Файл: Комиссаров, Э. С. Техника вычислений и механизации вычислительных работ учебник для кооперативных техникумов.pdf

§4. Умножение на счетах

1.Умножение на 10, 100, 1000 и т. д. От умножения

числа на 10, 100, 1000 и т. д. значение каждой его цифры увеличивается соответственно в 10, 100, 1000 и т. д. От­ сюда вытекает правило: чтобы умножить число на 10, 100, 1000 и т. д., нужно его отложить на счетах соответствен­

но на одну, две, три и т. д. проволок выше.

Например, при умножении 15 коп. на 1000 откладыва­ ем число 15 не с первой проволоки вниз от разделительной,

От умножения на эти числа значение каждойщифры мно­

жимого уменьшается в 10; 100; 1000 и т. д. раз. Отсюда

вытекает правило: чтобы умножить число на 0,1; 0,01; 0,001

возьмем случай, когда все цифры числа четные, например, 824,6 : 2. Отложим на счетах делимое 824,6. Деление на

2 начнем с единиц низшего разряда: 6 устно делим на 2, по­ лучаем 3, снимаем 3 косточки на проволоке десятых долей,

там осталось также 3 косточки, т. е. при делении на 2

мы половину косточек на каждой проволоке сбрасываем, а

половину оставляем. На проволоке единиц находится 4 косточки, половину (2) сбрасываем, а половину оставля­

ем. На проволоке десятков 2 косточки, половину (1) сбра­

сываем, а половину оставляем. На проволоке сотен 8 кос­

точек, половину (4) сбрасываем, а половину оставляем. На счетах получилось 412,3.

Рассмотрим случай, когда на какой-либо проволоке

находится нечетное количество косточек. Например, нужно разделить на счетах 30 на 2. На проволоке единиц нет кос­

точек, поэтому деление начинаем с проволоки десятков. Там 3 косточки, которые на 2 нельзя разделить. Поступим следующим образом: сбросим одну косточку с проволоки

десятков и заменим ее десятью косточками на проволоке ниже (раздробили один десяток в 10 единиц). Теперь на счетах отложено то же число 30 (2 десятка и 10 единиц),

124

но на каждой проволоке находится четное количество кос.

Процесс деления на 2 можно упростить, если заметить, что на проволоке, на которой было нечетное количество кос­ точек, мы за два приема сняли 1 косточку и половину остат­ ка. В дальнейшем будем делать это за один прием. На про­

волоке ниже мы сначала отложили 10 косточек, а затем

половину (5) сбросили и половину (тоже 5 косточек) оста­

вили. В итоге получается, что на проволоке ниже мы от­

ложили только 5 косточек. Покажем на примере, как это

делается.

Пример. 1789,7 : 2. Отложим делимое на счетах.

Деление начинаем с единиц низшего разряда, т. е. с де­ сятых долей единицы. На проволоке десятых долей 7 косто­ чек. Снимаем 1 и сразу же половину остатка, на проволоке осталось 3 косточки, а на проволоке ниже — отложим

5 косточек. Деление десятых долей закончено. Перехо­

локе ниже (десятых долей) прибавим 5 косточек. Перейдем к делению десятков. Там четное количество (8) косточек,

половину (4) сбрасываем, а половину оставляем. Делим сот­

ни, их 7. C проволоки сотен сбрасываем 1 и еще половину

остатка (3), а на проволоке ниже прибавляем 5 косточек.

Делим тысячи. На проволоке тысячи только 1 косточка, сбрасываем ее, а на проволоке ниже прибавляем 5 косточек.

Врезультате на счетах получилось 894,85.

4.Умножение на однозначные числа основано на пра­

виле умножения одночлена на многочлен и некоторых

правилах, рассмотренных в § 4 главы II.

Умножение на 2. Для того чтобы любое число умножить на 2 достаточно взять его два раза слагаемым. Например 483,75 • 2, откладываем 483,75 на счетах (взяли один раз) и прибавим это же число еще один раз. На счетах 967,5.

Умножение на 3. Для умножения числа на 3 доста­

точно взять его три раза слагаемым. Например, 85,7 -3, от­ кладываем на счетах 85,7, прибавляем еще 85,7»и еще раз

прибавляем 85,7, получим 257,1.

Множитель 4 можно представить как 1 + 1 + 2, по­

этому для умножения числа на 4 достаточно его отложить

125

на счетах, прибавить его же и прибавить то число, которое

Умножение на 5 на счетах осуществляется так же, как

и в устных вычислениях, т. е. число умножается на 10 и

результат делится на 2. Например, 632,8 • 5. Умножим

632,8 на десять, для чего отложим его на одну проволоку выше обычного, ^ получилось 6328, делим результат на 2,

получим 3164.

Число 6 можно представить как 5 + 1 или как 3 + 3,

поэтому и умножать на 6 можно двумя способами. Напри­ мер, 37 р. 85 к • 6. Представим 6 как 5 + 1, тогда 37 р.

85 к. ’умножим на 5 выше указанным способом, получим 189 р. 25 к., прибавим к результату 37 р. 85 к., получим

т. е. ИЗ р. 55 к., получим тот же результат.

Число 7 можно представить как 5 + 1 + 1 или 10 —

— 1 — 1 — 1. Отсюда вытекают способы умножения на 7.

Например, 43,737, умножим 43,7 на 10, получим 437 и раз­

делим его на 2, получим 218,5. Мы умножили 43,7 на 5, теперь прибавим два раза по 43,7 или, устно умножив на 2, сра­

зу прибавим 87,4, окончательно получим 305,9.

Множитель 8 представим как 10 — 1 — 1. Из этого сле­ дует, что для умножения числа на 8 достаточно умножить

его на 10 и отнять его же два раза. Например, 796 • 8, умно­

жим сначала на 10, получилось 7960, затем два раза выч­ тем 796, получим 6368.

Множитель 9 представляем-как 10 — 1, поэтому, чтобы

Умножать на однозначные числа на счетах можно и поразрядным способом, представляя множимое в виде сум­ мы счетных единиц его разрядов. Например, 5678,4 • 7.

Умножение начинаем с единиц высшего разряда: устно умножаем 5 тысяч на 7, получаем 35 тысяч, которые от­ кладываем на счетах; 6 сотен умножаем на 7 и произве­ дение 42 сотен = 4200 прибавляем к ранее отложенным

126

39748,8.

Начинать умножение поразрядным способом можно и

сединиц низшего разряда.

5.Умножение на числа второго десятка. Чтобы умно­

жить число на 11, 12, 13, ..., 19, достаточно умножить сна­

чала на цифру единиц множителя, а затем прибавить удеся­

теренное множимое, что равносильно прибавлению мно­

жимого на одну проволоку выше обычного.

Рассмотрим на примерах это правило.

Примеры. 1. 59 р. 80 к. -11. Откладываем на счетах 59 р. 80 к. и прибавляем это же число на проволоке выше, получим 657 р. 80 к.

2.763 • 12. Откладываем на счетах два раза 763, по­ лучим 1526 и прибавим 763 на одну проволоку выше, по­

лучилось 9156.

3.3,27 • 13. Отложим три раза по 3,27, получим 9,81 и прибавим 3,27 на проволоке выше, получим 42,51.

4. 46 кг 650 е • 14 = 46 кг 650 г + 46 кг 650 г + 93 кг 300 г + 300 г + 46 кг 650 г • 10 = 559 кг 800 г.

5. 18 р. 35 к. умножаем сначала на 5 и прибавим 18 р. 35 к. • 10, получим 275 р. 25 к.

6.385 • 16. Сначала умножим на 15, а затем прибавим.

385, получим 6160, или сначала умножим на 6, а затем при­ бавим 385 • 10.

7.84,3 • 17. Представим 17 как 7 + 10, или как 10- -10 —

—1 — 1 — 1, или как 15 + 2, во всех случаях получим

1433,1.

Такие числа представляют в виде произведения числа, изо­ браженного единицей с последующими нулями, и однознач­

ного числа. Например, 30 = 10 • 3; 400 = 100 • 4 и т. д.

Тогда, чтобы умножить на круглые десятки, круглые сотни и т. д., устно умножают на соответствующую разрядную единицу (10; 100; ...), а затем произведение умножают на

127

однозначное число. Например, 384 ∙ 300. Умножают-384 на

100, отложив его на две проволоки выше, затем к 38 400 при­ бавляют еще два раза 38 400, получим 116 200. Если умно­

жается на число, изображенное цифрой, близкой к 10, и

оканчивающееся нулями, например, на 70; 800; 6000

и т. д., то используют способ круглого числа, представляя

данные числа в виде разности ближайшей разрядной еди­

ницы и данным числам.

68,4 на три проволоки выше, получаем 68 400, затем нужно отнять 68,4 • -200, для этого отнимаем 68,4 два раза на две

проволоки выше обычного, т. е. начиная вычитание не на второй проволоке (считая вверх от разделительной), а на четвертой, или устно умножить 68,4 на 100 и два раза от-

шнять 6840 (что одно и то же), получим 54 720.

7.Умножение на числа, изображенные одинаковыми циф­

рами и близкими друг к другу.

Пример. 7,58 • 333. Представим множитель в виде

получим 2274 и прибавляем полученное число сначала на одну проволоку ниже (в 10 раз меньше) и еще на одну про­ волоку ниже (число 2274 нужно запомнить, можно как

22 и 74), получим 2524,14.

Умножение можно начинать и с единиц низшего разря­ да с последующим прибавлением полученного произведе­

ния на одну, две и т. д. проволок выше.

Пример. 3 р. 49 к. • 55. Умножаем сначала на 5,

получим 17 р. 45 к., затем прибавляем число, в 10 раз боль­ ше, или, что то же самое, отложим на счетах 17 р. 45 к.

на проволоку выше, т. е. начиная откладывание не со вто­

рой, а с третьей проволоки, получим 191 р. 95 к.

Если цифры множителя близки друг к другу, то исполь­

зуют этот же прием.

128