Файл: Комиссаров, Э. С. Техника вычислений и механизации вычислительных работ учебник для кооперативных техникумов.pdf

Можно рекомендовать сокращенный способ умножения приближенных чисел с заданной точностью произведения.

82,375-9,4673

82375-9=741375

8238-4= 32952

779,869=779,87

Рассуждаем так: в произведении цифра сотых должна быть верной. На количество сотых долей влияет цифра ты­ сячных. Если цифра тысячных будет меньше 5, цифра со­ тых остается без изменения, в противном случае цифру со­

тых увеличиваем на одну единицу. Очевидно, цифру деся­ титысячных и менее знать не обязательно. Поэтому будем

умножать цифры данных чисел, которые в произведении дают тысячные доли и выше. На первую цифру множителя

(9) нужно умножить все цифры множимого, так как еди­ ницы при умножении на тысячные доли в произведении дают тысячные доли. Умножаем 82375 • 9 = 741375; полу­

чим первое частное произведение, в котором последняя цифра 5 обозначает тысячные доли. Следующую цифру

множителя (4 десятых), очевидно, умножать на тысячные доли (5) множимого не следует, так как в произведении получаются десятитысячные, которые нам не нужны. По­ этому во множимом отбрасываем цифру тысячных, соблю­ дая правило округления и умножаем 8238 ∙4 =32952. Последняя цифра 2 этого произведения получилась от ум­

ножения 8 сотых на 4 десятых, следовательно, она имеет

значение тысячных долей, поэтому ее подписываем под

цифрой 5. Рассуждая аналогично, придем к выводу, что при умножении на следующую цифру множители (6 сотых)

нужно умножить только десятые и высшие разряды мно­

жимого. И так производим умножение на каждую следую­

щую цифру множителя, отбрасывая по одной цифре мно­

жимого.

Правило. При умножении двух приближенных чисел с большим числом десятичных знаков и с заданной точностью произведения нужно в одном из сомножителей оставить

столько десятичных знаков, сколько цифр в целой части второго сомножителя и еще столько, сколько десятичных

41

знаков в заданной точности произведения, а во втором оста­

вить столько значащих цифр, сколько их получилось в

округленном первом сомножителе.

Умножение и деление приближенных чисел с небольшим количеством значащих цифр. При умножении и делении приближенных чисел подсчет точности данных и результа­ тов действий ведется не по количеству десятичных знаков,

а по числу значащих (верных) цифр. При этом точность,

как указывалось выше, определяется числом значащих

цифр. Можно показать, что при умножении и делении при­

ближенных чисел, в результате будет не больше значащих цифр, чем их имеет менее точное данное.

Пример. Определить площадь торгового зала ма­

газина, если его длина 15,75 м, а ширина 9,25 м. Все циф­ ры данных чисел значащие. Площадь определяем умно­

жением 15,75-9,25 — 145,6875. В произведении семь цифр,

но только первые три будут значащими, остальные нужно отбросить. Искомая площадь 146 кв. м.

Если одно из чисел при умножении или делении содер­

жит больше значащих цифр, чем другое, то в более точном

числе берем на один знак больше, чем их в менее точном и в результате оставляем столько значащих цифр, сколько их в менее точном данном.

Пример. 83,535-2,7. Первый сомножитель округля­

ем до трех значащих цифр (83,5-2,7 = 225,45). Произведе­

ние округляем до двух значащих цифр 230. Соблюдая пра­

вило записи приближенных чисел, произведение должны

записать 0,23 тыс.

Пример. Найти частное приближенных чисел

56,2138 : 32,7 = 56,21 : 32,7 = 1,72. Делимое округлили

до 4-х значащих цифр, в частном оставили три значащие

цифры.

Деление многозначных чисел с заданной точностью ре­ зультата. Деление выполняем в следующем порядке.

1.Определяем количество всех знаков в частном (целых

идесятичных).

2.В делителе берем на одну цифру больше, чем их должно быть в частном.

3.В делимом берем столько цифр, чтобы можно было

получить первую цифру частного.

4.Деление производим обычным путем до получения требуемой цифры частного.

42

Пример. Найти с точностью до 0,1 частное от деления чисел: 6532575 : 138263,81. .

Решение. Сначала определяем порядок частного: 7 — 6 + 1 =2. C учетом заданной точности находим, что

вчастном будет всего 3 цифры. В делителе берем 4 знака,

вделимом возьмем тоже 4 знака и будем делить 6533 на 1383

до получения трех цифр в частном, не обращая внимания

на запятые, так как порядок частного определили раньше.

Ответ: 47,2.

Можно рекомендовать сокращенный способ деления,

который заключается в том, что для получения второй циф­

ры частного делим первый остаток на «укороченный» на

одну цифру делитель. Для получения следующей цифры частного делим новый остаток на делитель, еще «укорочен­

ный» на одну цифру.

Пр и м е р. Найти с точностью до 0,01 частное от деле­

ния чисел 3893,95378218 : 74,8367253.

лителе пять цифр (две цифры в целой части и два десятич­ ных знака), в делимом, чтобы получить первую цифру част­ ного, надо взять шесть цифр и деление производить, как

было сказано выше. На запятые не обращаем внимания,

так как порядок частного уже определен.

Последний остаток меньше половины последнего делителя, поэтому последнюю цифру частного оставляем без изме­

нения. C учетом порядка частное будет 52,03.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ и УПРАЖНЕНИЯ

1.В каких случаях получаются приближенные числа?

2.Сформулируйте правило округления чисел. В чем различие между

округлением целых чисел и округлением десятичных дробей?

3.Что называется абсолютной погрешностью приближенного числа, границей абсолютной погрешности?

45

Глава IV

ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

§1. Понятие о проценте

Впрактике вычислений используются так называемые абсолютные и относительные числа. Абсолютные числа

выражают значения величин без сравнения их с другими

величинами и обычно сопровождаются названиями опреде­ ленных единиц измерения. Например, фактический оборот

предприятия, необходимо сравнить одни числа с другими. Сравнение чисел можно осуществить путем нахождения раз­

ности чисел и путем нахождения их отношения.

Пример. Первый магазин перевыполнил план това­ рооборота за месяц на 4 тыс. руб., а второй на 4,8 тыс. руб.

Какой магазин работал лучше? На первый взгляд кажется,

что второй, так как у него перевыполнение плана больше

на 0,8 тыс. руб. (4,8 — 4).

Однако разностное сравнение ничего не говорит о качест­

ве работы магазинов, так как нужно еще знать, какую часть составляет перевыполнение от планового оборота каждого

магазина. Пусть плановый оборот первого магазина был

80 тыс. руб., а второго 120 тыс. руб. Тогда перевыполнение

зин работал лучше, '

45

Числа ɪ и -ɪ- являются относительными, они полу-

20 25

чились в результате сравнения двух чисел путем нахожде­

ния их отношения.

Отношением двух чисел называется частное от деления одного числа на другое, показывающее, какую часть вто­ рого числа составляет первое, если отношение меньше еди­ ницы, и во сколько раз первое число больше второго, если отношение больше единицы. Если отношение двух чисел

равно единице, то числа равны между собой.

Находить отношение двух чисел можно только тогда, когда они выражены в одинаковых единицах измерения. В то же время само отношение является безразмерной величиной, т. е. отвлеченным числом. При нахождении от­ ношения двух чисел всегда делят на то число, с которым

происходит сравнение. Это число называют базисным, или начальным. Определить, какое число является базисным,

можно исходя из условий конкретной задачи.

Чтобы относительные числа были удобны для сравне­

ния, их обычно выражают в виде десятичных дробей со зна­

менателем 100, реже со знаменателем 1000, т. е. в сотых или тысячных долях. Сотые доли называются процентами и обозначаются знаком %, тысячные доли называются про­ милле и обозначаются знаком 0∕00. В приведенных выше

или 5%, а второго четыре сотых, или 4%, от оборота каж­

дого магазина.

Проценты широко применяются в практике вычислений при анализе деятельности предприятий. В процентах вы­ ражают степень выполнения плана, рост производитель­

ности труда, снижение себестоимости, торговые скидки и накидки, нормы естественной убыли товаров, уровень из­

держек обращения и т. д.

Между процентами и относительными числами сущест­

вует зависимость: любое количество процентов можно вы­ разить в виде числа, и, наоборот, любое относительное

число можно выразить в виде процентов.

Чтобы проценты выразить в виде числа, достаточно ко­ личество процентов разделить на 100. Из определения вид­ но, что проценты есть не что иное, как особый способ за­

46