Файл: Комиссаров, Э. С. Техника вычислений и механизации вычислительных работ учебник для кооперативных техникумов.pdf

Пример. Найти сумму чисел: 18,384 + 12,65 +

+ 36,84278 + 37,195682. Менее точное слагаемое содер­

жит два десятичных знака. (Примечание. При сложении

и вычитании приближенных чисел более точным считается то, в котором больше десятичных знаков.) Округляем ос­

Правило 1. Чтобы найти сумму (разность) приближен­

ных чисел с разным количеством десятичных знаков, нуж­ но в более точных данных взять на один десятичный знак

больше по сравнению с менее точным данным, сложить

(вычесть) и в результате отбросить запасной знак, соблю­ дая во всех случаях правило округления.

Правило 2. Чтобы сложить (вычесть) несколько приб­

лиженных чисел с заданной точностью результата, надо эти числа округлить с одной запасной цифрой сверх задан­

ной точности, сложить (вычесть) и в результате отбросить

запасную цифру, соблюдая правило округления.

Пример 1. Найти с точностью до 1 тыс. сумму:

15384 р. 84 к. + 9527 р. 36 к. + 672 р. 83 к. + 10648 р. 17 к.

Решение. Так как сумму надо найти с точностью до 1 тыс., слагаемые округлим, сохранив в них на один

знак больше, чем заданная точность суммы: 15,4 тыс . руб.+

Приведенные правила справедливы, если слагаемых не более 10. Если их будет больше 10, но меньше 100, то за­ пасных цифр нужно брать две, так как погрешности накап­

ливаются.

§6. Определение порядка произведения

ичастного

Порядком (значностью) числа, большего или равного единице, называется количество цифр в целой его части.

37

Пример.

отрицательное число, содержащее столько отрицательных единиц, сколько нулей между запятой и первой, отличной от нуля цифрой.

Пример.

раз, то его порядок соответственно увеличится или умень­

шится на 1, 2⅛ т. д. единиц.

Положение запятой в произведении при обычных спо­

собах умножения определяется количеством десятичных

знаков в сомножителях. В практике приближенных вычис­ лений при работе на счетных машинах положение запятой

удобнее определять путем подсчета порядка произведения.

Правило 1. Порядок произведения равен сумме поряд­

ков обоих сомножителей, если первая значащая цифра произведения меньше первой значащей цифры хотя бы од­ ного из сомножителей, и на единицу меньше этой суммы,

если первая значащая цифра произведения больше первой

делимого и делителя, если первая значащая цифра делимо­

го меньше первой значащей цифры делителя и на единицу больше этой разности, если первая значащая цифра дели­

мого больше первой значащей цифры делителя.

При равенстве первых цифр эти правила применяют ко вторым цифрам. Если порядок делимого обозначить через

т, порядок делителя через п, то порядок частного опреде­ ляется формулой (т — п) или (т — п + 1).

38

Примеры. 1323 : 21 = 63, так как 1 < 2, то поря­ док частного равен 4 — 2 =2; 42978 : 247 = 174, так как 4 > 2, то порядок частного равен 5 — 3 + 1 — 3.

17,232 : 0,048 = 359, порядок частного : 2 — (—1) =3.

Пользуясь правилом определения порядка частного,

можно делить числа, не обращая внимания на запятые и нули, стоящие впереди значащих цифр. Зная порядок ре­

зультата, легко установить положение запятой в нем.

§ 7. Умножение и деление приближенных чисел

При умножении и делении приближенных чисел отно­

сительная погрешность результата равна сумме относи­

тельных погрешностей данных. Исходя из этого положе­

ния, рассмотрим некоторые случаи умножения и деления

приближенных чисел.

Умножение приближенного числа на точное. Пусть надо

приближенное число 4,86 умножить на точное число 12

(4,86 • 12 =204,12), так как относительная погрешность точного числа принимается равной 0, то относительная

погрешности произведения находим его абсолютную по­ грешность — 0,2 (0,1% от 204,12). Из этого следует, что цифра десятых долей произведения неверная, и в нем нужно сохранить целые единицы 204. В произведении

получились три значащие цифры, т. е. столько же, сколько

в приближенном сомножителе. Таким образом, при умно­

жении приближенного числа на точное в произведении

следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в

приближенном сомножителе.

Деление приближенного числа на точное. Рассуждая аналогично, найдем, что в частном будет не больше знача­

щих цифр, чем их имеется в приближенном делимом.

Пример. Разделить приближенное число 82,4 на точ­ ное на 23. Деление производим обычным путем, пока в

частном не получим три цифры, так как в приближенном числе три значащие цифры.

Умножение приближенного числа на точное с заданной точностью произведения. В практике вычислений часто

39

возникает необходимость умножить приближенное число с большим количеством десятичных знаков на точный мно­ житель с заданной точностью произведения. Возникает

вопрос, сколько десятичных знаков нужно оставить в при­

ближенном числе, чтобы обеспечить заданную точность

произведения. Это зависит от заданной точности и числа

цифр в целой части точного множителя. Пусть нужно по­

лучить с точностью до 0,01 произведение следующих чисел:

2,17352637-8. Произведение можно рассматривать как сумму восьми одинаковых слагаемых. Так как произведе­

ние надо найти с точностью до 0,01, то погрешность его должна быть не больше 0,005. Эта погрешность есть резуль­

тат сложения восьми одинаковых погрешностей слагаемых.

слагаемого будет меньше 0,0006, в том числе данное число

если взять с тремя десятичными знаками, т. е. 2,174-8 = =17,392= 17,39. Умножение с сохранением всех знаков дает

17,38821096; округлив до 0,01, получаем 17,39. Результат

тот же, а экономия времени и сил очевидна.

Проверив так же расчет при заданной точности произ­ ведения 0,001 и т. д., когда количество цифр в целой части точного множителя равно 2,3 и т. д., придем к выводу, что при умножении приближенного числа на точное с заданной точностью произведения в приближенном числе следует

оставить столько десятичных знаков, сколько цифр в це­

заданной точностью произведения. Пусть нужно найти про­

изведение чисел 82,3746524-9,467314 с точностью до 0,01.

Приняв один из сомножителей за точное число, применим

правило умножения приближенного числа на точное с за­

данной точностью произведения. Будем считать второй

сомножитель точным числом, тогда в первом сомножителе следует оставить три десятичных знака (так как в целой части точного числа одна цифра и в заданной точности про­

изведения 0,01 два десятичных знака). Всего в округлен­

ном первом сомножителе будет пять цифр, столько же их оставим и во втором сомножителе. Произведение округля­

ем до 0,01. Получаем 82,375-9,4673 = 779,8688375 = = 779,87.

40