Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
§ 1.3. ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
91 |
||||||||
д л я |
в се х |
( fAo, |
. . . . |
Ц п ) е С . |
Т а к |
к а к |
С |
с о д е р ж и т |
|
в н у т |
||||||||||||
р е н н о сть |
н е о т р и ц а т е л ь н о г о |
о р т а н т а , |
в се |
|
Яi н е о т р и ц а |
|||||||||||||||||
тельны . |
Т о г д а |
из |
(4) |
при рг = |
/ г(х), |
1 < л < /г , р0 4 (Ы А') ~ |
||||||||||||||||
— /о (х*)) с л е д у е т , ч то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
% К Ь ( х ) > Ш х . ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для |
всех |
|
х е |
|
А. |
Если |
при |
некотором |
|
i ф 0 |
Мл:*) |
= |
||||||||||
= — а < |
0, то |
при |
всяком |
е > |
0 |
множество |
С |
содер |
||||||||||||||
жит |
|
Т О Ч К У |
|
ц„ = |
. . . = |
Ц«-1 = |
Цг+1 = |
. . . = р„ |
= |
8, |
||||||||||||
Pi = |
— а. |
Подставляя |
эти |
числа |
в |
(4) |
|
и |
устремляя |
е |
||||||||||||
к нулю, получаем —Я,а ^ |
0, откуда Я,- |
|
0. |
Поэтому |
||||||||||||||||||
Xi = |
0. |
Итак, |
Яг = |
0, |
если М **) <С 0, и, |
значит, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Я/ /,• (л;.) = |
0 |
для |
всех |
г = |
1, . . . . |
п. |
|
|
|
|
|||||||||
Но в этом случае из |
(5) |
следует, |
что при всех i e |
4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения (12), (13) из § |
1.1 доказаны. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Предположим теперь, что выполнено условие Слей |
||||||||||||||||||||||
тера, т. е. |
существует х е |
А |
такой, |
что |
fi(x)<i |
0 |
при |
|||||||||||||||
г = |
1, . . . , |
п. |
|
Если |
|
при |
этом |
Яо — 0, |
то, поскольку |
|||||||||||||
среди чисел Яь . . . , |
Яп есть |
положительные, 2 |
ЯгМдг)< |
|||||||||||||||||||
< 0 = 2 |
Яг/г (a: J |
в |
противоречии |
с |
|
доказанным |
утвер |
|||||||||||||||
ждением. |
Поэтому Яо ф 0. |
|
|
|
л:* е |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Наконец, |
если |
для |
данных |
|
A , |
Xi |
^ |
0, . . . |
||||||||||||||
. . . , Я „ ^ 0 |
выполнены |
соотношения |
(10), (12), |
(13) |
||||||||||||||||||
из § |
1.1 с |
|
Яо = |
1, |
то |
для |
всякого |
|
х ^ А |
такого, |
что |
|||||||||||
М * Х |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/о (х.) = |
fo (X.) + |
J j Kfi (X.) < |
/о (X) + |
2 |
h h |
(х) < /о (х), |
|
|||||||||||||||
т. е. дг*, действительно, решение задачи. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2' из § 1.1, содержащей
условия экстремума в |
субдифференциальной форме, |
||
есть простое следствие |
из |
теоремы |
Куна — Таккера и |
Моро — Рокафеллара. |
В |
самом |
деле, утверждение |
92 |
ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА |
теоремы |
Куна — Танкера означает, что «удлиненная» |
функция Лагранжа
3?iix > ^о> •••, ^п) = ^ Я,/(- (х) -f- б (х |А) 1=0
достигает минимума по х в точке х*. Согласно предло жению 1 отсюда следует включение
O e ^ f x , , Я0, . . Я„),
откуда в силу теоремы Моро — Рокафеллара следует требуемый результат:
О е Я 0dfQ(х.) + . . . + К dfn(х.) + N (хJ А).
§ 1.4. Гладко-выпуклые задачи. Доказательство экстремального принципа
Этот параграф целиком посвящен доказательству экстремального принципа в гладко-выпуклых задачах (теорема 3 из § 1.1). Все доказательство разбито на не сколько этапов. Доказательство первой части теоремы связано с исследованием трех частных случаев, двух вырожденных и одного невырожденного, которые мы последовательно рассмотрим. На последнем этапе бу дет доказано заключительное утверждение теоремы, со держащее условия, гарантирующие неравенство
Яо Ф 0.
Будем использовать следующие обозначения:
Z.q= Im Fx (х„ и„) с= Y
— множество значений линейного оператора Fx(x^,u)f),
B = L0 + F(xt, U)czY
— совокупность тех у е У, для каждого из которых най дутся х е Х и u ^ U такие, что у = Рх {х*, и*)х
L+ f ( x * , и),
L = Пп В — линейная оболочка множества В,
По условию подпространство L0 имеет конечную ко размерность, так что L0 и L — замкнутые подпро странства.
§ 1.4. ГЛАДКО-ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
93 |
1.4.1. Первый вырожденный случай. Предположим,
что
1 Ф У .
Тогда в силу второго следствия из теоремы Хана — Ба наха существует ненулевой функционал у* е У*, при надлежащий аннулятору подпространства L. Имеем
ОЛ Fx (xt, u,)x + F{x„ и)) = 0 |
(1) |
для всех х ^ X, и ^ U. В частности, при u — ut отсюда следует (так как F(xt, и„) — 0), что (у*, Fx (xt, «,)* ) = О
для всех х е X, т. е.
|
|
F'x (x„ |
и,)у* = |
0. |
|
|
|
(2) |
||
С другой стороны, при х — 0 |
для всех |
и е |
U |
|
|
|||||
(if, |
F (*„ |
и)) = |
(у\ |
F (*., и,)) = |
0. |
|
(3) |
|||
Полагая Ао = |
. .. = |
Кп = |
0, получаем из (2) и (3) со |
|||||||
отношения (18) — (20) из § 1.1. Итак, |
в данном случае |
|||||||||
утверждение теоремы 3 из § 1.1 верно. |
Пусть L = |
Y. |
||||||||
1.4.2. Второй вырожденный случай. |
||||||||||
Покажем, что в этом случае |
int В ф 0 . В самом |
деле, |
||||||||
поскольку codim L0 < оо, |
фактор-пространство |
Y/La |
||||||||
конечномерно. |
Обозначим |
через |
я: |
У —» Y/L0 канониче |
||||||
ское отображение в |
Y/L0, |
т. е., |
в |
частности, ny^ = |
яу2 |
|||||
тогда и только тогда, когда yi — у2е L0. Поскольку ли нейная оболочка множества В совпадает с У, линейная оболочка множества я {В) совпадает с Y/Lq. Множество В, очевидно, выпукло (как сумма подпространства и множества, выпуклого в силу условия б) теоремы). По
этому |
и множество я (В) выпукло. В § 3.5 |
(теорема 2 |
из § |
3.5) мы покажем, что в конечномерном |
простран |
стве выпуклое множество, аффинная оболочка которого совпадает со всем пространством, имеет непустую внут
ренность. |
другой стороны, я_1(я (В )) = |
|
Итак, int я (В) ф 0 , с |
||
= В. |
Поскольку я — непрерывное отображение, это |
|
значит, |
что int В ф 0 . |
что |
Предположим теперь, |
||
|
0 |
int В. |
94 |
ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА |
Тогда по теореме отделимости существует ненулевой функционал у* е У*, разделяющий В и 0, т. е. та кой, что
(у', У) > о
для всех у е В. Это значит, |
что для всех i e l , |
и е U |
|||
( У*, |
Fx (х.> и.) х + F (*„, и)) > |
0. |
(4) |
||
Полагая в этом неравенстве и — и*, получаем |
|
||||
|
|
(У\ Fx {xt, и .)х )> 0 |
|
|
|
для всех г б ! |
Следовательно, Fx (х., |
и.) у* = |
0. Если |
||
же взять х = |
0, |
то из (4) |
следует, что |
неравенство |
|
(у\ |
F(xt, u ) ) > 0 |
= (y*, F(x„ |
u,)> |
|
|
выполняется для всех U. Поэтому в данном случае, как и в предыдущем, ко = ... = кп = 0, у* — искомые множители Лагранжа.
1.4.3. Невырожденный случай. Предположим, нако нец, что
|
L = Y, 0 е |
int В. |
Пусть для определенности f |(х„ и[ ) = . . . = f k (х,, а„)=0, |
||
/* +1 (*., и.) < 0, |
(х„ и.) < |
0. Рассмотрим в Rft+1 X У |
множество С, образованное теми векторами (р0т •••! Рь у)е
е Rft+1 X У . |
Для каждого из которых найдутся х е X, |
U такие, |
что |
Рг ^ ( f i x (-*•*>и *)> х ) “Ь f i (■*•«>w) |
f i (•*»•w*)> |
* 0>•••> |
|
y |
— Fx (x„, u.) a: - f E (x„ u) — F(x„ |
u,). |
|
Для доказательства теоремы 3 из § 1.1 достаточно |
|||
проверить, |
что |
|
|
|
int С Ф 0 , |
0 ф С . |
(5) |
В самом деле, поскольку множество С, очевидно, вы пукло, при выполнении условия (5) найдется ненулевой функционал (к0, . . . , Я*, у*) «= Rft+1 X У*, отделяющий С от нуля, т. е. такой, что
2 |
^iPi + { у*г y ) i ^ Q |
<=о |
|
|
|
|
§ 1.4. ГЛАДКО-ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ |
95 |
||||
для всех (ц0> |
•••» |
Иь |
У )^ С . |
Последнее |
неравенство |
|||
означает, что |
при |
|
X, и е |
U |
|
|||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 h ((/,•* (*., |
н.), х) + |
fi (х„ и) - |
f{ (x„ uj) + |
|||||
i—0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
{y\ Fx(x„ uJx + |
F(xt, u)— F(xt, « . ) ) > 0 |
||||
или (если положить Kk+X = . . . |
= А„ = 0), — что |
|||||||
X |
^*1 А’О» |
•••9 ^ПГ У )> |
“F" |
|
|
|||
+ & (*., |
u, A0:I» |
•••» |
|
|
|
|
|
|
Полагая |
в |
этом |
неравенстве |
последовательно и = и, |
||||
и х = 0, |
снова |
приходим к соотношениям, |
которые тре |
|||||
буется доказать. (При этом условия дополняющей нежесткости, очевидно, выполняются, так как Л/ = 0 при
fi (х„ и,) < 0.)
Таким образом, осталось проверить соотношения (5). Коль скоро O e i nt fi , то, очевидно, O e in t n ( f i ) , где, как и раньше, л: Y-+Y/L0— каноническое отображение. Поскольку пространство Y/L0 конечномерно, можно ука зать конечное число точек гх, . .. , гт из лВ, линейная
оболочка которых |
совпадает |
с |
Y/L0 и |
таких, |
что |
||
Z\ -{- ... -f- zm — 0. |
(Например, |
если |
codimL0 = |
r, |
то, |
||
отождествляя Y/L0 |
с Rr, можно |
в |
качестве |
zx, |
.. ., |
zm |
|
взять вершины достаточно малого r-мерного куба, центр
которого |
совпадает |
с началом координат.) По опре |
|||
делению |
найдутся |
такие |
«,• £ (/, |
; == 1.........т, что |
|
л (F(x„ Uj)) = |
Zj, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
Положим (U(0, 1) = |
{x e X| ||x||<; 1}): |
||||
|
c0 = |
max |
(fi (x„ |
«/) + !! ftx (x„ и.) ||); |
|
|
|
1<l<m |
|
|
|
|
|
0<i<fc |
|
|
|
U0 = [и e |
V |3 a; > 0 , 1 |
2 |
<*/= 1: ^ (*„ u) = |
||
m |
|
|
|
m |
|
B0= Fx (x„ mJ U (0,1) + F (x„ U0).