном выражении элементом дуги dS .
Тогда вертикальное перемещение точки С согласно формулы (18.8)убудет равно:
Для определения горизонтального перемещения точки С прикладываем в этой точке единичную силу, направлен горизонтально (рис.18.8,в). Находим единичный момент ь
произвольном сечении:
но из рисунка (18.8,в) видно, что
СЪ = ОС- Cfib=a-CL С&& Г
Подставим ето значение в выражение момента, полу
Пользуясь формулой интеграла Мора (18.8) определяе горизонтальное перемещение точки С:
С целью нахождения угла поворота сечения С прикл дываем в этом сечении единичный момент (равный едини как изображено на рис.18.8,г. В этомслучае выражение единичного момента будет равноа: А/ • I .
Рис.18.8, в, |
г |
Тогда по известной формуле (18.8) угол поворота |
сечения С определяется: |
а*"2- |
Для определения перемещений с помощью интеграла Мора необходимо произгести следующие операции:
1. Составить выражение изгибающего момента Мр от заданной нагрузки.
2.Приложить к ненагруженной системе единичную силу в той точке, где находим перемещение, и по его правлению.
3.Составить уравнение изгибающего момента от единичной силы.
4.По формуле (18.8) вычислить интеграл из про изведения обоих моментов и разделить на жесткость бр са.
Если по условию задачи требуется определить угол поворота заданного оечения, то по его направлению ну но приложить единичный момент (равный единице). Следу ет в формулу Мора подставить моменты, а также другие внутренние усилия с учетом их знака. Если у произвед ния обоих моментов будут одинаковые знаки, то интегр будет положительным и наоборот. Знак перемещения, най денного по формуле Мора, будет определяться направлени ем единичной силы. Положительное пе^амещение будет сов падать с направлением единичной силы, а если отрица тельное - навстречу ей.
§ 8.8. Определение перемещений по способу Верещагина
Как известно, формула интеграла Мора справедлива для определения перемещений любых брусьев; прямолиней ных, криволинейных и прочих брусьев малой кривизны.
Чтобы упростить эту формулу для прямых брусьев сущес вует способ Верещагина. В этом случае один иэ подын тегральных моментов выражается уравнением первой степе ни, т.е. если одна из эпюр прямолинейна, а жесткость
