Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

дач, означает, что в точке х* функция Лагранжа удов­ летворяет необходимым условиям минимума по х, а ус­ ловие Куна — Таккера, как и в случае выпуклых задач, означает, что функция Лагранжа достигает минимума по и в точке «*. Таким образом, согласно теореме 3, принцип Лагранжа применим к гладко-выпуклым за­ дачам, т. е. необходимые условия минимума в задаче (14) — (17) совпадают с необходимыми условиями ми­ нимума функции Лагранжа при единственном не вклю­

ство коэффициента Я0 нулю. Случай Яо — 0, вообще го­ воря, неинтересен, поскольку при этом необходимые условия никак не связаны с минимизируемым функцио­ налом и определяют только некоторую экстремальную структуру ограничений. Тем не менее применять тео­ ремы удобнее в общей форме. Во-первых, зачастую Яо ф 0, даже если не выполнены условия регулярности. Во-вторых, что особенно важно, прямая проверка не­ равенства Яо Ф 0 во многих случаях проще проверки соответствующих условий регулярности.

Равенство или неравенство коэффициента Яо нулю зависит, в частности, от того, какие ограничения вклю­ чены в функцию Лагранжа, а какие оставлены за ее пределами. Это лучше всего проследить на примере за­ дачи выпуклого программирования. В функцию Ла­ гранжа этой задачи мы не включили ограничение хеЛ . Выше отмечалось, что это ограничение можно задать функционально, например, так: А = {x |/„+i (x ) jC 0}. Однако здесь возможна такая ситуация, когда не су­

жа, то условие Слейтера было бы нарушено и нельзя было бы гарантировать неравенство коэффициента Яо нулю. Итак, стремление обеспечить неравенство коэф­ фициента Яо нулю побуждает отбирать ограничения, включаемые в функцию Лагранжа, так, чтобы условия регулярности не нарушались. Однако, с другой стороны, чем больше ограничений включено в функцию Ла­ гранжа, тем эффективней соответствующее необходимое условие минимума.

Заметим, кстати, что из теоремы 2 следует простое правило определения знаков множителей ’ Лагранжа, соответствующих ограничениям типа неравенства. В за­ даче на минимум их следует выбирать так, чтобы

82 ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

функция Лагранжа стала выпуклой по х. (Это замеча­ ние надо иметь в виду, поскольку в выпуклых задачах часто встречаются ограничения вида g(x) ^z О, где g — вогнутая функция.) Конечно, в задачах на максимум знаки множителей Лагранжа должны быть такими, что­ бы функция Лагранжа была вогнутой. В невыпуклых задачах знаки надо выбирать такими, как будто зада­ ча — выпуклая, и т. д.

Нетрудно видеть, что классы задач, охватываемых теоремами 1 и 2, не пересекаются и, наоборот, теорема 3, по существу, содержит в себе теоремы 1 и 2, хотя и не охватывает их целиком. В самом деле, если в усло­ виях теоремы 3 множество U состоит из единственного элемента, а ограничения f i (х, и) ^ 0, .. ., /„ (х, и) s j О отсутствуют, то мы получаем утверждение, аналогичное теореме 1, но с дополнительным требованием конечной коразмерности. Наоборот, если отсутствует ограничение F(x,u) — О, U есть выпуклое подмножество линейного пространства и функции f0, . . ., /„ не зависят от х и выпуклы по и, то из теоремы 3 следуют все утвержде­ ния теоремы 2, за исключением, конечно, достаточности.

С помощью теоремы 3 можно получить и некоторые